八年级数学上册习题第十一章三角形.docx
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八年级数学上册习题第十一章三角形
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
基础题
知识点1 三角形及其相关概念
1.下列4个图形都是由三条线段组成的图形,其中是三角形的是(C)
2.如图所示,以AB为边的三角形有△ABO,△ABC,△ABD;含∠ACB的三角形有△BOC,△ABC;在△BOC中,OC的对角是∠OBC,∠OCB的对边是OB.
3.如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三个点画三角形.
(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形;
(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形.
提示:
(1)如图,以AB为一边的三角形有△ABC,△ABD,△ABE共3个.
(2)如图,以C为顶点的三角形有△ABC,△BEC,△BCD,△ACE,△ACD,△CDE共6个.
知识点2 三角形的分类
4.三角形按边分类可以用集合来表示,如图所示,图中小椭圆圈里的A表示(D)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
5.有下列说法:
①三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形;②等边三角形一定是等腰三角形;③有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中说法正确的有(B)
A.1个B.2个C.3个D.0个
6.如图,已知AB=AC,AD=BD=DE=CE=AE,则图中共有4个等腰三角形,有1个等边三角形.
知识点3 三角形的三边关系
7.(毕节中考)在下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是(C)
A.2cm,3cm,4cmB.3cm,6cm,6cm
C.2cm,2cm,6cmD.5cm,6cm,7cm
8.如图,为估计池塘岸边A,B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,则A,B间的距离不可能是(A)
A.5米B.10米C.15米D.20米
9.(自贡中考)已知三角形的两边长分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为(C)
A.7B.8C.9D.10
易错点1 数三角形的个数时,重数或漏数
10.图中三角形的个数是(C)
A.4个B.6个C.8个D.10个
易错点2 没有验证是否满足三角形的三边关系致错
11.已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则该等腰三角形的周长为20.
中档题
12.(扬州中考)已知n是正整数,若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n,则满足条件的n的值有(D)
A.4个B.5个C.6个D.7个
13.(教材P8习题T2变式)(来宾中考)在长度为2,5,6,8的四条线段中,任取三条线段,可构成2个不同的三角形.
14.已知三角形的两边长分别为2cm和7cm,最大边的长为acm,则a的取值范围是7≤a<9.
15.(教材P8习题T1变式)图中共有12个三角形.
16.已知△ABC的三边长均为整数,△ABC的周长为奇数.
(1)若AC=8,BC=2,求AB的长;
(2)若AC-BC=5,求AB的最小值.
解:
(1)∵由三角形的三边关系知,6<AB<10,
又∵△ABC的周长为奇数,而AC,BC为偶数,
∴AB为奇数,故AB=7或9.
(2)∵AC-BC=5,
∴AC,BC中一个奇数、一个偶数.
又∵△ABC的周长为奇数,故AB为偶数,
∴AB>AC-BC=5,得AB的最小值为6.
17.已知a,b,c是△ABC的三边长.
(1)若a,b,c满足|a-b|+|b-c|=0,试判断△ABC的形状;
(2)化简:
|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.
解:
(1)∵|a-b|+|b-c|=0,
∴a-b=0,b-c=0.∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
(2)∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.
∴原式=-a+b+c-b+c+a-c+a+b
=a+b+c.
综合题
18.【探究题】如图,点P是△ABC内部的一点.
(1)度量线段AB,AC,PB,PC的长度,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小;
(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗?
(3)你能说明上述结论为什么成立吗?
解:
(1)AB+AC>PB+PC.
(2)改变点P的位置,上述结论还成立.
(3)连接AP,延长BP交AC于点E,
在△ABE中有,AB+AE>BE=BP+PE.①
在△CEP中有,PE+CE>PC.②
①+②,得AB+AE+PE+CE>BP+PE+PC,
即AB+AC+PE>BP+PE+PC,
∴AB+AC>BP+PC.
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
基础题
知识点1 三角形的高
1.如图,AD是△ABC的边BC上的高,则AD与BC的位置关系是:
AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°,S△ABC=
BC·AD.
2.(教材P5练习T1变式)下列各图中,画出AC边上的高,正确的是(D)
3.锐角三角形的三条高都在三角形内部,钝角三角形有2条高在三角形外,直角三角形有两条高恰是它的直角边.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°.
(1)指出图中BC,AC边上的高;
(2)画出AB边上的高CD;
(3)在
(2)的条件下,图中有几个直角三角形?
分别表示出来;
(4)若BC=3,AC=4,AB=5,求AB边上的高CD的长.
解:
(1)BC边上的高是AC,AC边上的高是BC.
(2)如图所示.
(3)图中有3个直角三角形,分别是直角三角形ABC,直角三角形ACD,直角三角形BCD.
(4)∵S△ABC=
AC·BC=
AB·CD,
∴CD=
=
=2.4.
知识点2 三角形的中线
5.如图,AD是△ABC的中线,则点D是线段BC的中点,BD=CD=
BC,S△ABD=S△ACD=
S△ABC.
6.三角形的三条中线相交于一点,这个点一定在三角形的内部,这个点叫做三角形的重心.
7.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线.若DE=3cm,则EC=9_cm.
8.如图,BD是△ABC的中线,AB=8,BC=6,△ABD和△BCD的周长的差是2.
知识点3 三角形的角平分线
9.如图,AD是△ABC的角平分线,则AD平分∠BAC,∠1=∠2=
∠BAC,且点D在边BC上.
10.如图,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是(A)
A.20°B.30°C.45°D.60°
11.如图,D是△ABC中BC边上的一点,DE∥AC交AB于点E.若∠EDA=∠EAD,试说明:
AD是△ABC的角平分线.
解:
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD.
∵∠EDA=∠EAD,
∴∠CAD=∠EAD.
∴AD是△ABC的角平分线.
易错点 未进行分类讨论,出现漏解
12.在△ABC中,BC=6,BC边上的高AD=4,且BD=2,则△ACD的面积为8或16.
中档题
13.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,BG的延长线交AC于点E,F为AB上的一点,CF与AD垂直,交AD于点H,则下面说法正确的有(B)
①AD是△ABE的角平分线;②BE是△ABD的边AD上的中线;③CH是△ACD的边AD上的高;④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.如图,已知AD是△ABC的中线,CE是△ACD的中线,S△ACE=4cm2,则S△ABC=15cm2.
15.【注重创新】如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图.
甲 乙 丙
(1)甲折出的AD是BC边上的高;
(2)乙折出的AD是∠BAC的平分线;
(3)丙折出的AD是BC边上的中线.
综合题
16.【方程思想与分类讨论思想的综合运用】如图,在△ABC中,AB=AC,DB为△ABC的中线,且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分,求三角形各边长.
解:
∵DB为△ABC的中线,∴AD=CD.
设AD=CD=x,则AB=2x,
当x+2x=12,解得x=4,
BC+x=15,解得BC=11,
此时△ABC的三边长为AB=AC=8,BC=11,可构成三角形;
当x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7,
此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7,可构成三角形.
微专题1等面积法及其应用
教材母题:
(教材P9习题T8)如图,在△ABC中,AB=2,BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多少?
解:
∵S△ABC=
BC·AD=
AB·CE,,∴4AD=2CE.,∴AD∶CE=2∶4=1∶2.
归纳:
在同一个三角形中,底边与底边上的高成反比,即AD·BC=AB·CE.
1.如图,在△ABC中,AC=8,BC=6,AD,BE分别是边BC,AC上的高,且AD=6.5,则BE的长为
.
第1题图 第2题图
2.如图,AE是△ABC的中线,EC=6,DE=2,则S△ABD∶S△ACE的值为
.
归纳:
两个三角形同高或高相等时,面积之比等于底边之比.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC,垂足分别为E,F,G.求证:
DE+DF=BG.
证明:
连接AD,,∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,,∴
AC·BG=
AB·DE+
AC·DF.
又∵AB=AC,∴DE+DF=BG.
归纳:
遇到垂线时,先观察垂线是否在某个三角形中,若不在,需要连接辅助线,将垂线放到一个三角形中去,然
后利用三角形的面积进行换算.)
11.1.3 三角形的稳定性
1.(河北中考)下列图形具有稳定性的是(A)
2.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的稳定性.
3.根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理.
(1)有一个不稳固的凳子,一位同学找来两根木条钉成如图1所示的样子;
(2)如图2,用三个边长相同的四边形做成的挂衣架,挂衣架可伸缩.
解:
(1)三角形具有稳定性.
(2)四边形不具有稳定性.
4.(教材P9T10变式)六边形钢架ABCDEF,由6条钢管铰接而成.如图,为使这一钢架稳固,试用三条钢管连接使之不能活动,方法很多,请至少画出三种方法.(只需画图,不必写出作法)
解:
如图.
小专题
(一) 三角形中线段的相关应用
类型1 三角形的三边关系
1.已知一个三边都不相等的三角形的一边等于5,另一边等于3,若第三边长为奇数,则周长等于15.
2.(绥化中考)三角形三边长分别为3,2a-1,4,则a的取值范围是1<a<4.
类型2 三角形高的应用
3.已知AD是△ABC的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为90°或50°.
4.(等面积法的变式应用)(娄底中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D沿BC自B向C运动(点D与点B,C不重合),作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,在D点的运动过程中,试判断BE+CF的值是否发生改变?
解:
由S△ABC=S△ACD+S△ABD,得
S△ABC=
AD·CF+
AD·BE=
AD·(CF+BE).
∵△ABC的面积不变,而点D由点B运动到点C的过程中,AD的长度逐渐变大,
∴BE+CF的值逐渐减小.
类型3 三角形中线的应用
5.如图,已知BE=CE,ED为△EBC的中线,BD=8,△AEC的周长为24,则△ABC的周长为40.
6.(广东中考改编)如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG∶GD=2∶1.若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是4.
7.在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点.
(1)如图1,若S△ABC=1,则△BEF的面积为
;
(2)如图2,若S△BFC=1,则S△ABC=4(提示:
对比第
(1)问,先作辅助线).
类型4 三角形角平分线的应用
8.
(1)如图,在△ABC中,D,E,F是边BC上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,以AE为角平分线的三角形有△ABC和△ADF;
(2)如图,若已知AE平分∠BAC,且∠1=∠2=∠4=15°,计算∠3的度数,并说明AE是△DAF的角平分线.
解:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE.
∴∠1+∠2=∠3+∠4.
又∵∠1=∠2=∠4=15°,
∴∠3=15°.
∴∠2=∠3=15°.
∴AE是△DAF的角平分线.
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
基础题
知识点1 三角形内角和定理
1.(南宁中考)如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于(B)
A.100°B.80°C.60°D.40°
2.【方程思想】(大庆中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2∶3∶4,则∠B的度数为(C)
A.120°B.80°C.60°D.40°
3.将一副三角板按如图位置摆放,若∠BDE=65°,则∠AMD的度数是(B)
A.75°B.80°C.85°D.90°
4.(教材P16习题T1变式)写出下列图中x的值:
(1)x=45;
(2)x=75.
知识点2 三角形内角和定理与三角形的角平分线
5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=70°,∠BAD=30°,则∠C的度数为(D)
A.35°B.40°C.45°D.50°
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,且∠B=3∠BAD,求∠B的度数.
解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=
∠BAC.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠B=3∠BAD,
∴2∠BAD+3∠BAD+90°=180°.
∴∠BAD=18°.
∴∠B=3∠BAD=54°.
知识点3 三角形内角和定理与平行线的性质
7.(长春中考)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的大小为(C)
A.54°B.62°C.64°D.74°
8.如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD平分∠BAC,交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,则∠ADE的大小是(B)
A.30°B.40°C.50°D.60°
知识点4 三角形内角和定理的应用
9.如图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角∠C的度数为(B)
A.30°B.40°C.50°D.60°
10.(教材P17习题T7变式)某地有A,B,C三个村庄,如图,B村庄在C村庄的正西方向,A村庄在B村庄的北偏东20°方向,同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向,那么,在A村庄看B,C两个村庄的视角∠BAC为多少?
解:
由A村庄在B村庄的北偏东20°方向,得∠ABC=∠PBC-∠PBA=90°-20°=70°.
由A村庄在C村庄的北偏西45°方向,得∠ACB=∠QCB-∠ACQ=90°-45°=45°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-45°=65°.
∴在A村庄看B,C两个村庄的视角∠BAC的大小是65°.
中档题
11.【整体思想】如图,∠1+∠2+∠3+∠4=(C)
A.360°B.180°C.280°D.320°
12.如图,将△ABC沿MN折叠,使MN∥BC,点A的对应点为点A′.若∠A′=32°,∠B=112°,则∠A′NC的度数是(D)
A.114°B.112°C.110°D.108°
13.(教材P17习题T9变式)如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D.若∠A=50°,则∠BDC=115°.
14.(教材P12例2变式)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏东30°方向,则从C岛看A,B两岛的视角∠ACB=20°.
15.已知在△ABC中,∠B=∠C,D为边BC上一点(不与B,C重合),点E为边AC上一点,∠ADE=∠AED,∠BAC=44°.
(1)求∠C的度数;
(2)若∠ADE=75°,求∠CDE的度数.
解:
(1)∵∠BAC=44°,
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-44°=136°.
∵∠B=∠C,
∴2∠C=136°.
∴∠C=68°.
(2)∵∠ADE=∠AED,∠ADE=75°,
∴∠AED=75°.
∵∠AED+∠CED=180°,
∴∠CED=180°-75°=105°.
∵∠CDE+∠CED+∠C=180°,
∴∠CDE=180°-105°-68°=7°.
综合题
16.【注重探究】如图所示,有一块含30°角的三角板XYZ放置在△ABC上,三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C.
(1)若∠A=30°,求∠ABX+∠ACX的度数;
(2)若改变三角板的位置,但仍使点B,C分别在三角板的边XY和边XZ上,此时∠ABX+∠ACX的度数有变化吗?
请说明你的理由.
解:
(1)∵∠A=30°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150°.
∵∠YXZ=90°,
∴∠XBC+∠XCB=180°-∠YXZ=180°-90°=90°.
∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB-(∠XBC+∠XCB)
=150°-90°
=60°.
(2)∠ABX+∠ACX的度数没有变化.理由如下:
∵∠YXZ=90°,
∴∠XBC+∠XCB=180°-∠YXZ
=180°-90°=90°.
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠ABX+∠ACX=∠ABC+∠ACB-(∠XBC+∠XCB)
=180°-∠A-90°
=90°-∠A,
即∠ABX+∠ACX的度数没有变化.
第2课时 直角三角形的两个锐角互余
基础题
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.在一个直角三角形中,若一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是(D)
A.120°B.90°C.60°D.30°
2.把一个直尺与一块三角板按如图所示的方式放置,若∠1=45°,则∠2的度数为(C)
A.65°B.60°C.45°D.30°
3.(十堰中考)如图,AB∥DE,FG⊥BC于点F,∠CDE=40°,则∠FGB=(B)
A.40°B.50°C.60°D.70°
4.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,则图中与∠B互余的角有(B)
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图,在△ABC中,CE,BF是两条高.若∠A=70°,∠BCE=30°,则∠EBF=20°,∠FBC=40°.
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
6.已知∠A=37°,∠B=53°,则△ABC为(C)
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.以上都不对
7.(教材P14练习T2变式)如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?
为什么?
解:
△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,
∴∠ADE=90°,△ADE是直角三角形.
∴∠1+∠A=90°.
又∵∠1=∠2,
∴∠2+∠A=90°.
∴△ABC是直角三角形.
易错点 直角三角形中的直角顶点不确定导致漏解
8.如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中,△AOC恰好是直角三角形,则此时∠A所有可能的度数为60°或90°.
中档题
9.若四个三角形分别满足以下条件:
①∠A=∠B=∠C;②∠A-∠B=∠C;③∠A=∠B=2∠C;④∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则其中直角三角形的个数是(B)
A.1B.2C.3D.4
10.(教材P17习题T10变式)如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P,试说明:
△EPF为直角三角形.
解:
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°.
∵EP为∠BEF的平分线,FP为∠EFD的平分线,
∴∠PEF=
∠BEF,∠PFE=
∠DFE.
∴∠PEF+∠PFE=
(∠BEF+∠DFE)=90°.
∴△EPF为直角三角形.
综合题
11.如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系,并说明理由;
(2)如果∠ABC是钝角,如图2,
(1)中的结论是否还成立?
请说明理由.
解:
(1)∠1=∠2.理由如下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴△ABD和△BCE都是直角三角形.
∴∠1+∠B=90°,∠2+∠B=90°.∴∠1=∠2.
(2)结论仍然成立.理由如下:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠D=∠E=90°.
∴∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°.
∵∠3=∠4,∴∠1=∠2.
11.2.2 三角形的外角
基础题
知识点1 认识外角
1.如图所示,∠ACD是△ABC的一个外角.
2.如图,以∠AOD为外角的三角形是△AOB和△COD.
知识点2 三角形外角的性质
3.
(1)如图1,P是△ABC中BC边的延长线上一点,∠A=50°,∠B=70°,则∠ACP=120°;
(2)如图2,已知∠ABE=142°,∠C=72°,则∠A=70°,∠ABC=38°;
(3)如图3,∠3=120°,则∠1-∠2=60°.
4.如图,已知D为BC上一点,∠B=∠1,∠BAC=74°,则∠2的度数为(B)
A.37°B.74°C.84°D.94°
5.(眉山中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C的度数是(C)
A.50°B.60°C.70°D.80°
6.(营口中考)如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=32°,则∠C的度数是(B)
A.64°B.32°C.30°D.40°
7.(教材P17习题T8变式)如图,已知D是△ABC边BC延长线上一点,DF交AC于点E,∠A=35°,∠ACD=83°.
(1)求∠B的度数;
(2)若∠D=42°,求∠AFE的度数.
解:
(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角,∠A=35°,∠ACD=83°,
∴∠B=∠ACD-∠A=48°.
(2)∵∠AFE是△BDF的一个外角,∠B=48°,∠D=42°,
∴∠AFE=∠B+∠D=48°+42°=90°.
易错点 对三角形外角相关性质理解不透彻
8.下列说法正确的是(C)
A.三角形的外角大于它的内角
B.三角形的一个外角等于它两个内角的和
C.三角形的一个内角小于和
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- 八年级数学上册习题第十一章 三角形 八年 级数 上册 习题 第十一
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