精品六年级下学期数学 立体图形复习 非常完整版题型训练+详细答案.docx
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精品六年级下学期数学立体图形复习非常完整版题型训练+详细答案
立体图形复习
★知识概要
一、立体图形的观察
1、三视图
2、小方块的数量
二、棱长和:
1、正方体的棱长和:
棱长×12
2、长方体的棱长和:
(长+宽+高)×4
三、表面积
1、正方体的表面积
2、长方体的表面积
3、圆柱的表面积
四、体积
1、长方体和正方体的体积
2、圆柱和圆锥的体积
五、图形的切割和拼接
1、长方体,正方体,圆柱和圆锥的切割和拼接
2、长方体和正方体表面染色问题
六、水中浸物
1、浸入水中物块的体积=上升水的体积
例1、
(1)如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体,它的主视图是()
解答:
B
(2)由n个相同的小正方体堆成的几何体,其视图如下所示,则n的最大值是(18)
解答:
标数法,先在俯视图上把主视图和左视图信息标数
演练1、
(1)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示,其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,那么该几何体的主视图是(B)。
(2)小华用一些小正方体搭了一个立体图形,这个立体图形从不同方向看到的图形如下。
小华搭这个立体图形至少用了(8)个小正方体。
解答:
标数法,先在俯视图上把主视图和左视图信息标数
例2、
(1)现有一根长150厘米的铁丝,用这根铁丝焊接成一个正方体框架,还剩6厘米铁丝,这个正方体框架的棱长是多少厘米?
(接头处忽略不计)
解答:
正方体的总共棱长和:
150-6=144(厘米)
每条棱长:
144÷12=12(厘米)
(2)用两个相同的正方体木块拼成一个长方体,棱长之和减少了24厘米,这两个正方体木块原来的棱长总和是多少?
解答:
两个相同的正方体木块拼成一个长方体,棱长之和减少了8条棱长
1条棱长:
24÷8=3(厘米)
棱长总和:
3×12×2=72(厘米)
演练2、
(1)、一根铁丝,可以做成长8厘米,宽6厘米,高4厘米的长方体框架,如果用它来做一个正方体框架,做成的正方体框架棱长是多少厘米?
解答:
总共的棱长和:
(8+6+4)×4=72(厘米)
正方体每天棱长:
72÷12=6(厘米)
(2)一个长方体木块被截成了两个完全相同的正方体,两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了16厘米,求原来长方体的长是多少厘米?
解答:
长方体木块被截成了两个完全相同的正方体,两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了8个正方体的棱长。
正方体每条棱长:
16÷8=2(厘米)
长方体的长:
2×2=4(厘米)
例3、
(1)有一根长52厘米长的铁丝,恰好可以焊成一个长6厘米,宽4厘米的长方体,它的表面积是多少?
解答:
棱长总和包括4长、4宽、4高。
长+宽+高=52÷4=13cm
高=13-6-4=3cm
(6×4+4×3+6×3)×2=108(平方厘米)
(2)一个长方体,如果长增加3厘米,就成为一个正方体,这时表面积就比原来增加了96平方厘米,原来长方体的表面积是多少平方厘米?
解答:
96平方厘米是增加的4个面的面积
96÷4=24平方厘米。
长是:
24÷3=8厘米。
高为:
8-3=5厘米
表面积:
(8×8+8×5+8×5)×2=288平方厘米
演练3、
(1)有一根长78厘米的铁丝,恰好可以焊成一个正方体,这个正方体的表面积是多少?
解答:
棱长78÷12=6.5cm
6.5×6.5×6=253.5(平方厘米)
(2)一个正方体,如下图的虚线处切开,就成为一个长方体,这时表面积比原来减少了多少平方厘米?
解答:
5×18×4=360(平方厘米)
例4、
(1)压路机的滚筒是一个圆柱形,它的横截面周长是⒊14米,长是⒈5米,每滚一周能压多大的路面?
如果转100周,压过的路面有多大?
解答:
一周即求侧面积:
3.14×1.5=4.71(平方米)
100周:
4.71×100=471(平方米)
(2)一个圆柱粮囤,如果他的高增加2米,表面积就增加62.8平方米,这个粮囤占地多少平方米?
解答:
表面积增加的部分即为侧面积增加的部分
底面周长:
62.8÷2=31.4(米)
底面半径:
31.4÷3.14÷2=5(米)
底面积:
3.14×5×5=78.5(平方米)
演练4、
(1)林叔叔做了一个圆柱形的灯笼(如图)。
上下底面的中间分别留出了78.5cm2的口,他用了多少彩纸?
解答:
彩纸:
圆柱的表面积-上、下底面的中间的圆
侧面:
3.14×20×30=1884(cm2)
底面:
3.14×(20÷2)×(20÷2)=314(cm2)
用的彩纸:
1884+314×2-78.5×2=2355(cm2)
(2)有一个圆柱形的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的直孔,如图,圆孔的直径是4厘米,孔深5厘米,如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,一共需要涂多少平方厘米?
解答:
涂色部分=大圆柱的表面积+小圆柱的侧面积
大圆柱的底面半径:
6÷2=3(厘米)
小圆柱的底面半径:
4÷2=2(厘米)
大圆柱的表面积=2×3.14×3×(3+10)=78π(平方厘米)
小圆柱的侧面积=3.14×4×5=20π(平方厘米)
一共:
78π+20π=98π=307.72(平方厘米)
例5、
(1)有块长方形铁皮长80厘米、宽45厘米,在它的四个角各减去一个边长为10厘米的正方形(如下图),然后焊接成一个无盖铁皮箱。
这个铁片箱的容积是多少升?
解答:
长:
80-2×10=60厘米
宽:
45-2×10=25厘米
高:
10厘米
容积:
60×25×10=15000立方厘米=15升
(2)将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体(不计损耗)。
求这个大正方体的体积?
解答:
每个面的面积:
54÷6=9平方厘米
96÷6=16平方厘米
150÷6=25平方厘米
9=3×3;16=4×4;25=5×5
体积为:
3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米
演练5、
(1)用棱长为2cm的正方体拼成一个如图所示的立体图形,问该立体图形的表面积是多少?
解答:
从前面看:
10个面
从上面看:
16个面
从左侧看:
10个面
表面积:
(10+10+16)×2×2×2=288cm²
(2)一个长方体的三个侧面的面积分别是1、4、9平方厘米,这个长方体的体积是多少?
解答:
假设原来长方体的长为a,宽为b,高为c
ab=1,bc=4,ca=9,那么a×a×b×b×c×c=1×4×9=36
体积=a×b×c=6
例6、
(1)把一个高是8厘米的圆柱体,沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米.原来的圆柱体的体积是多少立方厘米?
解答:
减少的面积是一个侧面积
底面圆周长:
12.56÷2=6.28(厘米)
半径:
6.28÷3.14÷2=1(厘米)
V=3.14×1×1×8=25.12(立方厘米)
(2)把一个横截面积为正方形的长方体,削成一个最大的圆锥,已知圆锥的底面周长是6.28厘米,高为5厘米,长方体的体积是多少立方厘米?
解答:
长方体的长和宽即为圆柱的底面直径:
6.28÷3.14=2(厘米)
长方体的体积:
2×2×5=20(立方厘米)
演练6、
(1)把一个高是5厘米的圆柱体,沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少25.12平方厘米.原来的圆柱体的体积是多少立方厘米?
解答:
减少的面积是一个侧面积
底面圆周长:
25.12÷2=12.56(厘米)
半径:
12.56÷3.14÷2=2(厘米)
V=3.14×2×2×5=62.8(立方厘米)
(2)一个圆锥形的稻谷堆,底面周长12.56米,高1.5米,把这堆稻谷装进一个圆柱形粮仓,正好装满.这个粮仓里面的底直径为2米,高是多少米?
解答:
圆锥的底面半径:
12.56÷2÷3.14=2(米)
圆锥的底面积:
3.14×2×2=12.56(平方米)
圆锥的体积:
12.56×1.5÷3=6.26(立方米)
圆柱的底面积:
3.14×(2÷1)×(2÷1)=3.14(平方米)
圆柱的高:
6.28÷3.14=2(米)
例7、
(1)一个正方体形状的木块儿,棱长为1米,若沿着正方体的三个方向分别锯成3份,四份、五份,如下图,得到大大小小的长方体60块,这60块长方体的表面积的和是多少平方米?
解答:
一共切了2+3+4=9刀,共增加9×2=18个面,加上原来表面的6个面,一共18+6=24个面,总面积为:
1×1×24=24(平方米)
(2)把一个高是50厘米的圆柱形木料,沿底直径把它切成两个相等的半圆柱,每个切面的面积是200平方厘米,那么原来圆柱体的侧面积是多少平方厘米?
解答:
切面是长方形,长为底面直径,宽为高
底面直径:
200÷50=4(厘米)
侧面积:
3.14×4×50=628(平方厘米)
(3)一个底面直径是12cm的圆锥形木块,把它分成形状大小完全相同的两个木块后,表面积比原来增加了120cm2,这个圆锥形木块的体积是多少?
解答:
表面积增加的部分是两个三角形的面积,三角形的底为圆锥的直径,高为圆锥的高
一个三角形的面积:
120÷2=60(平方厘米)
圆锥的高:
60×2÷12=10(厘米)
圆锥的体积:
3.14×(12÷2)×(12÷2)×10÷3=376.8(立方厘米)
演练7、
(1)一个表面积为56平方厘米的长方体如图切成27个小长方体,这27个小长方体的表面积的和是()平方厘米。
解答:
在长、宽、高的方向上各切1刀,会在每个方向上增加两个面,总共增加的就是一个表面积,现在切成了27个小长方体,说明在长宽高的方向上各切割了2刀,会增加2个表面积,加上原本就有1个表面积,则现在的总表面积为3个原来的表面积,即:
56×3=168(平方厘米)。
(2)一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成两部分,已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2000cm2,则这个圆柱体木棒的侧面积是多少?
解答:
增加的表面积是2个长方形的面积
一个长方形的面积:
2000÷2=1000(平方厘米)
即:
dh=1000,侧面积=πdh=3.14×1000=3140(平方厘米)
(3)把一个圆锥沿着底面直径和高切成形状大小完全相同的两部分,结果表面积之和比原来增加了48平方分米,圆锥的高为6分米,原来圆锥的体积是多少?
解答:
增加的是两个三角形,三角形的底是直径,高是圆锥的高
一个三角形的面积:
48÷2=24(平方分米)
底面半径:
24×2÷6÷2=4(分米)
圆锥的体积:
3.14×4×4×6÷3=100、48(立方分米)
例8、
(1)一个表面涂满了红色的正方体,在它的每个面上都等距离的切3刀。
①三个面涂有红色的小正方体有几个?
②两个面涂有红色的小正方体有几个?
③一个面涂有红色的小正方体有几个?
④六个面都没有涂红色的小正方体有几个?
解答:
(1)三面涂色的在角上,共8个
(2)两面涂色的在棱中间,每条棱有2个两面涂色,共12×2=24个
(3)一面涂色的在面中间,每个面有4个一面涂色,共6×4=24个
(4)没有涂色的在正方体中心,共有2×2×2=8个
(2)一个长方体,前面和上面的面积和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。
这个长方体的体积是多少?
解答:
(1)假设原来长方体的长为a,宽为b,高为c
a×b+a×c=209
a×(b+c)=209=19×11
(1)a=19,b+c=11,b=2,c=9(不是质数,舍掉)
(2)a=11,b+c=19,b=2,c=17体积=11×2×17=374(立方厘米)
演练8、
(1)将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体,其中一点红色没有涂的小立方体只有3块。
原来长方体的表面积是多少平方厘米?
解答:
假设原来长方体的长为a,宽为b,高为c
则一点红色都没有涂的小方块有(a-2)×(b-2)×(c-2)=3
而3是一个质数,只有唯一的一种分解方法:
3=1×1×3
所以可以得到:
a-2=1,a=3;b-2=1,b=3;c-2=3,c=5,所以原来长方体的长宽高分别为3厘米,3厘米,5厘米,
表面积=(3×3+3×5+3×5)×2=78(平方厘米)
(2)125个棱长为1厘米的小正方体,62个白色,63个黑色,拼成大正方体,在表面上白色部分的面积最多是多少平方厘米?
解答:
125=5×5×5,说明大正方体的棱长为5厘米
首先让8个顶点放上白色的小正方体,然后再让棱上放上白色小正方体,棱上一共:
(5-2)×12=36个,还剩:
62-36-8=18个放在面上,所以白色部分的面积一共有:
8×3+36×2+18=114平方厘米
例9、
(1)有一个长方体容器,从里面量长5分米、宽4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中,水面上升多少分米?
解答:
铁块体积:
2×2×2=8dm³
上升高度:
8÷(5×4)=0.4dm
(2)有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶,里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中.钢材从水桶里取出后,桶里的水下降了6厘米.这段钢材有多长?
解答:
物体体积=下降部分液体的体积
下降液体体积:
20×20×3.14×6=7536(立方厘米)
物体的长度:
7536÷(3.14×5×5)=96(厘米)
(3)如图:
小明家鱼缸内的假山体积是4立方分米,水深3分米,小明准备换去鱼缸内的水,于是找了一个圆柱形的水桶来装鱼缸内排出的水.算一算,当鱼缸内的水排完时,桶内的深度是多少分米?
(桶内底面积8平方分米,高为5分米)
解答:
先依据长方体的体积公式求出3分米深的水的体积,再减去假山的体积,就是鱼缸内水的体积,倒入水桶后,水的体积保持不变
(4.8×2.5×3﹣4)÷8=(36﹣4)÷8=32÷8=4(分米);
演练9、
(1)有一个小金鱼缸,长4分米、宽3分米、水深2分米。
把一块假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。
这块假山石的体积是多少立方分米?
解答:
4×3×0.8=9.6dm³
(2)一个盛有水的圆柱形容器,底面内半径为5厘米,深20厘米,水深15厘米.今将一个底面半径为2厘米,高为10厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米?
解答:
物体体积=上升部分液体的体积
物体体积:
2×2×3.14×10=125.6(立方厘米)
上升的高度:
125.6÷(3.14×5×5)=1.6(厘米)
水深:
15+1.6=16.6(厘米)
(3)有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶,里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中.钢材从水桶里取出后,桶里的水下降了2厘米.这段钢材的体积是多少?
解答:
物体体积=下降部分液体的体积
下降液体体积:
20×20×3.14×2=2512(立方厘米)
物体的长度:
2512÷(3.14×5×5)=32(厘米)
★课后作业
作业1:
(1)小明用一些小正方体摆成了一个立体图形,他从正面和左面看到图形分别如下:
小明摆这个立体图形至少用了(4)个小正
解答:
标数法,先在俯视图上把主视图和左视图信息标数。
没有俯视图先画一个最大可能俯视图,这个俯视图可以0个
(2)由若干个相同的小正方体堆积而成,且三视图如图所示,则该立体图形至少有(14)个小正方体。
解答:
标数法,先在俯视图上把主视图和左视图信息标数
天井模型中间可以空,四周必须有立方体
作业2:
(1)、一个长方体的12条棱的总长度是104厘米,已知它的长是13厘米,宽是10厘米,高是多少厘米?
解答:
长+宽+高=104÷4=26(厘米)
高:
26-13-10=3(厘米)
(2)用三个完全相同的正方体拼成一个长方体,这个长方体的棱长和是180厘米,原来一个正方体的棱长和是多少厘米?
解答:
长方体的棱长和一共包含了20条小正方体的棱长:
小正方体的棱长:
180÷20=9(厘米)
正方体的棱长和:
9×12=108(厘米)
作业3:
(1)有四个棱长为1分米的小正方体,将这四个正方体互相拼接,得到一个长方体,那么长方体的表面积最少是多少?
最大是多少?
解答:
1×1×6=6平方分米
总表面积6×4=24平方分米
最小:
拼接四次24-4×2=16平方分米
最大:
拼接三次24-3×2=18平方分米
(2)用3个长5厘米,宽4厘米,高3厘米的长方体木块,拼成一个表面积最小的长方体,这个长方体的表面积是多少平方厘米?
解答:
(5×3+5×4+3×4)×2×3=282平方厘米
282-5×4×4=202平方厘米
作业4:
(1)一个圆柱的侧面展开是正方形,这个圆柱的高是6.28厘米,它的表面积是多少?
(得数保留两位小数)
解答:
底面半径是:
6.28÷3.14÷2=1(厘米),
底面积是:
3.14×12=3.14(平方厘米),
侧面积是:
6.28×6.28=39.4384(平方厘米),
所以表面积是:
3.14×2+39.4384≈45.72(平方厘米),
(2)一个圆柱,如果把它的高截短3厘米,它的表面积就减少94.2平方厘米,这个圆柱的底面积是多少?
解答:
表面积减少的部分即为侧面积减少的部分
底面周长:
94.2÷3=31.4(厘米)
底面半径:
31.4÷3.14÷2=5(厘米)
底面积:
3.14×5×5=78.5(平方厘米)
作业5:
(1)将长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长为2厘米的正方形,然后沿虚线折叠成长方体容器。
这个容器的体积是多少立方厘米?
解答:
长:
13-2×2=9cm
宽:
9-2×2=5cm
高:
2cm
容积:
9×5×2=90cm³
(2)如图是由19个边长都是2厘米的立方体重叠而成的,求这个立体图形的表面积(单位平方厘米)。
解答;从前面看:
10个面
从左侧看:
8个面
从上面看:
9个面
表面积:
(10+9+8)×2×2×2=216cm²
作业6:
(1)一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如图.已知它的容积为
立方厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米;瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米.问:
瓶内酒精的体积是多少立方厘米?
合多少升?
解答:
瓶子的体积等于左图液体的体积+右图空气的体积,这样可是把瓶子看成一个底面积不变,高为8厘米的圆柱。
底面积=体积÷高=26.4π÷8=3.3π
液体体积:
3.3π×6=62.172(毫升)=0.062172(升)
(2)一个圆锥形沙堆,底面周长是18.84米,高2.8米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面,能够铺多少米?
解答:
圆锥的底面半径:
18.84÷3.14÷2=3(米)
圆锥的体积:
3.14×3×3×2.8÷3=26.376(立方米)
铺在路面上变成了长方体,长方体的以及依然是26.376立方米
铺的长度:
26.376÷10÷(4÷100)=65.94(米)
作业7:
(1)一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成两部分,已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大240cm2,则这个圆柱体木棒的侧面积是多少?
解答:
增加的表面积是2个长方形的面积
一个长方形的面积:
240÷2=120(平方厘米)
即:
dh=120,侧面积=πdh=3.14×120=376.8(平方厘米)
(2)一个高为12厘米的圆锥体,沿着底面直径分成大小,形状完全相同的两部分,表面积增加了192平方厘米,求这个圆锥体的体积是多少立方厘米?
解答:
增加的是两个三角形,三角形的底是直径,高是圆锥的高
一个三角形的面积:
192÷2=96(平方厘米)
底面半径:
96×2÷12÷2=8(厘米)
圆锥的体积:
3.14×8×8×12÷3=803.84(立方厘米)
作业8:
1、
(1)将一个长10厘米,宽5厘米,高4厘米的长方体表面全部染成红色,然后切割成棱长为1厘米的小正方体,所有的小正方体中有1面染色的有(92)个,2面染色的有(52)个,三面染色的有(8)个,0面染色的有(48)个。
(2)将一个棱长为8厘米的正方体表面全部染成红色,然后切割成棱长为1厘米的小正方体,所有的小正方体中有1面染色的有(216)个,2面染色的有(72)个,三面染色的有(8)个,0面染色的有(216)个
2、将一个表面都涂成红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体,其中一点红色都没有的小正方体只有5块.原来长方体的体积是多少立方厘米?
解答:
假设原来长方体的长为a,宽为b,高为c
则一点红色都没有涂的小方块有(a-2)×(b-2)×(c-2)=5
而5是一个质数,只有唯一的一种分解方法:
5=1×1×5
所以可以得到:
a-2=1,a=3;b-2=1,b=3;c-2=5,c=7,所以原来长方体的长宽高分别为3厘米,3厘米,7厘米,体积=3×3×7=63(立方厘米)
作业9:
(1)小明为了测量出一个土豆的体积,按如下的步骤进行了一个实验:
(1)在一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水,量得水面的高度是5厘米;
(2)将土豆放入水中,再次测量水面高度是7厘米。
如果玻璃的厚度忽略不计,这个土豆的体积大约是多少立方厘米?
解答:
土豆的体积=水上升的体积
=3.14×(8÷2)×(8÷2)×(7-5)=100.48(立方厘米)
(2)一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是
厘米,水深
厘米.现将一个底面积是16平方厘米,高为
厘米的长方体铁块竖放在水中后.现在水深多少厘米?
解答:
物体体积=上升部分液体的体积
物体体积:
16×12=192(立方厘米)
上升的高度:
192÷80=2.4(厘米)
水深:
13+12.4=25.4(厘米)
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