斯特瓦尔特定理.docx
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斯特瓦尔特定理
数形结合,动静互易
(一)
在解决代数问题时,要注意其几何意义,通过几何图形的直观反映题设条件
与结论之间的联系,反之在解决几何问题时,应注意其间的数量关系,有时结合
代数方法,可弥补直觉想像的不足.
例1.正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=,k
2
求证:
aB+bC+cA (节21届全苏数学奥林匹克竞赛题) 《分析》除了纯代数方法以外,若能联想几何意义,视正数为线段长, 则两正数之积可与面积相联系,于是可构造以k为边长的正三角形,使 其三边分别为a+A,B+b,C+c,(如图1) 于是求证的结论可视作要证 S△PNM+S△QLN+S△RLM △PQR (∵;; ;) 结论显然成立. 《说明》此例的几何证法不太好想,但只要想到,其优越性是不言自明的. 例2.若2x+y≥1,试求函数 W=y 2-2y+x2+4x的最小值 《分析》若采用纯代数的方法求解,过程相当繁杂,不妨试用几何方法. 《解》设P(x,y)是直角坐标平面oxy上的一点,则 2x+y≥1 表示直线2x+y-1=0的上方(含直线本身)区域. 再视W=y 2-2y+x2+4x为方程,变形为: (x+2)2+(y-1)2=W+5 可见它表示以o′(-2,1)为圆心,为半径的圆.由于W不 定它表示的是动圆,而其上点(x,y)应是直线2x+y-1=0上方(含直 线)的点,为使W最小,即需此动圆半径最小,此即o′到直线ι 的距离. 故当时, 即为所求最小值. 为求出何时取到最小值,只需再解方程组 得;即此时,函数取最小值. 例3.解不等式: 分析: 本题是道高考的容易题,但实际上当年考生得分并不高,错误的原因就在 于绝大多数同学只会用分类讨论的方法解此无理不等式,而在讨论时,又分类不 全,错误率很高,其实只要有数形结合的思想,利用图象求解,本题还是很容易 的. 《解》作与y=x+1的图象于同一坐标系,解方程组 得出交点A(2,2),注意到B(,0),结合题意可能不等式的解 为 x∈ (2) (待续) 《竞赛园地》 . 柯西不等式 (一) 《内容》 设a1,a2,,an和b1,b2,bn是两组实数,则 (a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)≥(1ab1+⋯+anbn)2 (当且仅当时,等式成立) 证明 方法1(利用排序不等式) (1)若a1=a2=,=an=0或b1=b2=,=bn=0显然成立; (2)若,且a1≤a2≤,≤an, 且b1≤b2≤,≤bn, 记 由排序原理有 x1xn+1+x2xn+2+,+xnx2n+xn+1x1+,+x2n·xn ≤x1·x1+x2·x2+,+x2n·x2n. 即 于是 进而有 (∵|a+b|≤|a|+|b|) 即 式中等号成立的充要条件是x1=x2=,=x2n,即 方法2,构造二次函数 显然f(x)≥0,因而其判别式△≤0,即 即, 当且仅当时成立. 《应用》例1.利用柯西不等式证明 (1)(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd; (2)若a、b、c∈R +,则 (3)若a、b、c∈R +,且ab+bc+cd=1,则. (4). 证明 (1)∵(ab+cd)(ac+bd) 等式当且仅当且a=d即b=c,a=d时成立. (2) =(1+1+1) 2=9 当且仅当a=b=c时,等式成立. (3)注意到 (a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)·(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca) 2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)·(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca) ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥1+2=3, 2=1, 又由a+b+c>0,故 当且仅当时,等式成立. (4)注意到 竞赛中的平面几何基础 小精灵(来了北大后,发现忘了不少高中的东西,但一旦重新 拾起,就会有更深认识基于同样的原因,高中的你请和我们一起来 看看初中的很“基础”很“基础”的东西) 照常理,我似乎应给你们再加点“料”,但见到这么多梅理、瓦 理,再加那么几个公式,定理似乎没有什么必要了,你有足够的内 存,时间,练习去记住每一个吗? 仔细看每一个定理,它们都可以 用正/余弦定理或更基本的思路来证明。 它们不过是一些快捷方式, 快捷键罢了。 给你这么多公式唯一的目的是告诉你,由某些基本定 理(余/正弦),可推导出三角形中存在的许多恒定的关系。 比奥赛,就是比怎样去推导、理解、运用这些关系。 记住正/ 余弦,以后靠你自己吧,不过,多说一句,玩电脑的人喜欢快捷方 式。 仅仅会初中平面几何中的定理,远远不能适应数学竞赛的需要,现在介绍几 个在现行初中课本删去,但高中数学竞赛很需要的基础定理。 《定理1》正弦定理 △ABC中,设外接圆半径为R,则 证明概要 如图1,过B作直径BA',则∠A'=∠A, ∠BCA'=90°,故 即; 同理可得 当∠A为钝角时,可考虑其补角,π-A. 当∠A为直角时,∵sinA=1,故无论哪种情况正弦定理成立。 《定理2》余弦定理 △ABC中,有关系 a 2=b2+c2-2bccosA;(*) 222 b=c+a-2cacosB; c 2=a2+b2-2abcosC; 有时也用它的等价形式a=ccosB+bcosC;b=acosC+ccosA;(**) c=acosB+bcosA. 证明简介 余弦定理的证法很多,下面介绍一种复数证法 如图建立复平面,则由 2)+(bsinθ2) =(bcosA-c 即a 2=b2+c2-2bccosA, 同理可证(*)中另外两式;至于**式,由图2显见。 《定理3》梅内劳斯定理 直线截△ABC的边BC,CA,AB或其延长线于D、E、F. 则 (若: 考虑线段方向,则等式右边为-1) 证法简介 本题可以添加平行线来证明,也可不添辅助线,仅用正弦定理来证明。 在△FBD、△CDE、△AEF中,由正弦定理,分别有 《定理4》塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AB、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴① 而由△ABD被直线COF所截,∴② (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 同理④⑤ ③×④×⑤得 《定理5》塞瓦定理逆定理 在△ABC三边所在直线BC、CA、AB上各取一点D、E、F,若有 则AD、BE、CE平行或共点。 证法简介 (Ⅰ)若AD∥BE(如图画5-1)则 代入已知式: ;于是, 故AD∥CF,从而AD∥BE∥CF (Ⅱ)若AD、BE交于O(图5-2),则连CO交AB于F’据.塞 瓦定理,可得 而已知 ∵AF’+F’B=AF+FB=AB∴AF’=AF 即F’即F,可见命题成立。 《定理6》斯特瓦尔特定理 在△ABC中,若D是BC上一点,且BD=p,DC=q,AB=c, AC=b,则 证明简介: 在△ABD和△ABC中,由余弦定理,得 抽屉原理是组合数学中一个非常有用和重要的方法。 本文将用它处理三个组合问题。 例1和例2是与整除有关的问题,同学们读后不妨想一想,任意多 少个整数中,至少有4个数的和为4的倍数,把4换成5、6,或者是n,能否得 出一般的结论? [定理引入]若5个苹果放在两个抽屉中,则至少有一个抽屉有3个苹果,即 有个苹果; 若有10只鸽子,放在3个笼子中,则至少有一个笼中关有4只鸽子,即 只鸽子,, 定理: 若有p个元素放入q个盒子中,则当q|p时,至少有一个盒子中,放 有个元素;若qp时,至少有一个盒子中,放有+1个元素。 [定理应用] 例1.任意三个整数中,至少有两个整数的和为2的倍数,请予证明。 证明: 任一整数或者是偶数,或者是奇数,再构造两只抽屉,一只放偶数, 一只放奇数,根据抽屉原理,,即至少有一个抽屉放了两个奇数,或 者两个偶数,无论是哪一种情况,该抽屉内所放两数的和都是偶数(证毕)。 例2.任意5个整数中,至少有3个数的和为3的倍数。 分析: 任一整数被3除的余数只有3种可能: 或者整除,则余数为0,或者 不能整除,则余数为1或2. 我们构造3个抽屉,分别放置形如3m、3m+1、3m+2的数,其中,这 三类数也可称为余0类,余1类,余2类。 把任意五个整数,按其余数情况放入这三个抽屉,由抽屉原理: 必有某一抽 屉有整数。 (个) 对这三个抽屉的数,进行分类讨论,命题可以得证。 证明: 按余0类,余1类,余2类构造三个盒子,由抽屉原理,必有一盒子 放有个关于3的余数相同的数,则另外3个盒中放的3个数,或者同 属一类,这时结论显然成立;若2个属一类,另一个属一类,这时从三类不同余 数的盒子,各抽一个数,则此三数和必为3的倍数。 因而无论整数在三个抽屉中如何分布,总能找到其和为3的倍数的三个数。 例3.下面的结论是否正确,请予证明或举反例说明其伪。 在1999年高中数学冬令营中,有82名来自各省市的优秀选手,则其中必有 10位选手来自同一省市或者来自十个不同省市。 解: 若其中参加冬令营的省市超过10个,结论显然成立;若这些选手来自 的省市不足十个,则由抽屉原理,必有一省市来了。 名选手,不论何种情况,结论成立(证毕) [问题提出]1978年全国高中数学竞赛有这样一道著名的试题: 有10个人各拿一只水桶去打水,设水龙头注满i个人的水桶需要ti分钟, 并假定这ti(i=1、2、,、10)各不相同。 问只有一个水龙头时,应如何安排10 个人的顺序,使他们接满水桶花费的总时间最少? 并求出这个最少的总时间(设 水流量恒定)。 [数学模型的建立] 设i1、i2、,、i10是1、2、,、10这十个数的一个排列。 若第一接水人的 水桶需ti1分接满,则当他接水时,其余9人每人都要等待ti1分钟,因此十人总 等候时间和10ti1分。 同理第二人接水时间为ti2,有9人共等候9ti2分,依此类 推,10人都接满水时,接水人总等候时间为 T=10ti1+9ti2+,,+2ti9+ti10(分) 于是问题转化为求T的最小值,怎样求这最小值呢? 这就需要掌握下面的所 解“排序不等式” [定理内容] 设有数组A: a1≤a2≤,,≤an,及数组B: b1≤b2≤,,≤bn.称 a1b1+a2b2+,,+anbn为顺序和,a1bn+a2bn-1+a3bn-2+,,+anb1为倒序
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- 瓦尔 定理
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