湖南醴陵市届高三数学第一次联考试题理科附答案.docx
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湖南醴陵市届高三数学第一次联考试题理科附答案
湖南醴陵市2019届高三数学第一次联考试题(理科附答案)
在E上,MF1与x轴垂直,
且sin∠MF2F1=,则E的离心率为()
A.B.C.D.2
5.设等差数列的前项和为,且,,则满足的最大自然数为()
A.12B.13C.22D.23
6.函数(其中为自然对数的底数)图象的大致形状是()
7.已知抛物线的焦点为,准线为,且过点,在抛物线上,
若点,则的最小值为()
A.2B.3C.4D.5
8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()
A.B.
C.D.
9.某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,
数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课方法的种数是()
A.16B.24C.8D.12
10.函数()的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为()
A.B.C.D.
11.已知数列的前n项和为,且满足,,,记,数列的前n项和为,若对,恒成立,
则k的取值范围为()
A.B.C.D.
12.已知四面体ABCD的外接球球心O恰好在棱AD上,且,,,
则这个四面体的体积为()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.若满足不等式,则的最大值为_____已知向量与的夹角为,,,则_____已知函数,,若存在常数,对,唯一的,使得,则称常数是函数在上的几何平均数.
已知函数,,则在上的几何平均数是.
16.已知函数,函数
有三个零点,则实数的取值范围为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题需要写出必要的解答过程)
17.(本小题满分12分)
设的内角的对边分别为a,b,c且.
(1)求角B的大小;
(2)若,,求边a和c的值.
18.(本小题满分12分)
某数学老师分别用传统教学和新课堂两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:
记成绩不低于70分者为成绩优良.
分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]
甲班频数56441
乙班频数13655
(1)由以上统计数据填写下面22列联表,并判断成绩优良与教学方式是否有关?
甲班乙班总计
成绩优良
成绩不优良
总计
(2)甲乙两班成绩未达优良的同学共15位,老师现从中任意抽取3人进行谈话,以便了解学习情况.在这3人中,记乙班成绩不优良的人数为,求的分布列及数学期望.
附:
.临界值表如下:
0.010
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,
且.
(1)证明:
;
(2)若为的中点,且,
求二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆:
(),过点,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ),是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于,两点,
交椭圆于另一个点,求面积取得最大值时直线的方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数,曲线在x=1处的切线方程为。
(1)求a和b的值;
(2)求函数在上的最大值;
(3)证明:
当x0时,.
22.(本小题满分10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为,其中.
(Ⅰ)求的极坐标方程;
(Ⅱ)若与交于不同两点A和B,且,求的最大值.
2019届高三第一次联考
数学(理科)参考答案
一、单选题(每小题5分,共60分)
题号123456789101112
答案CDDACBBCABAD
11.【答案】A
【解答】由,得,两式作差得又,,可求得a3=4,所以数列是等比数列,且,代入,所以
而恒成立,所以,故选A
【分析】,得到两式子一减得到,进而求出的通项,将其通项代入,裂项得到,求其前n项和可以采用裂项相消法,最后便可以计算出k的范围。
12.【答案】D
【解答】∵,AC=2,
∴AB2+BC2=AC2,
∴AB⊥BC,
∴△ABC外接圆的直径为AC,圆心O′为AC的中点
∵球心O恰好在侧棱DA上,
∴,又外接球球心O恰好在棱AD上,所以O为AD中点,所以//BC.
即,,
四面体的体积为.
故答案为:
D.
【分析】由数据得到AB⊥BC,则直角△ABC外接圆的直径为AC,圆心O′为AC的中点,
得到DC⊥面ABC,再由体积公式求体积.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.【答案】14.【答案】6
15.【答案】16.【答案】
16.【解答】由题得有三个零点,
所以有三个零点,
所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分,
y=a(x-2)表示过定点(2,0)的直线,所以直线和粗线有三个交点.
所以
由题得,.
所以,
所以a的取值范围为.
【分析】本题的突破口是研研究结构特征,从而将g(x)=0的零点问题转化为,于是可以通过作图加以研究解决。
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.【解答】
(1)解:
bsinA=acosB,由正弦定理可得.2分
即得0.4分
5分
6分
(2)解:
sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,.8分
由余弦定理,
解得.10分
12分
【分析】
(1)利用正弦定理边化角,得B角的正切,求得B.
(2)利用正弦定理角化边,再用余弦定理解得a和c.
18.【解答】
(1)解:
根据题意得22列联表如下:
甲班乙班总计
成绩优良91625
成绩不优良11415
总计202040
2分
根据22列联表中的数据,得的观测值为
,.4分
在犯错概率不超过0.05的前提下认为成绩优良与教学方式有关.6分
(2)由题可知的可能取值为0,1,2,3..7分
;;
;.
的分布列为:
X0123
P
10分
所以.12分
【分析】
(1)将列联表填写完整,结合K2的计算公式,计算结果,即可得出答案。
(2)分别计算出X=0,1,2,3的概率,列出分布列,计算期望,即可得出答案。
19.【解答】
(1)证明:
∵,
∴,
,
∴1分
又∵底面,
∴2分
∵,
∴平面.3分
平面,.4分
∴平面平面.5分
(2)解:
由
(1)知,DA,DB,DP两两垂直,分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
如图所示,设AD=1得AB=2,,令,
则,,,,,.6分
∴.
∴,∴.7分
故,.8分
设平面的法向量为,
则,
令,得,即9分
易知平面的一个法向量为,10分
则.11分
∴二面角的大小为.12分
【分析】
(1)根据勾股定理得出BC⊥BD,结合PD⊥BC可得BC⊥平面PBD,利用平面与平面垂直的判定得出平面PBD⊥平面PBC;
(2)建立坐标系,求出平面QBD和平面BCD的法向量,用空间向量求平面间的夹角,得出二面角的大小.
(注:
由于命题出现失误,此题第2问存在问题,应该没有固定结果,为使评价近似合理,建议阅卷作如下标准记分:
学生采用设AD=1方法所得出参考答案中结果的记满分,学生采用设其他具体数据算出余弦值或角度的记满分,如果学生考虑周密认为只能设AD为字母参数而算不出结果也得满分。
命题组给大家带来麻烦还敬请谅解)
20.【解答】解:
(1)由题意得.2分
解得4分
所以椭圆方程为.5分
方法二:
由得1分
.2分
由椭圆经过点P(0,2))得.3分
所以4分
所以椭圆方程为5分
(2)由题知直线的斜率存在,不妨设为,则:
.6分
若时,直线的方程为,的方程为,易求得,
,此时7分
若时,则直线:
.
圆心到直线的距离为.
直线被圆截得的弦长为
.8分
.由,
得,
故.9分
所以
.10分
当时上式等号成立11分
因为,
所以面积取得最大值时直线的方程应该是.12分
【分析】
(1)结合椭圆的基本性质列方程,即可得出答案。
(2)分k=0和k不为0两种情况讨论,结合直线l1的方程和圆方程,用k表示|AB|的长,结合直线l2和椭圆方程,利用所截的弦长为,表示线段PD,结合三角形面积计算公式,即可得出答案。
21【解答】解:
(1),.1分
由题设得,,,.2分
解得,.3分
(2)法1:
由
(1)知,,.4分
因为当时,所以当时,
,
故在上单调递增,.5分
所以.6分
法2:
由
(1)知,,.4分
在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以在上单调递增,.5分
所以,..6分
(3)因为,又由
(2)知,过点,
且在处的切线方程为,
故可猜测:
当时,的图象恒在切线的上方.7分
下证:
当时,.
设,则,
由
(2)知,在上单调递减,在上单调递增,
又,
所以存在,使得
所以当时,;当,,
故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
又(当且仅当时取等号)
故.10分
因为当时,故当时,
当且仅当时取等号,所以当时.
即,所以,
即成立(当时等号成立).12分
22【答案】解:
(Ⅰ)消去参数得到的普通方程为2分
再将,代入的普通方程中,得到的极坐标方程为..4分
(Ⅱ)将代入,
得.6分
令,得,
已知,解得7分
设,则
,
则8分
所以9分
又,所以当
即时的最大值为..10分
【解析】
(1)将参数方程化成普通方程,再利用代入,化简,即可得出答案;
(2)把题目所求的式子转化成三角函数的形式,再求三角表达式的最大值,即可得出答案。
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