实战二十二新定义与阅读理解题含答案名校真题分类训练.docx
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实战二十二新定义与阅读理解题含答案名校真题分类训练
2019年中考数学真题分类训练一一专题二十二:
新定义与阅读理解题
1.(2019天水)如图
1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:
如图
2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?
请说
明理由;
(2)性质探究:
如图
1,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点0,AC丄BD.
试证明:
AB2+CD2=AD2+BC2;
(3)解决问题:
如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,
求GE的长.
连结CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,
解:
(1)四边形ABCD是垂美四边形•理由如下:
•••AB=AD,•••点A在线段BD的垂直平分线上,
•••CB=CD,.・.点C在线段BD的垂直平分线上,
•••直线AC是线段BD的垂直平分线,
•••AC丄BD,即四边形ABCD是垂美四边形;
(2)如图1,
•••AC丄BD,•/AOD=/AOB=/BOC=/COD=90
由勾股定理得,AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2,
•••AD2+BC2=AB2+CD2;
J
(3)连接CG、BE,
图3
•••/CAG=/BAE=90•••/CAG+/BAC=/BAE+/BAC,即/GAB=/CAE,
AG=AC
在^GAB和^CAE中,GABCAE,
[aB=AE
:
.△GAB◎△CAE(SAS),
•••/ABG=/AEC,又/AEC+/AME=90
•••/ABG+/AME=90°,即卩CE丄BG,
•••四边形CGEB是垂美四边形,由
(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
•/AC=4,AB=5,•••BC=3,CG=4血,BE=572,•••GE2=CG2+BE2-CB2=73,•••GE=J73•
2.(2019白银)阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:
如图①,在等边^ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是^ABC的外角/ACH的平
分线上一点,且AM=MN.求证:
/AMN=60
点拨:
如图②,作/CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:
△ABM
◎△EBM(SAS,可得AM=EM,/1=/2;又AM=MN,贝UEM=MN,可得/3=/4;由/3+/1=/4+
/5=60。
,进一步可得/1=/2=/5,又因为/2+/6=120。
,所以/5+/6=120°,即:
/AMN=60°.
问题:
如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,G),N1是正方形A1B1C1D1的
解:
延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1、EC1
如图所示:
则EB1=B1C1,/EB1M1=90°=/A1B1M1,
•••△EB1C1是等腰直角三角形,
•••/B1EC1=/B1C1E=45°,
•••N1是正方形A1B1C1D1的外角/D1C1H1的平分线上一点,
•••/MiCiNi=90°+45°=i35•••/BiCiE+/MiCiNi=180°
•••E、Ci、Ni三点共线,
在^AiBiMi和^EBiMi中,
fAiB^EBi.[ZAiBiM^ZEBiMi,
I
j^BiM=B-iMi
•••△AiBMi^AEBiMi(SAS),
••AiMi=EMi,/1=/2,
■/AiMi=MiNi,.・.EMi=MiNi,•/3=/4,
•//2+/3=45°,/4+/5=45°,•/i=/2=/5,
•//i+/6=90°,•/5+/6=90
•••/AiMiNi=i80°-90°=90°.
②抛物线
1
y3的对称轴由抛物线yi的对称轴依次向左平移丄个单位得到;
2
形成概念
(2)把满足yn=-X2-nx+i(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”知识应用在
(2)中,如图2.
1“系列平移抛物线”的顶点依次为Pi,F2,P3,…,R,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出
该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式;
2
G,C2,C3,…,Cn,其横
“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:
坐标分别为:
-k-1,-k-2,-k-3,…,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相
等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由
断CnAn,CnlAnl是否平行?
并说明理由
解:
(1)①当x=O,yi=y2=y3=1,所以正确;
即:
Pn顶点满足关系式y=x2+1.
②相邻两点之间的距离相等.
理由:
根据题意得;Cn(—k-n,-k2—nk+1),Cn^(-k-n+1-k^nk+k+1),
•••CnCn-1两点之间的铅直高度=-k2-nk+k+1-(—k2-nk+1)=k.
CnCn-1两点之间的水平距离=-k-n+1—(-k-n)=1.
•••由勾股定理得CnCn-i2=k2+1
•-CnCn-仟Jk2+1.
③CnAn与C-代丄不平行.
理由:
根据题意得:
Cn(—k-n,-k2-nk+1),Cn」(—k-n+1,-k2-nk+k+1),
An(7,1),An」(J+1,1).
过Cn,G-份别作直线y=1的垂线,垂足为D,E,
所以D(-k-n,1),E(-k-n+1,在Rt△DAnCn中,
CD
tan/DAnCn=
代D
•••k+nT丰k+n,
--tan/DAnCn工tan/EAn-1Cn—1,
•-CnAn与CnAAnA不平行.
在Rt△EAn-iCn-1中,
4.(2019自贡)阅读下列材料:
小明为了计算1+2+22+-+22017+22018的值,采用以下方法:
设S=1+2+22+…+22017+22018①,
则2S=2+22+…+22018+22019②,
②-①得2S-S=S=22019-1,
S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1.
请仿照小明的方法解决以下问题:
3+32+…+310:
求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数),请写出计算过程.
则2S=2+22+…+210②,
②-①得2S-S=S=210-1,•••S=1+2+22+…+29=210-1;
故答案为:
210-1;
(2)设S=3+3+32+33+34+…+310①,
则3S=32+33+34+35+…+311②,②-①得2S=311-1,
所以s=3L±
2
即3+32+33+34+…+310=3T
2
故答案为:
匸二1
2
(3)设S=1+a+a2+a3+a4+…①,
贝UaS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②,②—①得:
(a-1)8=耳+1-1,
a=1时,不能直接除以a-1,此时原式等于n+1;
az1时,a-1才能做分母,所以S=『7
a—1
_n+4
即1+a+a2+a3+a4+…+护一—
a—1
5.(2019随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为mn,易知
abc=lOOa+lOb+c.
mn=10m+n;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如
【基础训练】
(1)解方程填空:
①若2X+x3=45,贝Ux=
【能力提升】
大于5的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光
都逃脱不了它的束缚•数学中也存在有趣的黑洞现象:
任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减
去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,
再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为
②设任选的三位数为abC(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.
•••若2x+
X3=45,贝U10X2+x+10x+3=45,
•••x=2,
②若7y-
y8=26,贝U10X7+y-(10y+8)=26,
解得y=4,
③由abc=l°°a+10b+c,及四位数的类似公式得若t93+5t8=13t1,贝y100t+10X9+3+100x5+10t+8=1000x1+100x3+10t+1,•100t=700,•-1=7,
故答案为:
7.
(2)•••mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n),
-则mn+nm—定能被11整除,
-■mn-nm=10m+n-(10n+m)=9m-9n=9(m-n),
•-mn-nm一定能被9整除.
•mn?
nm—mn=(10m+n)(10n+m)-mn=100mn+10m2+10n2+mn-mn=10(10mn+m2+n2)
•mn?
nm-mn一定能被10整除.
972-279=693,963-369=594,954-459=495,954-459=495,…
故答案为:
495.
结果为99的倍数,由于a>b>c,故a>b+1>c+2,
•••a-O2,又9>a>O0,•••a-c<9,•••a-c=2,3,4,5,6,7,8,9,
•••第一次运算后可能得到:
198,297,396,495,594,693,792,891,
再让这些数字经过运算,分别可以得到:
981-189=792,972-279=693,963-369=594,954-459-495,954-459=495…,
故都可以得到该黑洞数495.
x=Uc,y=L^那么称点T是点A,B的融合点.
33
2)是点A,B的融合点.
(1)已知点A(-1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
(2)如图,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线I上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点.
①试确定
y与x的关系式.
②若直线
ET交x轴于点
H•当△DTH为直角三角形时,求点E的坐标.
解:
(1)
•••点C(2,4)是点A、
B的融合点;
(2)①由融合点定义知
xJ(t+3)
3
y」(2t+3),
3
1
贝Ut=3x-3,贝Uy=-(6x-6+3)=2x-1;
3
②要使△DTH为直角三角形,可分三种情况讨论:
(m,2m-1),则点E(m,2m+3),
33
解得:
m=—,即点E(—,6);
22
由点
T是点D,E的融合点得:
点E(6,15);
(iii)当/HTD=90。
时,该情况不存在;
3
综上所述,符合题意的点为(一,6)或(6,15).
2
7.(2019济宁)阅读下面的材料:
Xl,X2,
如果函数y=f(x)满足:
对于自变量X的取值范围内的任意
(1)若X1 (2)若Xi a 例题: 证明函数f(X)=6(X>0)是减函数. X 证明: 设0 666x2-6x1 —= f(X1)-f(X2) X2X1X2 _6以2-片) X1X2 ■/0 >0. 6以2人)>0•即f(X1)-f(X2) X1X2 6 •-f(X1)>f(X2),.・.函数f(X)——(X>0)是减函数. X 根据以上材料,解答下面的问题: 已知函数f(X)=丄+x(X<0), X f(-1)= 片+(-1)=0,f(-2)=占+(-2)=-7 (―1)(—2)4 请仿照例题证明你的猜想. 故答案为: 增; (3)设Xi •••函数f(X)=-1+X(X<0)是增函数. X &(2019宁波)定义: 有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图1,在^ABC中,AB=AC,AD是^ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点. 求证: 四边形ABEF是邻余四边形. (2)如图2,在5X4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻 余线,E,F在格点上. AB于点Q,延长EF交AC于点N.若 (3)如图3,在 (1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交 N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长. 解: (1)TAB=AC,AD是^ABC的角平分线, •••/FAB与/EBA互余,•••四边形ABEF是邻余四边形; (2)如图所示(答案不唯一), 四边形ABEF即为所求; (3)•••AB=AC,AD是^ABC的角平分线, •••BD=CD, •/DE=2BE, ••BD=CD=3BE, •••CE=CD+DE=5BE, •••/EDF=90°,M为EF中点, •••DM=ME. •/MDE=/MED, •/AB=AC, QBBD3 NC"CE"5 •••QB=3,•••NC=5, •/AN=CN,•••AC=2CN=10, ••AB=AC=10. 9.(2019枣庄)对于实数ab,定义关于“? ”的一种运算: a? b=2a+b,例如3? 4=2x3+4=10. 若X? (-y)=2,(2y)? x=-1,求x+y的值. 解: (1)根据题中的新定义得: 原式=8-3=5; 根据题中的新定义化简得: [2x-y=2①lx+4y=-1②, ①+②得: 3x+3y=1,贝yx+y= 则 (1)用含x的式子表示m= (2)当y=-2时,n的值为 解: (1)根据约定的方法可得: m=x+2x=3x;故答案为: 3x; (2)根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y. 当y=-2时,5x+3=-2. 解得x=-1. •••n=2x+3=-2+3=1. 11.(2019白银)定义: 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若 184=50 等腰△ABC中,/A=80。 ,则它的特征值k= 解: ①当/A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为: •••特征值k=5L.§ 44呻呻 解: Ta=(4,3),b=(8,m),且a//b,•4m=3x8,・・・m=6.
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