数学实验答案.docx

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数学实验答案

注意:

在下面的题目中

为你的学号的后4位

第一次练习题

1．求

的所有根。

（先画图后求解）

fplot（'[exp（x）-3*x^2,0]',[-1,4]）

fsolve（'exp（x）-3*x.^2',[-0.5,1,4]）

ans=

-0.45900.91003.7331

2．求下列方程的根。

1）

fplot（'[x^5+5*x+1,0]',[-5,5]）

fsolve（'x.^5+5*x+1',-0.2）

ans=

-0.1999

2）

fplot（'[x*sin（x）-1/2,0]',[-4,4]）

fsolve（'x.*sin（x）-1/2',[-3,-1,1,3]）

ans=

-2.9726-0.74080.74082.9726

3．求解下列各题：

1）

>>symsx;

>>limit（（407*x-sin（407*x））/x^3,x,0）

ans=

67419143/6

2）

>>symsx;

>>f=int（exp（407*x^2）,x,0,1/2）;vpa（f,17）

ans=

.38197076670642666e42

3）

>>symsx;

>>int（x^4/（407+4*x^2）,x）

ans=

1/12*x^3-407/16*x+407/32*407^（1/2）*atan（2/407*x*407^（1/2））

4）

>>taylor（sqrt（407/1000+x）,9,x,0）

ans=

（1464843750000000*407^（1/2）*1000^（1/2）*x^7）/168177611185614613-（1190185546875000000*407^（1/2）*1000^（1/2）*x^8）/68448287752545147491-（20507812500000*407^（1/2）*1000^（1/2）*x^6）/4545340842854449+（27343750000*407^（1/2）*1000^（1/2）*x^5）/11167913618807-（39062500*407^（1/2）*1000^（1/2）*x^4）/27439591201+（62500*407^（1/2）*1000^（1/2）*x^3）/67419143-（125*407^（1/2）*1000^（1/2）*x^2）/165649+（407^（1/2）*1000^（1/2）*x）/814+（407^（1/2）*1000^（1/2））/1000

5）

（精确到17位有效数字）

>>symsx;

>>f=diff（exp（sin（1/x）,3）;

>>y=subs（f,x,407）;vpa（y,17）

ans=

-.21973664849151321e-9

4．求矩阵

的逆矩阵

及特征值和特征向量。

>>A=[-2,1,1;0,2,0;-4,1,4.07],inv（A）

A=

-2.00001.00001.0000

02.00000

-4.00001.00004.0700

ans=

-0.98310.37080.2415

00.50000

-0.96620.24150.4831

>>eig（A）

ans=

-1.2478

3.3178

2.0000

>>[P,D]=eig（A）

P=

-0.7992-0.18480.2425

000.9701

-0.6011-0.9828-0.0000

D=

-1.247800

03.31780

002.0000

5．已知

分别在下列条件下画出

的图形：

（1）>>symsx;

>>f=inline（'（1/（（2*pi）^（1/2）*p））*exp（-（x-u）^2/（2*p^2））'）;

>>y1=f（1,0,x）;

>>y2=f（1,-1,x）;

>>y3=f（1,1,x）;

>>y1

y1=

7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*x^2）

>>y2

y2=

7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*（x+1）^2）

>>y3

y3=

7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*（x-1）^2）

>>fplot（'[7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*x^2）,7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*（x+1）^2）,7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*（x-1）^2）]',[-6,6]）

（2）>>symsx;

>>f=inline（'（1/（（2*pi）^（1/2）*p））*exp（-（x-u）^2/（2*p^2））'）;

>>y1=f（1,0,x）;

>>y2=f（2,0,x）;

>>y3=f（4,0,x）;

>>y1

y1=

7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*x^2）

>>y2

y2=

7186705221432913/36028797018963968*exp（-1/8*x^2）

>>y3

y3=

7186705221432913/72057594037927936*exp（-1/32*x^2）

>>fplot（'[7186705221432913/18014398509481984*exp（-1/2*x^2）,7186705221432913/36028797018963968*exp（-1/8*x^2）,7186705221432913/72057594037927936*exp（-1/32*x^2）]',[-8,8]）

二解：

（1）>>fplot（'[（1/sqrt（2*pi））*exp（-x^2/2）,1/sqrt（2*pi）*exp（-（x+1）^2/2）,1/sqrt（2*pi）*exp（-（x-1）^2/2）]',[-10,10]）

（2）>>fplot（'[（1/sqrt（2*pi））*exp（-x^2/2）,1/（sqrt（2*pi）*2）*exp（-x^2/8）,1/（sqrt（2*pi）*4）*exp（-x^2/32）]',[-10,10]）

6．画下列函数的图形：

（1）

>>ezmesh（'u*sin（t）','u*cos（t）','t/4',[0,20,0,2]）

（2）

（第6题只要写出程序）.

ezmesh（'sin（t）*（3+cos（u））','cos（t）*（3+cos（u））','sin（u）',[0,2*pi,0,2*pi]）

第二次练习题

1、设

，数列

是否收敛？

若收敛，其值为多少？

精确到6位有效数字。

>>f=inline（'（x+407/x）/2'）;

symsx;

x0=3;

fori=1:

1:

20

x0=f（x0）;

fprintf（'%g,%g\n',i,x0）;

end

1,69.3333

2,37.6018

3,24.2129

4,20.5111

5,20.177

6,20.1742

7,20.1742

8,20.1742

9,20.1742

10,20.1742

11,20.1742

12,20.1742

13,20.1742

14,20.1742

15,20.1742

16,20.1742

17,20.1742

18,20.1742

19,20.1742

20,20.1742

本次计算运行到第六次结果稳定，可得：

数列

收敛，收敛到20.1742

2、设

是否收敛？

若收敛，其值为多少？

精确到17位有效数字（提示：

当

与

的前17位有效数字一致时终止计算）

注：

学号为单号的取

，学号为双号的取

>>s=0;

fori=1:

1:

200

s=s+1/i^7;

fprintf（'%g,%20.17f\n',i,s）;

end

1,1.00000000000000000

2,1.00781250000000000

3,1.00826974737082750

4,1.00833078252707750

5,1.00834358252707750

6,1.00834715477216210

7,1.00834836903784100

8,1.00834884587499920

9,1.00834905495015730

10,1.00834915495015730

……………………………

181,1.00834927738191870

182,1.00834927738191890

183,1.00834927738191920

184,1.00834927738191940

185,1.00834927738191960

186,1.00834927738191980

187,1.00834927738192000

188,1.00834927738192030

189,1.00834927738192050

190,1.00834927738192070

191,1.00834927738192070

192,1.00834927738192070

193,1.00834927738192070

194,1.00834927738192070

195,1.00834927738192070

196,1.00834927738192070

197,1.00834927738192070

198,1.00834927738192070

199,1.00834927738192070

200,1.00834927738192070

运行至第190次后稳定，值为1.00834927738192070

练习12对例2，对例2，取

观察图形有什么变化．试着提高迭代次数至26000、28000、100000、500000等观察图形有什么变化．

>>Martin（45,2,-300,5000）;

>>Martin（45,2,-300,26000）;

>>Martin（45,2,-300,28000）;

>>Martin（45,2,-300,100000）;

>>Martin（45,2,-300,500000）;

练习13取参数

为其他的值会得到什么图形？

参考表4.4.

表4.4Martin迭代参数参考表

-1000

0.1

-10

0.4

1

0

90

30

10

10

-10

100

-200

-4

-80

-137

17

4

10

100

-10

10

100

-10

练习13取参数

为其他的值会得到什么图形？

参考表4.4.

表4.4Martin迭代参数参考表

-1000

0.1

-10

0.4

1

0

90

30

10

10

-10

100

-200

-4

-80

-137

17

4

10

100

-10

>>Martin（-1000,0.1,-10,5000）;

>>Martin（-0.4,1,0,5000）;

>>Martin（90,30,10,5000）;

>>Martin（10,-10,100,5000）;

>>Martin（-200,-4,-80,5000）;

>>Martin（-137,17,4,5000）;

>>Martin（10,100,-10,5000）;

练习14　设A，B，C为某三角形的顶点，现作这样的迭代：

计算两个点的中点，这两个点分别是A,B,C中随机取得的一点，与前一步求得的中点（初始点任取）．当迭代次数大于10000时，试观察所得的散点图．

输入：

>>f=@（x,y）（x+y）/2;

x1=0;y1=0;x2=4;y2=0;x3=0;y3=4;

xn=x1;yn=y1;

forn=1:

10000

m=ceil（3*rand）;

ifm==1;

X=x1;Y=y1;

elseifm==2;

X=x2;Y=y2;

elsem==3;

X=x3;Y=y3;

end;

xN=xn;yN=yn;

xn=f（xN,X）;yn=f（yN,Y）;

plot（xn,yn,'k*'）;

holdon;

end;

holdoff

>>

输出：

书上习题：

（实验四）

1，2，4，7

（1），8，12（改为：

对例2，取

观察图形有什么变化．），13，14。

练习1编程判断函数

的迭代序列是否收敛．

>>f=inline（'（x-1）/（x+1）'）;

x0=4;

fori=1:

20

x0=f（x0）;

fprintf（'%g,%g\n',i,x0）;

end

1,0.6

2,-0.25

3,-1.66667

4,4

5,0.6

6,-0.25

7,-1.66667

8,4

9,0.6

10,-0.25

11,-1.66667

12,4

13,0.6

14,-0.25

15,-1.66667

16,4

17,0.6

18,-0.25

19,-1.66667

20,4

由此可以发现迭代数列不一定收敛，迭代中出现循环。

练习2先分别求出分式线性函数

、

的不动点，再编程判断它们的迭代序列是否收敛．

运用上节的收敛定理可以证明：

如果迭代函数在某不动点处具有连续导数且导数值介于-1与1之间，那末取该不动点附近的点为初值所得到的迭代序列一定收敛到该不动点．

（1）解方程

，得到x=－1，是函数f1（x）的不动点。

x=（x-1）/（x+3）

x=-1

f1=inline（'（x-1）/（x+3）'）;x0=-0.5;

fori=1:

2000

x0=f1（x0）;

fprintf（'%g,%g\n',i,x0）;

end

1982,-0.999001

1983,-0.999001

1984,-0.999002

1985,-0.999002

1986,-0.999003

1987,-0.999003

1988,-0.999004

1989,-0.999004

1990,-0.999005

1991,-0.999005

1992,-0.999006

1993,-0.999006

1994,-0.999007

1995,-0.999007

1996,-0.999008

1997,-0.999008

1998,-0.999009

1999,-0.999009

2000,-0.99901

（2）解方程

，得到x=－5和3，是函数f2（x）的不动点。

x=（-x+15）/（x+1）

x=-5,3;

formatlong;

f2=inline（'（x-15）/（x+1）'）;x0=6;

fori=1:

2000

x0=f2（x0）;

fprintf（'%g,%g\n',i,x0）;

end

1980,-17.2814

1981,1.98272

1982,-4.36424

1983,5.75591

1984,-1.3683

1985,44.4431

1986,0.647912

1987,-8.70926

1988,3.07543

1989,-2.92597

1990,9.3075

1991,-0.552267

1992,-34.7356

1993,1.47428

1994,-5.46654

1995,4.58219

1996,-1.86626

1997,19.4703

1998,0.218379

1999,-12.1322

2000,2.43727

由此可见由于迭代序列虽有不动点x=-1，但在此处导数不在-1与1之间，所以迭代数序列不收敛。

练习4能否找到一个分式线性函数

，使它产生的迭代序列收敛到给定的数？

用这种办法近似计算

．

x0=1;stopc=1;eps=10^（-17）;a=1;b=2;c=1;d=1;k=0;

f=inline（'（a*x+b）/（c*x+d）'）;

kmax=10;

whilestopc>eps&k

k=k+1;x0=f（a,b,c,d,x0）;

stopc=abs（x0^3-2）;

fprintf（'%i,%g\n',k,x0）

end

1,1.5

2,1.4

3,1.41667

4,1.41379

5,1.41429

6,1.4142

7,1.41422

8,1.41421

9,1.41421

10,1.41421

练习7下列函数的迭代是否会产生混沌？

（1）

=

>>f=inline（'1-2*abs（x-1/2）'）;

x=[];

y=[];

x

（1）=rand;

y

（1）=0;x

（2）=x

（1）;y

（2）=f（x

（1））;

fori=1:

10000

x（1+2*i）=y（2*i）;

x（2+2*i）=x（1+2*i）;

y（1+2*i）=x（1+2*i）;

y（2+2*i）=f（x（2+2*i））;

end

plot（x,y,'r'）;

holdon;

symsx;

ezplot（x,[0,1]）;

ezplot（f（x）,[0,10]）;

axis（[0,1,0,1]）;

holdoff

练习8函数

=

（0

1）称为Logistic映射，试从“蜘蛛网”图观察它取初值为

=0.5产生的迭代序列的收敛性，将观察记录填人下表，若出现循环，请指出它的周期．

表4.3Logistic迭代的收敛性

3.3

3.5

3.56

3.568

3.6

3.84

序列收敛情况

不收敛

循环

周期为2

不收敛

循环

周期为4

不收敛

循环

周期为8

混沌

混沌

不收敛

循环

周期为3

>>f=inline（'3.3*x*（1-x）'）;

>>x=[];

>>y=[];

>>x

（1）=0.5;

>>y

（1）=0;x

（2）=x

（1）;y

（2）=f（x

（1））;

>>fori=1:

10000

x（1+2*i）=y（2*i）;

x（2+2*i）=x（1+2*i）;

y（1+2*i）=x（1+2*i）;

y（2+2*i）=f（x（2+2*i））;

end

>>plot（x,y,'r'）;

>>holdon;

>>symsx;

>>ezplot（x,[0,1]）;

>>f=inline（'3.5*x*（1-x）'）;

>>x=[];

y=[];

x

（1）=0.5;

y

（1）=0;x

（2）=x

（1）;y

（2）=f（x

（1））;

fori=1:

10000

x（1+2*i）=y（2*i）;

x（2+2*i）=x（1+2*i）;

y（1+2*i）=x（1+2*i）;

y（2+2*i）=f（x（2+2*i））;

end

plot（x,y,'r'）;

holdon;

symsx;

ezplot（x,[0,1]）;

ezplot（f（x）,[0,1]）;

axis（[0,1,0,1]）;

holdoff

>>f=inline（'3.56*x*（1-x）'）;

>>x=[];

y=[];

x

（1）=0.5;

y

（1）=0;x

（2）=x

（1）;y

（2）=f（x

（1））;

fori=1:

10000

x（1+2*i）=y（2*i）;

x（2+2*i）=x（1+2*i）;

y（1+2*i）=x（1+2*i）;

y（2+2*i）=f（x（2+2*i））;

end

plot（x,y,'r'）;

holdon;

symsx;

ezplot（x,[0,1]）;

ezplot（f（x）,[0,1]）;

axis（[0,1,0,1]）;

holdoff

>>f=inline（'3.568*x*（1-x）'）;

>>x=[];

y=[];

x

（1）=0.5;

y

（1）=0;x

（2）=x

（1）;y

（2）=f（x

（1））;

fori=1:

10000

x（1+2*i）=y（2*i）;

x（2+2*i）=x（1+2*i）;

y（1+2*i）=x（1+2*i）;

y（2+2*i）=f（x（2+2*i））;

end

plot（x,y,'r'）;

holdon;

symsx;

ezplot（x,[0,1]）;

ezplot（f（x）,[0,1]）;

axis（[0,1,0,1]）;

holdoff

>>f=inline（'3.6*x*（1-x）'）;

>>x=[];

y=[];

x

（1）=0.5;

y

（1）=0;x

（2）=x

（1）;y

（2）=f（x

（1））;

fori=1:

10000

x（1+2*i）=y（2*i）;

x（2+2*i）=x（1+2*i）;

y（1+2*i）=x（1+2*i）;

y（2+2*i）=f（x（2+2*i））;

end

plot（x,y,'r'）;

holdon;

symsx;

ezplot（x,[0,1]）;

ezplot（f（x）,[0,1]）;

axis（[0,1,0,1]）;

holdoff

>>f=inline（'3.84*x*（1-x）'）;

>>x=[];

y=[];

x

（1）=0.5;

y

（1）=0;x

（2）=x

（1）;y

（2）=f（x

（1））;

fori=1:

10000

x（1+2*i）=y（2*i）;

x（2+2*i）=x（1+2*i）;

y（1+2*i）=x（1+2*i）;

y（2+2*i）=f（x（2+2*i））;

end

plot（x,y,'r'）;

holdon;

symsx;

ezplot（x,[0,1]）;

ezplot（f（x）,[0,1]）;

axis（[0,1,0,1]）;

holdoff

第三次练习题

书上习题：

（实验九）

2，3，4，9，10，12，14，16

练习2对

，

，求出

的通项.

输入：

>>A=[4,2;1,3];

>>A=sym（'[4,2;1,3]'）;

>>[P,D]=eig（A）;inv（P）;

>>Xn=P*D.^x*inv（P）*[1;2]

输出：

Xn=

-2^x+2*5^x