集合论.docx
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集合论
第一章集合
习题1.1
1.
a){0,1,2,3,4}
b){11,13,17,19}
c){12,24,36,48,64}
2.
a){x|xN且x100}
b)Ev={x|xN且2整除x}Od={x|xN且2不能整除x}
c){y|存在xI使得y=10x}或{x|x/10I}
3.极小化步骤省略
a)
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A;
若,A,则A。
或
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A;
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则aA。
或
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A;
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则aA。
b)
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A;
若,A且0,则A。
c)
若a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则a.A;
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则aA;
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则aA。
或
{0.,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.}A;
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则aA;
若A且a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},则aA。
d)
{0,10}A;
若A,则1A;
若,A且0,则A。
e)Ev定义如下:
{0}Ev或0Ev;
若Ev,则+2Ev。
Od定义如下:
{1}Od或1Od;
若Od,则+2Od。
f)
{0}A或0A;
若A,则
A。
4.A=G;C=F;B=E。
5.题号是否正确
a)
b)(空集不含任何元素)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
6.题号是否正确
a)(反例:
A={a};B=;C={{a}})
b)(反例:
A=;B={};C={})
c)(反例:
A=;B={a};C={})
d)(反例:
A=;B={};C={{}})
7.能。
例如:
B=A{A}。
8.
a);{1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3};
b);{1};{{2,3}};{1,{2,3}};
c);{{1,{2,3}}};
d);{};
e);{};{{}};{,{}};
f);{{1,2}};
g);{{,2}};{{2}};{{,2},{2}};
9.
a){,{a},{{b}},{a,{b}}};
b){,{1},{},{1,}};
c){,{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{x,y,z}};
d){,{},{a},{{a}},{,a},{,{a}},{a,{a}},{,a,{a}}}。
习题1.2
1.
a)A~B={4};
b)(AB)~C={1,3,5};
c)~(AB)={2,3,4,5};
d)~A~B={2,3,4,5};
e)(A–B)–C=;
f)A–(B–C)={4};
g)(AB)C={5};
h)(AB)(BC)={1,2}。
2.
a)BC或B–E;
b)AD;
c)(A–B)C;
d)C–B或C–A;
e)(AC)(E–B)或(A–E)(E–B);
3.
a)证明:
对于任意xAC,
因为xAC,所以xA或xC。
若xA,则由于AB,因此xB;
若xC,则由于CD,因此xD。
所以,xB或xD,即xBD。
所以,ACBD。
类似可证ACBD。
d)A–(BC)=A~(BC)=A(~B~C)=(AA)(~B~C)
=(A~B)(A~C)=(A–B)(A–C)
f)A–(A–B)=A~(A–B)=A~(A~B)=A(~AB)
=(A~A)(AB)=(AB)=AB
4.
a))若A=B,则AB=A且AB=A。
因此,AB=(AB)–(AB)=A–A=。
)若AB=,则AB=AB。
又因为ABAAB且ABBAB,所以
AB=A=B=AB。
所以A=B。
5.证明略。
a)
b)
c)(反例:
A={a,b},B={a},C={b})
d)(反例:
A={a},B={a,b},C={a,c})
e)
f)(反例:
A={a,b},B={a},C={b})
g)(反例:
A={a},B={a,b},C={a,c})
6.
a)BC~A;
b)ABC;
c)A~(BC),即BC~A;
d)ABC;
e)(A–B)(A–C)=(A~B)(A~C)=
((A~B)(A~C))–((A~B)(A~C))=
((A~B)(A~C))~((A~B)(A~C))=
((A~B)(A~C))(~(A~B)~(A~C))=
((A~B)(A~C))((~AB)(~AC))=
(A(~B~C))(~A(BC))=
(A(~B~C))(BC)=
A((BC)~(BC))=
A(BC)
因此,若(A–B)(A–C)=A,则A(BC)=A。
所以,A(BC)。
f)由上题,(A–B)(A–C)=A(BC)
因此,若(A–B)(A–C)=,则A(BC)=。
g)A=B;
h)A=B=;
i)A=B;
j)B=;
k)BA或AB。
7.
a)对于任意x(A)(B),则x(A)或x(B)。
若x(A),则xA。
因为AAB,所以,xAB。
因此,x(AB)。
若x(B),则xB。
因为BAB,所以,xAB。
因此,x(AB)。
所以,总有x(AB)。
因此,(A)(B)(AB)。
b)对于任意x(A)(B),则x(A)且x(B)。
x(A),因此xA。
x(B),因此xB。
所以,xAB。
因此,x(AB)。
所以,(A)(B)(AB)。
8.
a){{}}={},{{}}={};
b){,{}}={},{,{}}=;
c){{a},{b},{a,b}}={a,b},{{a},{b},{a,b}}=。
9.证明:
i)若xR0,则xR且x1。
所以对于任意iI+均有x<1+1/i。
即对于任意iI+均有xRi。
所以,x
。
ii)若x
,则对于任意iI+均有xRi。
所以对于任意iI+均有x<1+1/i。
所以,x1,故x
。
10.因为An+1An,所以
,
。
11.
,
。
12.
a)
;
b)
。
习题1.3
1.
a)证明:
用第一归纳法
i)当n=1时,左边=1/2=右边;
ii)对任意的k1,假设当n=k时命题为真,即
因为
即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n1均有
。
b)证明:
用第一归纳法
i)当n=1时,左边=2=右边;
ii)对任意的k1,假设当n=k时命题为真,即
2+22+23++2k=2k+1-2
因为
2+22+23++2k+2k+1=2k+1-2+2k+1=2k+2-2
即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n1均有
2+22+23++2n=2n+1-2。
c)证明:
用第一归纳法
i)当n=0时,左边=10=右边;
当n=1时,左边=22=右边;
ii)对任意的k1,假设当n=k时命题为真,即
2k2k
因为
2k+1=22k22k2k+2=2(k+1)(因为k1)
即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n1均有
2n=2n。
d)证明:
用第一归纳法
i)当n=1时,左边=3,右边=3,3|3,所以n=1时命题为真;
ii)对任意的k1,假设当n=k时命题为真,即
3|k3+2k
因为
(k+1)3+2(k+1)=k3+3k2+3k+1+2k+2=(k3+2k)+3(k2+k+1)
由于3|k3+2k且3|3(k2+k+1),因此,3|(k+1)3+2(k+1)
即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n1均有
3|n3+2n。
e)证明:
用第一归纳法
i)当n=1时,左边=6=右边=3,所以n=1时命题为真;
ii)对任意的k1,假设当n=k时命题为真,即
123+234++k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)/4
因为
123+234++k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=
k(k+1)(k+2)(k+3)/4+(k+1)(k+2)(k+3)=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/4
即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n1均有
123+234++n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4。
f)证明:
证明分三部分
三个相邻整数中最小者0;
三个相邻整数中最小者=-1;
三个相邻整数中最小者-2。
对
用第一归纳法,即证9|n3+(n+1)3+(n+2)3
i)当n=0时,9|9,所以n=0时命题为真;
ii)对任意的k0,假设当n=k时命题为真,即
9|k3+(k+1)3+(k+2)3
因为
(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=
k3+3k2+3k+1+(k+1)3+3(k+1)2+3(k+1)+1+(k+2)3+3(k+2)2+3(k+2)+1=
k3+(k+1)3+(k+2)3+3k2+3k+1+3(k+1)2+3(k+1)+1+3(k+2)2+3(k+2)+1=
k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+27k+27=
k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3)
由于9|k3+(k+1)3+(k+2)3且9|9(k2+3k+3)
所以,9|(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3,即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n0均有
9|n3+(n+1)3+(n+2)3
对
由于9|n3+(n+1)3+(n+2)3,所以,9|(-n)3+(-(n+1))3+(-(n+2))3。
对
因为9|0,所以此时命题也为真。
根据以上证明可知,任意三个相邻整数的立方和能被9整除。
g)证明:
用第一归纳法
i)当n=0时,112+121=133,133|133,所以n=0时命题为真;
ii)对任意的k0,假设当n=k时命题为真,即
133|11k+2+122k+1
因为
11k+3+122(k+1)+1=1111k+2+122122k+1=11(11k+2+122k+1)+133122k+1
由于133|11k+2+122k+1且133|133122k+1
因此,133|11(11k+2+122k+1)+133122k+1。
即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n1均有
133|11n+2+122n+1
3.证明:
用第二归纳法
i)当n=1时,
,所以n=1时命题为真;
当n=2时,
,所以n=2时命题为真;
ii)对任意的k2,假设当2nk时命题均为真,
则由对于任意nI+,Fn+1=Fn+Fn-1可知
Fk+1=Fk+Fk-1
Fk+1=Fk+Fk-1
即当n=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意n1均有
。
4.分析:
(证明略)
设n=(m+1)q+r,mr>0。
首先,甲扳倒r根,然后每当乙扳倒x(1xm)根,因为1(m+1)–xm,所以此时甲可扳倒(m+1)–x根,故甲总能获胜。
证明:
对q(即n除以m+1的商)用第一归纳法。
i)当q=0时,因为n=r且mr1,所以甲可一次将r根全部扳倒,则甲获胜。
ii)对任意的k0,假设当q=k时命题为真,
则当q=k+1时,即存在r使得n=(m+1)(q+1)+r,mr>0,由于
此时甲可扳倒r根,然后乙只能扳倒x(1xm)根,此时剩下n=(m+1)q+(m+1)-q根,因为1(m+1)–xm,则根据归纳假设可知甲总能获胜。
即当q=k+1时命题也为真。
由i)ii)可知,对于任意q0均有甲总能获胜。
5.证明:
用第一归纳法
对于每个ii0,用Q(i)表示下列命题:
对于任意jj0,P(i,j)皆真。
下面验证:
Q(i)满足第一归纳法的条件。
i)Q(i0)为真,因为(对j用第一归纳法):
a)P(i0,j0)为真;
b)若P(i0,j)为真,则P(i0,j+1)为真;
由归纳法可知,Q(i0)为真。
ii)若Q(i)为真(ii0),即对于任意ii0,jj0,P(i,j)为真。
则对于任意jj0,P(i+1,j)为真,即Q(i+1)为真。
由i)和ii)可知,对于任意ii0,Q(i)皆真。
所以,对于任意ii0,jj0,P(i,j)为真。
6.证明:
假设有nN使nn,即{n}n,故n+={n}nn,同时nn+,所以n=n+。
矛盾!
(与皮亚诺公理矛盾)
10.证明:
假设有mN使n 因为nm且nm,所以n{n}m,即n+m。 而m n+m与mn+矛盾,所以假设不成立,即不可能有mN使n 习题1.4 1. a)A{1}B={<0,1,1>,<0,1,2>,<1,1,1>,<1,1,2>} b)A2B={<0,0,1>,<0,0,2>,<0,1,1>,<0,1,2>,<1,0,1>,<1,0,2>,<1,1,1>,<1,1,2>} c)(BA)2={<1,0,1,0>,<1,0,1,1>,<1,0,2,0>,<1,0,2,1>, <1,1,1,0>,<1,1,1,1>,<1,1,2,0>,<1,1,2,1>, <2,0,1,0>,<2,0,1,1>,<2,0,2,0>,<2,0,2,1>, <2,1,1,0>,<2,1,1,1>,<2,1,2,0>,<2,1,2,1>} 2.题号是否正确 a)(反例: A=D={a},B=C=,则左边={},而右边=) b) c)(反例: A=C=D=N,B=,则左边=,而右边=NN) d)(反例: A=C={1,2},B={1},D={2},则左边={<2,1>}, 而右边={<1,1>,<2,1>,<2,2>}) 7.证明: 题目等价于证明: 设= {a,A}={c,A}且{b,B}={d,B} 所以,a=c且b=d。 {a,A}={d,B}且{b,B}={c,A} 则因为AB,所以a=B,d=A,b=A且c=B。 所以,a=c且b=d。 故总有: a=c且b=d。
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