奥数题详解.docx
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奥数题详解.docx
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奥数题详解
第2讲横式数字谜
(一)
在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字,或用字母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式,叫做数字谜题目。
解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。
例如,求算式324+□=528中□所代表的数。
根据“加数=和-另一个加数”知,
□=582-324=258。
又如,求右竖式中字母A,B所代表的数字。
显然个位数相减时必须借位,所以,由12-B=5知,B=12-5=7;由A-1=3知,A=3+1=4。
解数字谜问题既能增强数字运用能力,又能加深对运算的理解,还是培养和提高分析问题能力的有效方法。
这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。
解横式数字谜,首先要熟知下面的运算规则:
(1)一个加数+另一个加数=和;
(2)被减数-减数=差;
(3)被乘数×乘数=积;
(4)被除数÷除数=商。
由它们推演还可以得到以下运算规则:
由
(1),得和-一个加数=另一个加数;
其次,要熟悉数字运算和拆分。
例如,8可用加法拆分为
8=0+8=1+7=2+6=3+5=4+4;
24可用乘法拆分为
24=1×24=2×12=3×8=4×6(两个数之积)
=1×2×12=2×2×6=…(三个数之积)
=1×2×2×6=2×2×2×3=…(四个数之积)
例1下列算式中,□,○,△,☆,*各代表什么数?
(1)□+5=13-6;
(2)28-○=15+7;
(3)3×△=54;(4)☆÷3=87;
(5)56÷*=7。
解:
(1)由加法运算规则知,□=13-6-5=2;
(2)由减法运算规则知,○=28-(15+7)=6;
(3)由乘法运算规则知,△=54÷3=18;
(4)由除法运算规则知,☆=87×3=261;
(5)由除法运算规则知,*=56÷7=8。
例2下列算式中,□,○,△,☆各代表什么数?
(1)□+□+□=48;
(2)○+○+6=21-○;
(3)5×△-18÷6=12;
(4)6×3-45÷☆=13。
解:
(1)□表示一个数,根据乘法的意义知,
□+□+□=□×3,
故□=48÷3=16。
(2)先把左端(○+○+6)看成一个数,就有
(○+○+6)+○=21,
○×3=21-6,
○=15÷3=5。
(3)把5×△,18÷6分别看成一个数,得到
5×△=12+18÷6,
5×△=15,
△=15÷5=3。
(4)把6×3,45÷☆分别看成一个数,得到
45÷☆=6×3-13,
45÷☆=5,
☆=45÷5=9。
例3
(1)满足58<12×□<71的整数□等于几?
(2)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的?
试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。
180=□×□×□×□。
(3)若数□,△满足
□×△=48和□÷△=3,
则□,△各等于多少?
分析与解:
(1)因为
58÷12=4……10,71÷12=5……11,
并且□为整数,所以,只有□=5才满足原式。
(2)拆分180为四个整数的乘积有很多种方法,如
180=1×4×5×90=1×2×3×30=…
但拆分成四个“大于1”的数字的乘积,范围就缩小了,如
180=2×2×5×9=2×3×5×6=…
若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积,范围又缩小了。
按从小到大的次序排列只有下面一种:
180=2×3×5×6。
所以填的四个数字依次为2,3,5,6。
(3)首先,由□÷△=3知,□>△,因此,在把48拆分为两数的乘积时,有
48=48×1=24×2=16×3=12×4=8×6,
其中,只有48=12×4中,12÷4=3,因此
□=12,△=4。
这道题还可以这样解:
由□÷△=3知,□=△×3。
把□×△=48中的□换成△×3,就有
(△×3)×△=48,
于是得到△×△=48÷3=16。
因为16=4×4,所以△=4。
再把□=△×3中的△换成4,就有
□=△×3=4×3=12。
这是一种“代换”的思想,它在今后的数学学习中应用十分广泛。
下面,我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。
例4在等号左端的两个数中间添加上运算符号,使下列各式成立:
(1)4444=24;
(2)55555=6。
解:
(1)因为4+4+4+4<24,所以必须填一个“×”。
4×4=16,剩下的两个4只需凑成8,因此,有如下一些填法:
4×4+4+4=24;
4+4×4+4=24;
4+4+4×4=24。
(2)因为5+1=6,等号左端有五个5,除一个5外,另外四个5凑成1,至少要有一个“÷”,有如下填法:
5÷5+5-5+5=6;
5+5÷5+5-5=6;
5+5×5÷5÷5=6;
5+5÷5×5÷5=6。
由例4看出,填运算符号的问题一般会有多个解。
这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的,如果只是盲目地“试算”,那么就可能走很多弯路。
例5在下式的两数中间添上四则运算符号,使等式成立:
823=33。
分析与解:
首先考察右端“33”,它有四种填法:
3+3=6;3-3=0;
3×3=9;3÷3=1。
再考察左端“823”,因为只有一个奇数3,所以要想得到奇数,3的前面只能填“+”或“-”,要想得到偶数,3的前面只能填“×”。
经试算,只有两种符合题意的填法:
8-2+3=3×3;8÷2-3=3÷3。
填运算符号可加深对四则运算的理解和认识,也是培养分析能力的好内容。
练习2
1.在下列各式中,□分别代表什么数?
□+16=35;47-□=12;□-3=15;
4×□=36;□÷4=15;84÷□=4。
2.在下列各式中,□,○,△,☆各代表什么数?
(□+350)÷3=200;(54-○)×4=0;
360-△×7=10;4×9-☆÷5=1。
3.在下列各式中,□,○,△各代表什么数?
150-□-□=□;
○×○=○+○;
△×9+2×△=22。
4.120是由哪四个不同的一位数字相乘得到的?
试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里:
120=□×□×□×□。
5.若数□,△同时满足
□×△=36和□-△=5,
则□,△各等于多少?
6.在两数中间添加运算符号,使下列等式成立:
(1)55555=3;
(2)1234=1。
7.在下列各式的□内填上合适的运算符号,使等式成立:
12□4□4=10□3。
8.在下列各式的□内填上合适的运算符号,使等式成立:
123□45□67□89=100;
123□45□67□8□9=100;
123□4□5□67□89=100;
123□4□5□6□7□8□9=100;
12□3□4□5□67□8□9=100;
1□23□4□56□7□8□9=100;
12□3□4□5□6□7□89=100。
答案与提示 练习2
1.略。
2.□=250,○=54,△=50,☆=175。
3.□=50,○=0或2,△=2。
4.1×3×5×8或1×4×5×6或2×3×4×5。
5.□=9,△=4。
6.
(1)5-5÷5-5÷5=3;
(2)1×2+3-4=1。
7.12÷4+4=10-3或12+4÷4=10+3。
8.123-45-67+89=100;
123+45-67+8-9=100;
123+4-5+67-89=100;
123-4-5-6-7+8-9=100;
12+3-4+5+67+8+9=100;
1+23-4+56+7+8+9=100;
12-3-4+5-6+7+89=100。
第3讲竖式数字谜
(一)
这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。
解加、减法数字谜问题的基本功,在于掌握好上一讲中介绍的运算规则
(1)
(2)及其推演的变形规则,另外还要掌握数的加、减的“拆分”。
关键是通过综合观察、分析,找出解题的“突破口”。
题目不同,分析的方法不同,其“突破口”也就不同。
这需要通过不断的“学”和“练”,逐步积累知识和经验,总结提高解题能力。
例1在右边的竖式中,A,B,C,D各代表什么数字?
解:
显然,C=5,D=1(因两个数
字之和只能进一位)。
由于A+4+1即A+5的个位数为3,且必进一位(因为4>3),所以A+5=13,从而A=13-5=8。
同理,由7+B+1=12,即B+8=12,得到B=
12-8=4。
故所求的A=8,B=4,C=5,D=1。
例2求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和:
分析与解:
(1)由于和的个位数字是9,两个加数的个位数字之和不大于9+9=18,所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。
(这是“突破口”)
再由两个加数的个位数之和未进位,因而两个加数的十位数字之和就是14。
故这两个加数的四个数字之和是9+14=23。
(2)由于和的最高两位数是19,而任何两个一位数相加的和都不超过18,因此,两个加数的个位数相加后必进一位。
(这是“突破口”,与
(1)不同)
这样,两个加数的个位数字相加之和是15,十位数字相加之和是18。
所求的两个加数的四个数字之和是15+18=33。
注意:
(1)
(2)两题虽然题型相同,但两题的“突破口”不同。
(1)是从和的个位着手分析,
(2)是从和的最高两位着手分析。
例3在下面的竖式中,A,B,C,D,E各代表什么数?
分析与解:
解减法竖式数字谜,与解加法竖式数字谜的分析方法一样,所不同的是“减法”。
首先,从个位减起(因已知差的个位是5)。
4<5,要使差的个位为5,必须退位,于是,由14-D=5知,D=14-5=9。
(这是“突破口”)
再考察十位数字相减:
由B-1-0<9知,也要在百位上退位,于是有10+B-1-0=9,从而B=0。
百位减法中,显然E=9。
千位减法中,由10+A-1-3=7知,A=1。
万位减法中,由9-1-C=0知,C=8。
所以,A=1,B=0,C=8,D=9,E=9。
例4在下面的竖式中,“车”、“马”、“炮”各代表一个不同的数字。
请把这个文字式写成符合题意的数字式。
分析与解:
例3是从个位着手分析,而这里就只能从首位着手分析。
由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知,“炮”=1。
被减数与减数的百位数相同,其相减又是退位相减,所以,“马”=9。
至此,我们已得到下式:
由上式知,个位上的运算也是退位减法,由11-“车”=9得到“车”=2。
因此,符合题意的数字式为:
例5在右边的竖式中,“巧,填,式,谜”分别代表不同的数字,它们各等于多少?
解:
由(4×谜)的个位数是0知,“谜”=0或5。
当“谜”=0时,(3×式)的个位数是0,推知“式”=0,与“谜”≠“式”矛盾。
当“谜”=5时,个位向十位进2。
由(3×式+2)的个位数是0知,“式”=6,且十位要向百位进2。
由(2×填+2)的个位数是0,且不能向千位进2知,“填”=4。
最后推知,“巧”=1。
所以“巧”=1,“填”=4,“式”=6,“谜”=5。
练习3
1.在下列各竖式的□中填上适当的数字,使竖式成立:
2.下列各竖式中,□里的数字被遮盖住了,求各竖式中被盖住的各数字的和:
3.在下列各竖式的□中填入合适的数字,使竖式成立:
4.下式中不同的汉字代表1~9中不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。
这个竖式的和是多少?
5.在下列各竖式的□中填入合适的数字,使竖式成立:
答案与提示练习3
1.
(1)764+265=1029;
(2)981+959=1940;(3)99+903=1002;(4)98+97+923=1118。
2.
(1)28;
(2)75。
3.
(1)23004-18501=4503;
(2)1056-989=67;(3)24883-16789=8094;(4)9123-7684=1439。
4.987654321。
5.提示:
先解上层数谜,再解下层数谜。
小学数学奥数基础教程(三年级)
本教程共30讲
第4讲竖式数字谜
(二)
本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。
掌握好乘、除法的基本运算规则(第2讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基础。
根据题目结构形式,通过综合观察、分析,找出“突破口”是解题的关键。
例1在左下乘法竖式的□中填入合适的数字,使竖式成立。
分析与解:
由于积的个位数是5,所以在乘数和被乘数的个位数中,一个是5,另一个是奇数。
因为乘积大于被乘数的7倍,所以乘数是大于7的奇数,即只能是9(这是问题的“突破口”),被乘数的个位数是5。
因为7×9<70<8×9,所以,被乘数的百位数字只能是7。
至此,求出被乘数是785,乘数是9(见右上式)。
例2在右边乘法竖式的□里填入合适的数字,使竖式成立。
分析与解:
由于乘积的数字不全,特别是不知道乘积的个位数,我们只能从最高位入手分析。
乘积的最高两位数是2□,被乘数的最高位是3,由
可以确定乘数的大致范围,乘数只可能是6,7,8,9。
到底是哪一个呢?
我们只能逐一进行试算:
(1)若乘数为6,则积的个位填2,并向十位进4,此时,乘数6与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是5(因4+5=9)。
这样一来,被乘数的十位上就无数可填了。
这说明乘数不能是6。
(2)若乘数为7,则积的个位填9,并向十位进4。
与
(1)分析相同,为使积的十位是9,被乘数的十位只能填5,从而积的百位填4。
得到符合题意的填法如右式。
(3)若乘数为8,则积的个位填6,并向十位进5。
为使积的十位是9,被乘数的十位只能填3或8。
当被乘数的十位填3时,得到符合题意的填法如右式。
当被乘数的十位填8时,积的最高两位为3,不合题意。
(4)若乘数为9,则积的个位填3,并向十位进6。
为使积的十位是9,被乘数的十位只能填7。
而此时,积的最高两位是3
,不合题意。
综上知,符合题意的填法有上面两种。
除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。
例3在左下边除法竖式的□中填入适当的数,使竖式成立。
分析与解:
由48÷8=6即8×6=48知,商的百位填6,且被除数的千位、百位分别填4,8。
又显然,被除数的十位填1。
由
1□=商的个位×8
知,两位数1□能被8除尽,只有16÷8=2,推知被除数的个位填6,商的个位填2。
填法如右上式。
例3是从最高位数入手分析而得出解的。
例4在右边除法竖式的□中填入合适的数字。
使竖式成立。
分析与解:
从已知的几个数入手分析。
首先,由于余数是5,推知除数>5,且被除数个位填5。
由于商4时是除尽了的,所以,被除数的十位应填2,且由于3×4=12,8×4=32,推知,除数必为3或8。
由于已经知道除数>5,故除数=8。
(这是关键!
)
从8×4=32知,被除数的百位应填3,且商的百位应填0。
从除数为8,第一步除法又出现了4,8×8=64,8×3=24,这说明商的千位只能填8或3。
试算知,8和3都可以。
所以,此题有下面两种填法。
练习4
1.在下列各竖式的□里填上合适的数:
2.在右式中,“我”、“爱”、“数”、“学”分别代表什么数时,乘法竖式成立?
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代表一个不同的数字,它
们各等于多少时,右边的乘法竖式成立?
4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数,使竖式成立:
5.在下式的□里填上合适的数。
答案与提示 练习4
1.
(1)7865×7=55055;
(2)2379×8=19032或7379×8=59032。
2.“我”=5,“爱”=1,“数”=7,“学”=2。
3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别代表8,7,9,1,2。
4.
(1)5607×7=801;
(2)822÷3=274。
5.
小学数学奥数基础教程(三年级)
本教程共30讲
第5讲找规律
(一)
这一讲我们先介绍什么是“数列”,然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如,
(1)1,2,3,4,5,6,…
(2)1,2,4,8,16,32;
(3)1,0,0,1,0,0,1,…
(4)1,1,2,3,5,8,13。
一个数列中从左至右的第n个数,称为这个数列的第n项。
如,数列
(1)的第3项是3,数列
(2)的第3项是4。
一般地,我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个,如数列
(2)(4),也可以是无限多个,如数列
(1)(3)。
许多数列中的数是按一定规律排列的,我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列
(1)是按照自然数从小到大的次序排列的,也叫做自然数数列,其规律是:
后项=前项+1,或第n项an=n。
数列
(2)的规律是:
后项=前项×2,或第n项
数列(3)的规律是:
“1,0,0”周而复始地出现。
数列(4)的规律是:
从第三项起,每项等于它前面两项的和,即
a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,
a6=3+5=8,a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类:
第一类是数列各项只与它的项数有关,或只与它的前一项有关。
例如数列
(1)
(2)。
第二类是前后几项为一组,以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些,我们用后面的例3、例4来作一些说明。
例1找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)4,7,10,13,(),…
(2)84,72,60,(),();
(3)2,6,18,(),(),…
(4)625,125,25,(),();
(5)1,4,9,16,(),…
(6)2,6,12,20,(),(),…
解:
通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析,可发现
(1)的规律是:
前项+3=后项。
所以应填16。
(2)的规律是:
前项-12=后项。
所以应填48,36。
(3)的规律是:
前项×3=后项。
所以应填54,162。
(4)的规律是:
前项÷5=后项。
所以应填5,1。
(5)的规律是:
数列各项依次为
1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4,
所以应填5×5=25。
(6)的规律是:
数列各项依次为
2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,
所以,应填5×6=30,6×7=42。
说明:
本例中各数列的每一项都只与它的项数有关,因此an可以用n来表示。
各数列的第n项分别可以表示为
(1)an=3n+1;
(2)an=96-12n;
(3)an=2×3n-1;(4)an=55-n;(5)an=n2;(6)an=n(n+1)。
这样表示的好处在于,如果求第100项等于几,那么不用一项一项地计算,直接就可以算出来,比如数列
(1)的第100项等于3×100+1=301。
本例中,数列
(2)(4)只有5项,当然没有必要计算大于5的项数了。
例2找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)1,2,2,3,3,4,(),();
(2)(),(),10,5,12,6,14,7;
(3)3,7,10,17,27,();
(4)1,2,2,4,8,32,()。
解:
通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
(1)把数列每两项分为一组,1,2,2,3,3,4,不难发现其规律是:
前一组每个数加1得到后一组数,所以应填4,5。
(2)把后面已知的六个数分成三组:
10,5,12,6,14,7,每组中两数的商都是2,且由5,6,7的次序知,应填8,4。
(3)这个数列的规律是:
前面两项的和等于后面一项,故应填(17+27=)44。
(4)这个数列的规律是:
前面两项的乘积等于后面一项,故应填(8×32=)256。
例3找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)18,20,24,30,();
(2)11,12,14,18,26,();
(3)2,5,11,23,47,(),()。
解:
(1)因20-18=2,24-20=4,30-24=6,说明(后项-前项)组成一新数列2,4,6,…其规律是“依次加2”,因为6后面是8,所以,a5-a4=a5-30=8,故
a5=8+30=38。
(2)12-11=1,14-12=2,18-14=4,26-18=8,组成一新数列1,2,4,8,…按此规律,8后面为16。
因此,a6-a5=a6-26=16,故a6=16+26=42。
(3)观察数列前、后项的关系,后项=前项×2+1,所以
a6=2a5+1=2×47+1=95,
a7=2a6+1=2×95+1=191。
例4找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)12,15,17,30,22,45,(),();
(2)2,8,5,6,8,4,(),()。
解:
(1)数列的第1,3,5,…项组成一个新数列12,17,22,…其规律是“依次加5”,22后面的项就是27;数列的第2,4,6,…项组成一个新数列15,30,45,…其规律是“依次加15”,45后面的项就是60。
故应填27,60。
(2)如
(1)分析,由奇数项组成的新数列2,5,8,…中,8后面的数应为11;由偶数项组成的新数列8,6,4,…中,4后面的数应为2。
故应填11,2。
练习5
按其规律在下列各数列的()内填数。
1.56,49,42,35,()。
2.11,15,19,23,(),…
3.3,6,12,24,()。
4.2,3,5,9,17,(),…
5.1,3,4,7,11,()。
6.1,3,7,13,21,()。
7.3,5,3,10,3,15,(),()。
8.8,3,9,4,10,5,(),()。
9.2,5,10,17,26,()。
10.15,21,18,19,21,17,(),()。
11.数列1,3,5,7,11,13,15,17。
(1)如果其中缺少一个数,那么这个数是几?
应补在何处?
(2)如果其中多了一个数,那么这个数是几?
为什么?
答案与提示 练习5
1.28。
2.27。
3.48。
4.33。
提示:
“后项-前项”依次为1,2,4,8,16,…
5.18。
提示:
后项等于前两项之和。
6.31。
提示:
“后项-前项”依次为2,4,6,8,10。
7
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