第二章21212 空间中直线与直线之间的位置关系.docx
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第二章21212空间中直线与直线之间的位置关系
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.垂直于同一条直线的两条直线( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.其它三项均有可能
【答案】D
【解析】如图所示,当a⊥l,b⊥l时,有如下情形:
2.如果一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条直线之间的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.可能平行、可能相交、可能异面
【答案】D
【解析】可以利用长方体的棱所在的直线找到平行,相交,异面的情况.
3.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( )
A.梯形
B.矩形
C.平行四边形
D.正方形
【答案】D
【解析】如图,因为BD⊥AC,且BD=AC,
又因为E,F,G,H分别为对应边的中点,所以
,
.所以FG⊥HG,且FG=HG.所以四边形EFGH为正方形.
4.已知直线a,b,c,d,且a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【答案】A
【解析】∵a∥b,b∥c,∴a∥c,又c∥d,∴a∥d.
5.四面体ABCD中,AD=BC,且AD⊥BC,E、F分别是AB、CD的中点,则EF与BC所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】B
【解析】取BD中点G,连接EG,FG,则∠EFG为异面直线EF与BC所成的角.
∵
,
∴EG=GF.
∵AD⊥BC,EG∥AD,GF∥BC,∴EG⊥GF,
∴△EGF为等腰直角三角形,
∴∠EFG=45°.
6.(填空题)如图所示,在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中,E,F,G,H分别为AA₁,AB,BB₁,B₁C₁的中点,则异面直线EF与GH所成的角为________°.(填数字)
【答案】60°
【解析】连接BC₁,BA₁,A₁C₁(图略).
∵EF∥BA₁,GH∥BC₁,
∴异面直线EF与GH所成的角即为BC₁与BA₁所成的角,
即∠A₁BC₁.又∵A₁B=BC₁=A₁C₁,∴∠A₁BC₁=60°.
7.(填空题)如图所示是一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有________对.(填数字)
【答案】3
【解析】把题中所给的展开图还原,得到原来的正方体如图所示,在图中标出A,B,C,D,E,F,G,H各点,注意到B与F,C与G重合.由异面直线的定义可得,四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有AB与CD,AB与GH,EF与GH,共3对.
8.(填空题)如图,在三棱柱ABCA₁B₁C₁中,E、F分别是AB、AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B₁C₁的位置关系是________.
【答案】平行
【解析】∵在△ABC中,AE∶EB=AF∶FC,
∴EF∥BC,又∵BC∥B₁C₁,∴EF∥B₁C₁.
9.(主观题)如图所示,已知正方体ABCDA′B′C′D′.
(1)求异面直线BC′与A′B′所成角的大小;
(2)求异面直线CD′与BC′所成角的大小.
【解析】
(1)由A′B′∥C′D′可知,
∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角.
∵BC′⊥C′D′,
∴异面直线BC′与A′B′所成的角为90°.
(2)连接AD′,AC(图略).由AD′∥BC′可知,
∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角.
∵△AD′C是等边三角形,
∴∠AD′C=60°,即异面直线CD′和BC′所成的角为60°.
10.(主观题)在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E、F分别是另外两组对边AD、BC上的点,且
,
,求AB和CD所成角的大小.
【解析】连接BD,过点E作AB的平行线交BD于O,连接OF,
∵EO∥AB,∴
,
.
又∵AB=3,∴EO=2.
∵
,∴
,∴OF∥DC,
∴OE与OF所成的锐角或直角即为AB和CD所成的角,
∴
.
∵DC=3,∴OF=1.
在△OEF中,
,
,
∴
,
∴∠EOF=90°,
∴AB和CD所成的角为90°.
[B组 能力提升]
1.如图所示,在三棱柱ABCA₁B₁C₁中,AA₁⊥底面ABC,AB=BC=AA₁,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB₁的中点,则直线EF和BC₁所成的角是( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
【答案】B
【解析】连接AB₁,易知AB₁∥EF,连接B₁C,B₁C与BC₁交于点G,取AC的中点H,连接GH,则GH∥AB₁∥EF.设AB=BC=AA₁=a,连接HB,在△GHB中,易知
,故所求的两直线所成的角即为∠HGB=60°.
、
2.如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A、B中,PQ∥RS;D中PR∥QS,且PQ和RS相交.
3.在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中,点P在线段AD₁上运动,则异面直线CP与BA₁所成的角θ的取值范围是( )
A.0°<θ<60°
B.0°≤θ<60°
C.0°≤θ≤60°
D.0°<θ≤60°
【答案】D
【解析】如图,连接CD₁,AC,因为CD₁∥BA₁,所以CP与BA₁所成的角就是CP与CD₁所成的角,即θ=∠D₁CP.当点P从D₁向A运动时,∠D₁CP从0°增大到60°,但当点P与D₁重合时,CP∥BA₁,与CP与BA₁为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA₁所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.
4.(填空题)如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN等于________.
【答案】5
【解析】取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角,∵∠MPN=90°,
,∴MN=5.
5.(主观题)如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a,求异面直线PB与AC所成角的正切值.
【解析】观察图形,可以将该图看成是正方体的一部分,因此可以通过补形来求异面直线的夹角的正切值,将此多面体补成正方体DBCAD₁B₁C₁P(如图所示),则PB与AC所成的角
的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小.故在Rt△PDB中,
.
6.(主观题)已知四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1.求EF的长度.
【解析】如图,取BC中点O,连接OE,OF,
∵OE∥AC,OF∥BD,
∴∠EOF即为AC与BD所成的角或其补角.
而AC,BD所成的角为60°,
∴∠EOF=60°或∠EOF=120°.
当∠EOF=60°时,
;
当∠EOF=120°时,取EF中点M,则OM⊥EF,
.
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