中考备考专题复习多边形与平行四边形数学解析版.docx
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中考备考专题复习多边形与平行四边形数学解析版
一、单选题(共12题;共24分)
1、下列说法正确的是( )
A、同位角相等
B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D、只用一种图形进行镶嵌,三角形、四边形、六边形都可以镶嵌
2、下列正多边形中,绕其中心旋转72°后,能和自身重合的是( )
A、正方形
B、正五边形
C、正六边形
D、正八边形
3、下列图形中,不能镶嵌成平面图案的是 ( )
A、正三角形
B、正四边形
C、正五边形
D、正六边形
4、梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=2,∠B=60°,则下底BC的长是( )
A、
B、
C、
D、
5、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=70°∠C=40°,DE//AB交BC于点E.若AD=3,BC=10,则CD的长是( )
A、7
B、10
C、13
D、14
6、如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC为∠BAD的平分线,图中与∠AOE相等(不含∠AOE)的角有( )
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
7、正六边形的边心距为
,这个正六边形的面积为( )
A、2
B、4
C、6
D、12
8、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合,按照如图的方式叠合在一起,连接EB,交HI于点K,则∠BKI的大小为( )
A、90°
B、84°
C、72°
D、88°
9、(2015•河南)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE的长为( )
A、4
B、6
C、8
D、10
10、(2015•德阳)如图,在五边形ABCDE中,AB=AC=AD=AE,且AB∥ED,∠EAB=120°,则∠DCB=( )
A、150°
B、160°
C、130°
D、60°
11、(2016•义乌)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )
A、①,②
B、①,④
C、③,④
D、②,③
12、如图,在平面直角坐标系中,以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是( )
A、(3,-1)
B、(-1,-1)
C、(1,1)
D、(-2,-1)
二、填空题(共5题;共5分)
13、(2015•烟台)正多边形的一个外角是72°,则这个多边形的内角和的度数是________.
14、现有一个正六边形的纸片,该纸片的边长为20cm,张萌想用一张圆形纸片将该正六边形纸片完全覆盖住,则圆形纸片的直径不能小于________ cm.
15、如图,已知四边形ABCD中,∠C=72°,∠D=81°.沿EF折叠四边形,使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处,则∠1+∠2=________°.
16、 如图,平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),点B′恰好落在BC边上,则∠C=________
17、如图,在图
(1)中,A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,在图
(2)中,A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点,…,按此规律,则第n个图形中平行四边形的个数共有________个
三、综合题(共5题;共63分)
18、如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:
四边形ADFE是平行四边形.
19、(2016•滨州)如图,已知抛物线y=﹣
x2﹣
x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?
若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
20、(2016•安徽)如图1,A,B分别在射线OA,ON上,且∠MON为钝角,现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.
(1)求证:
△PCE≌△EDQ;
(2)延长PC,QD交于点R.
①如图1,若∠MON=150°,求证:
△ABR为等边三角形;
②如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小和
的值.
21、(2016•丽水)如图,矩形ABCD中,点E为BC上一点,F为DE的中点,且∠BFC=90°.
(1)当E为BC中点时,求证:
△BCF≌△DEC;
(2)当BE=2EC时,求
的值;
(3)设CE=1,BE=n,作点C关于DE的对称点C′,连结FC′,AF,若点C′到AF的距离是
,求n的值.
22、(2016•江西)如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60°后,发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称∠OAB为“叠弦角”,△AOP为“叠弦三角形”.
【探究证明】
(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:
“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形;
(2)如图2,求证:
∠OAB=∠OAE′.
(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为________,________;
(4)图n中,“叠弦三角形”________等边三角形(填“是”或“不是”)
(5)图n中,“叠弦角”的度数为________(用含n的式子表示)
答案
一、单选题
【答案】C
【考点】垂线,同位角、内错角、同旁内角,平面镶嵌(密铺)
【解析】
【分析】A、只有一条直线截2条平行线得到的同位角才相等,故错误,不符合题意;
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故错误,不符合题意;
C、过直线上或直线外一点均有且只有一条直线与已知直线垂直,正确,符合题意;
D、只用一种图形进行镶嵌,三角形、四边形都可以镶嵌,六边形不一定能组成镶嵌,故错误,不符合题意;
故选C.
【答案】B
【考点】正多边形的定义
【解析】【解答】解:
A、正方形的最小旋转角度为90°,故本选项错误;
B、正五边形的最小旋转角度为
=72°,故本选项正确;
C、正六边形的最小旋转角度为
=60°,故本选项错误;
D、正八边形的最小旋转角度为
=45°,故本选项错误;
故选B.
【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度,即可做出判断.
【答案】C
【考点】平面镶嵌(密铺)
【解析】【解答】∵用一种正多边形镶嵌,只有正三角形,正四边形,正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案,
∴只用上面正多边形,不能进行平面镶嵌的是正五边形.
故选C.
【分析】平面图形镶嵌的条件:
判断一种图形是否能够镶嵌,只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角.若能构成360°,则说明能够进行平面镶嵌;反之则不能.考查了平面镶嵌(密铺),用一种正多边形镶嵌,只有正三角形,正四边形,正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案.
【答案】B
【考点】等边三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,等腰梯形的判定
【解析】【分析】画出草图分析,作AE∥CD于E点,则AECD是平行四边形,△ABE是等边三角形,据此易求BC的长.
【解答】如图所示:
作AE∥CD于E点,
∵AD∥BC,AE∥CD,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AE=CD=2,EC=AD=2
又AB=CD,∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,BE=2,
∴BC=4.
故选B.
【点评】此题考查了梯形中常作的辅助线:
平移腰,把梯形转化为平行四边形和三角形求解,体现了数学的化归思想.
【答案】A
【考点】三角形内角和定理,等腰三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,梯形
【解析】
【解答】∵DE//AB,∠B=70°,
∴∠DEC=∠B=70°.
又∵∠C=40°,
∴∠CDE=70°.
∴CD=CE.
∵AD//BC,DE//AB,
∴四边形ABED是平行四边形.
∴BE=AD=3.
∴CD=CE=BC-BE=BC-AD=10-3=7.
故选A.
【分析】根据平行线的性质,得∠DEC=∠B=70°,根据三角形的内角和定理,得∠CDE=70°,再根据等角对等边,得CD=CE.根据两组对边分别平行,知四边形ABED是平行四边形,则BE=AD=3,从而求解.
【答案】D
【考点】角平分线的定义,对顶角、邻补角,平行线的性质,平行四边形的性质,平行四边形的判定
【解析】【解答】由AB∥CD∥EF,根据两直线平行,同位角相等,内错角相等,可得:
∠AOE=∠OAB=∠ACD,又由AC平分∠BAD与BC∥AD,可得:
∠DAC=∠ACB,又由对顶角相等,可得与∠AOE(∠AOE除外)相等的角有5个。
∵AB∥CD∥EF,
∴∠AOE=∠OAB=∠ACD,
∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠BAC,
∵BC∥AD,
∴∠DAC=∠ACB,
∵∠AOE=∠FOC,
∴∠AOE=∠OAB=∠ACD=∠DAC=∠ACB=∠FOC.
∴与∠AOE(∠AOE除外)相等的角有5个.
故选D.
【分析】解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质,对顶角相等以及角平分线的性质,注意数形结合思想的应用,小心别漏解。
【答案】C
【考点】正多边形的定义,正多边形的性质
【解析】【解答】解:
如图,连接OA、OB;过点O作OG⊥AB于点G.
在Rt△AOG中,OG=
,∠AOG=30°,
∵OG=OA•cos30°,
∴OA=
=
=2,
∴这个正六边形的面积=6S△OAB=6×
×2×
=6
.
故选C.
【分析】根据正六边形的特点,通过中心作边的垂线,连接半径,结合解直角三角形的有关知识解决.
【答案】B
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由正五边形内角,得∠I=∠BAI=(5−2)×180°÷5=108°,
由正六边形内角,得∠ABC=(6−2)×180°÷6=120°,
根据正多边形的性质,可得BE平分∠ABC,则∠ABK=60°,
由四边形的内角和,得∠BKI=360°-∠I-∠BAI-∠ABK=360°-108°-108°-60°
=84°.
【分析】本题考查了多边形的内角与外角,利用了正五边形的内角,正六边形的内角,四边形的内角和公式.
【答案】C
【考点】等腰三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质,作图—基本作图
【解析】【解答】连结EF,AE与BF交于点O,如图,
∵AB=AF,AO平分∠BAD,
∴AO⊥BF,BO=FO=
BF=3,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AF∥BE,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AB=EB,
而BO⊥AE,
∴AO=OE,
在Rt△AOB中,AO=
=4,
∴AE=2AO=8.
故选C.
【分析】由基本作图得到AB=AF,加上AO平分∠BAD,则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF,BO=FO=
BF=3,再根据平行四边形的性质得AF∥BE,所以∠1=∠3,于是得到∠2=∠3,根据等腰三角形的判定得AB=EB,然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE,最后利用勾股定理计算出AO,从而得到AE的长.
【答案】A
【考点】平行线的性质,等腰三角形的性质,多边形内角与外角
【解析】【解答】解:
∵AB∥ED,
∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°,
∵AD=AE,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠EAD=60°,
∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°,
∵AB=AC=AD,
∴∠B=∠ACB,∠ACD=∠ADC,
在四边形ABCD中,∠BCD=
(360°﹣∠BAD)=
(360°﹣60°)=150°.
故选A.
【分析】根据两直线平行,同旁内角互补求出∠E,然后判断出△ADE是等边三角形,根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD=60°,再求出∠BAD=60°,然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解.
【答案】D
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:
∵只有②③两块角的两边互相平行,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,
∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.
故选D.
【分析】本题考查平行四边形的定义以及性质,解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点,四个顶点的位置确定了,平行四边形的大小就确定了,属于中考常考题型.确定有关平行四边形,关键是确定平行四边形的四个顶点,由此即可解决问题.
【答案】D
【考点】坐标与图形性质,平行四边形的判定
【解析】【解答】A,∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,
当第四个点为(3,-1)时,
∴BO=AC1=2,
∵A,C1,两点纵坐标相等,
∴BO∥AC1,
∴四边形OAC1B是平行四边形;故此选项正确;
B,∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,
当第四个点为(-1,-1)时,
∴BO=AC2=2,
∵A,C2,两点纵坐标相等,
∴BO∥AC2,
∴四边形OC2AB是平行四边形;故此选项正确;
C,∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,
当第四个点为(1,1)时,
∴BO=AC1=2,
∵A,C1,两点纵坐标相等,
∴C3O=BC3=
.
同理可得出AO=AB=
.
进而得出C3O=BC3=AO=AB,∠OAB=90°,
∴四边形OABC3是正方形;故此选项正确;
D,∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,
当第四个点为(-1,-1)时,四边形OC2AB是平行四边形;
∴当第四个点为(-2,-1)时,四边形OC2AB不可能是平行四边形;
故此选项错误.
故选:
D.
【分析】根据以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,根据平行四边形的判定分别对答案A,B,C,D进行分析即可得出符合要求的答案.
二、填空题
【答案】540°
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解:
多边形的边数:
360°÷72°=5,
正多边形的内角和的度数是:
(5﹣2)•180°=540°.
故答案为:
540°.
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数.n边形的内角和是(n﹣2)•180°,把多边形的边数代入公式,就得到多边形的内角和.
【答案】40
【考点】正多边形和圆,正多边形的定义,正多边形的性质
【解析】【解答】解:
如图所示,正六边形的边长为20cm,OG⊥BC,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BOC=
=60°,
∵OB=OC,OG⊥BC,
∴∠BOG=∠COG=
=30°,
∵OG⊥BC,OB=OC,BC=20cm,
∴BG=
BC=
×20=10cm,
∴OB=
=
=20cm,
∴圆形纸片的直径不能小于40cm;
故答案为:
40.
【分析】根据题意画出图形,再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数,最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可.
【答案】54
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】由题意得:
∠1+∠2+∠FEA′+∠EFB′+∠D+∠C=360°,
又∵∠C=72°,∠D=81°,
∴∠FEA′+∠EFB′+∠1+∠2=207°;
又∵∠AEF+∠BFE+∠FEA′+∠EFB′+∠1+∠2=360°,四边形A′B′FE是四边形ABEF翻转得到的,
∴∠FEA′+∠EFB′=∠AEF+∠BFE,
∴∠FEA′+∠EFB′=360°-207°=153°,
∴∠1+∠2=54°.
【分析】本题考查了翻转变换及多边形的内角和的知识,有一定难度,找准各个角的关系是关键.
【答案】105度
【考点】平行四边形的性质,旋转的性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点,点D′与点D是对应点),
∴AB=AB′,∠BAB′=30°,
∴∠B=∠AB′B=(180°-30°)÷2=75°,
∴∠C=180°-75°=105°.
故答案为:
105
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′,∠BAB′=30°,进而得出∠B的度数,再利用平行四边形的性质得出∠C的度数.
【答案】3n
【考点】三角形中位线定理,平行四边形的判定
【解析】【解答】在图
(1)中,A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C,
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形,共有3个.
在图
(2)中,A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点,
同理可证:
四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形,共有6个.
…
按此规律,则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个.
【分析】根据平行四边形的判断定理:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.在图
(1)中,有3个平行四边形;在图
(2)中,有6个平行四边形;…按此规律,则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个.
三、综合题
【答案】
(1)【解答】证明:
∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC,
又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AB=2AF
∴AF=BC,
在Rt△AFE和Rt△BCA中
∴△AFE≌△BCA(HL),
∴AC=EF;
(2)【解答】∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB,
∴EF∥AD,
∵AC=EF,AC=AD,
∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
【考点】全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,平行四边形的判定
【解析】【分析】
(1)首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又因为△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFE≌△BCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF;
(2)根据
(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.
【答案】
(1)解:
令y=0得﹣
x2﹣
x+2=0,
∴x2+2x﹣8=0,
x=﹣4或2,
∴点A坐标(2,0),点B坐标(﹣4,0),
令x=0,得y=2,
∴点C坐标(0,2)
(2)解:
由图象可知AB只能为平行四边形的边,
∵AB=EF=6,对称轴x=﹣1,
∴点E的横坐标为﹣7或5,
∴点E坐标(﹣7,﹣
)或(5,﹣
),此时点F(﹣1,﹣
),∴以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=6×
=
(3)如图所示,
①当C为顶点时,CM1=CA,CM2=CA,作M1N⊥OC于N,
在RT△CM1N中,CN=
=
,
∴点M1坐标(﹣1,2+
),点M2坐标(﹣1,2﹣
).
②当M3为顶点时,∵直线AC解析式为y=﹣x+1,
线段AC的垂直平分线为y=x,
∴点M3坐标为(﹣1,﹣1).
③当点A为顶点的等腰三角形不存在.
综上所述点M坐标为(﹣1,﹣1)或(﹣1,2+
)或(﹣1.2﹣
).
【考点】二次函数的应用,勾股定理,平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
(1)分别令y=0,x=0,即可解决问题.
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边,易知点E坐标(﹣7,﹣
)或(5,﹣
),由此不难解决问题.(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论,分别求解即可解决问题.本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法,学会分类讨论的思想,属于中考压轴题.
【答案】
(1)证明:
∵点C、D、E分别是OA,OB,AB的中点,
∴DE=OC,∥OC,CE=OD,CE∥OD,
∴四边形ODEC是平行四边形,
∴∠OCE=∠ODE,
∵△OAP,△OBQ是等腰直角三角形,
∴∠PCO=∠QDO=90°,
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO=∠ODQ=∠EDQ,
∵PC=
AO=OC=ED,CE=OD=
OB=DQ,
在△PCE与△EDQ中,
,
∴△PCE≌△EDQ;
(2)解:
①如图2,
连接RO,
∵PR与QR分别是OA,OB的垂直平分线,
∴AP=OR=RB,
∴∠ARC=∠ORC,∠ORQ=∠BRO,
∵∠RCO=∠RDO=90°,∠COD=150°,
∴∠CRD=30°,
∴∠ARB=60°,
∴△ARB是等边三角形;
②由
(1)得,EQ=EP,∠DEQ=∠CPE,
∴∠PEQ=∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ=∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE=∠ACE﹣∠RCE=∠ACR=90°,
∴△PEQ是等腰直角三角形,
∵△ARB∽△PEQ,
∴∠ARB=∠PEQ=90°,
∴∠OCR=∠ODR=90°,∠CRD=
∠ARB=45°,
∴∠MON=135°,
此时P,O,B在一条直线上,△PAB为直角三角形,且∠APB=90°,
∴AB=2PE=2×
PQ=
PQ,
∴
=
【考点】全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,平行四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
(1)根据三角形中位线的性质得到DE=OC,∥OC,CE=OD,CE∥OD,推出四边形ODEC是平行四边形,于是得到∠OCE=∠ODE,根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°,根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED,CE=DQ,即可得到结论
(2)①连接RO,由于PR与QR分别是OA,OB的垂直平分线,得到AP=OR=RB,由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC,∠ORQ=∠BRO,根据四边形的内角和得到∠CRD=30°,即可得到结论;
②由
(1)得,EQ=EP,∠DEQ=∠CPE,推出∠PEQ=∠ACR=9
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