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专题一函数与导数
【典纲】
高考中导数试题主要考查切线方程、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、极值、最值、方程解的情况、实际应用中最优化等问题,经常与不等式、函数、三角函数、数列、立体几何、解析儿何等知识相结合,作为中档题或压轴题出现,难度较大,分值约为12-14分.有的试题结合导数常常考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用,解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此存关的参数范I韦I的问题,充分体现导数的工具性作用,同时要注意指数函数和对数函数与导数结合的解答题.
【典例】
1、函数的单调性与导数
函数的单调性与导数的题型通常有
(1)利用导数求解函数的单调区间;
(2)己知函数的单调区间求解参数的范围,求函数的单调区间不耍忽视函数的定义域,根据函数的单调性确定参数的范围可将函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立问题转化为不等式的恒成立问题來解决.
例1.(2013东北三校第一次联考)已知函数f(x)=axsinx+cosx,Fl.f(x)在兀=仝处的切线
4斜率为如.
8
(1)求d的值,并讨论/(X)在[-兀,刃上的单调性;
(2)设函数g(x)=ln伽兀+1)+■-,x>0,其中/n>0,若对任意的X)eI0,+oo),总存在
\+x
兀2丘[0,彳],使得^(X,)>/(X2)成立,求加的収值范围.
【分析】
(1)由/(对在x处的切线斜率为旦,实质上是*兰时几灯的导数值为兰冬,
4848
通过对函数求导示可求出。
的值,再根据函数单调性的性质讨论;
(2)当xe[0,-b/(x)min=1,问2
题可转化为g(x)>1在[0,4-00)上恒成立求得.
71
厂严7
【解析】
(1)f'(-^)=asinx+axcosx-sinx=(tz-1)sinaxcosx-^-+—a=,/.a=l,f'(x)=xcosx.
2
当厂⑴>0时,
428
§R0 22 当广⑴<0时, 5)在“送]、隔]上单调递增,在[号0]、[討上单调递减. 则只需g(x)、i在[0,+8)上恒成立 ⑵当xw[0冷]时,/⑴单调递增,斷=/(0)=1即可. (x>0,m>0) z2加_2、m{x^+) m (mr+l)(x+l)2 1当m>2时,^>0,: .g\x)>0在[0,+x)上恒成立,即g(Q在[0,+oo)±单调递增,又 m g(0)=1,g(x)>1在[0,+oo)上恒成立,m>2时成立; 2当0v加<2时,当时・,g\x)<0,此时g(x)单调递减, V g(x) 综上m>2 【变式训练】已知函数/(x)=(a-\)lnx+ax2+1. (1)讨论函数/(x)的单调性; (2)如果对任意的「>兀2〉0,总有/(%I)~/(X2)>2,求a的取值范围. lax^+a_]/门、 【解析】 (1) f\x)=(x>0)・ 1当ah1时, 2当dSl时, ③当Ovavl时,令厂(x)=0,解得兀二 /(x)在(0,jg)上单调递减,在(J*,+8)上单调递增. l-a 广⑴>0,故/⑴在(0,+8)上单调递增;厂(兀)<(),故于(兀)在(0,+oo)上单调递减; (2)由题意知,>/(x2)-2x2,令g(x)=y(x)-2兀可得g⑴在(0,+oo)上单调递增, 即g'(x)=—~-4-2ax-2>0,a>“十[(*),,令f=2x+1,贝>Jx=-~,•/x>0,/.r>1x1+2x~2 (◎式可化为ana>辺也,故a的取值范围为[迈也,+00)・ 朋-222 t 【点评】含参函数的单调性问题它分为 (1)给出的参数可求出,其求口J导函数单调区间的一般步骤: ①确定函数/⑴的定义域;②求导函数/\x): ③在函数/⑴的定义域内求不等式f\x)>0或f\x)<0的解集;④由f\x)>0(f\x)<0)的解集确定函数/⑴的单调递增(减)区间. (2)给出的参数不确定,解决此类问题的关键在于准确确定分类讨论的依据,一般思路是: 先讨论方程fXx)=0是否有根,再讨论方程广(x)=0的根是否在函数的定义域内,最后讨论方程fV)=0的根之间的大小关系.变式训练第 (2)小题可先构造函数,然后可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上广⑴(或f'(x)<0)恒成立,然后分离常数,转化为求函数的授值问题,从而获得参数的収值范围. 2、导数与函数的极值、最值 利用导数求解函数的极值、最值,一般先已知函数解析式,然后通过求导,求出极值点,根据定义确定英极大值(极小值)•函数的极值反映函数在一点附近的情况,是在局部函数值的比较,故极值不一定是最值,函数的最值是对函数在整个区间上的函数值相比较而言,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值. 例2.已知函数f(x)=a\nx+-(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间和极值;
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