《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案.docx

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《应用数理统计》吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案

第二章假设检验

课后作业参考答案

3.1某电器元件平均电阻值一直保持2.640，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻

值为2.610。

假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。

已知改变工艺前的标准差为0.060，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？

（a=0.01）

解：

（1）提出假设

Hof=2.64,Hi：

卩h2.64

（2）构造统计量U

X-%2.61-2.64C

=-3

0.06/6

（3）否定域V：

={u

（4）给定显著性水平

a=0.01时，临界值Ua=—2.575,

2

让=2.575

2

（5）UCU^，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。

7

3.2一种元件，要求其使用寿命不低于1000（小时），现在从一批这种元件中随机抽取25件,

测得其寿命平均值为950（小时）。

已知这种元件寿命服从标准差CT=100（小、时）的正态分

布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

解:

提出假设：

Ho：

卩31000,

构造统计量：

此问题情形属于

Hi：

卩<1000

U检验，故用统计量:

X-%

U=—k

此题中:

x-950cr0=100

代入上式得：

n=25%=1000

950-1000c厂

拒绝域：

V={ju|>u1^}

本题中：

a=0.05U0.95=1.64

即,1u|：

>U0.95拒绝原假设H。

二认为在置信水平0.05下这批元件不合格。

一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X，与以往正常生产时的》相比，X较卩大20（kg/cm2）o设总体方差不变，问在a=0.01下能否认为这批钢索质量显

著提高?

解:

（1）提出假设H0:

卩=卩0,H1:

4>

X—A20

⑵构造统计量..^^二硕".5

⑶否定域V={uAUj^

⑷给定显著性水平a=0.01时，临界值U仁程=2.33

（5）UCUi旳，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。

3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）：

3.253.273.243.263.24

设测定值服从正态分布，问在a=0.01下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？

提出假设：

H0：

41=%=3.25H1：

已工％

构造统计量：

本题属于b2未知的情形，可用t检验，即取检验统计量为:

t=^^s/>/^

本题中，X=3.252,S=0.0117,n=5

代入上式得：

丄3.252-3.25cc,c

t=-0.3419

0.011^7^^

否定域为：

V二作匚乞（n-1）

2J

本题中，a=0.01,t0995（4）=4.6041解：

I

*t<[a

•••接受H0,认为这批矿砂的镍含量为3.25。

设总体为正态分布N（卩,c

），试在水平5%检验假设:

（i）H0:

卩>0.5%

（ii）H0：

b>O.O4%

H1:

4<0.5%

H1P<0.0.4%

⑴构造统计量：

本文中

X-P。

本题中，X=0.452%S=0.035%

代入上式得：

G■未知，可用t检验。

取检验统计量为

t=

t=

0.452%-0.5%

0.035%/嗣1--4.1143

拒绝域为:

的>t1y（n-1）}

=0.05n=10

t0.95（9）=1.8331c|t|=4.1143

二拒绝H0

本题中，a

（ii）构造统计量：

卩未知，可选择统计量

了2nS

=2~

本题中，S=0.035%n=10%=0.04%

代入上式得：

心=7.6563

否定域为：

V={/2A%（n-1）}

本题中，

人d-1）"0.95（9）=16.919「2<人気（n-1）

二接受H0

3.6使用A（电学法）与B（混合法）两种方法来研究冰的潜热，样品都是-0.72oC的冰块，下

列数据是每克冰从-0.72°C变成0oC水的过程中吸收的热量（卡/克）；

80.00,80.02

79.97,80.03,79.95,79.97

假设每种方法测得的数据都服从正态分布,

且他们的方差相等。

检验

H0:

两种方法的总体

79.97,80.05,80.03,80.02,

方法B:

80.02,79.94,79.97,79.98,

均值相等。

（a=0.05）

解:

=79.9788

—113-18

XXj=80.0208,Y=-2Yj

13i48i二

113一218—2

S2（Xi-X）=5.4x10*,s；=—2；（Yi-Y）=8.6X10」

13i£8i

（1）提出假设H。

：

已=卩2,比：

已工巴

」heg+n2-2）X-Y398⑵构造统计量彳门1+门2JnQ2+n2S；.

（3）否定域

V={tcta（ni+n2—2忖

〔2JL

tAt”a（ni+n2-2）}=Jt>.口（ni+n2-2）

⑷给定显著性水平a-0.05时，临界值

t少1+n2-2）=t0975（19）=2.0930

1,上

2

（5）^^（n1+门2—2），样本点在否定域内,

~2

故拒绝原假设，认为两种方法的总体均值不

相等。

3.7今有两台机床加工同一种零件，分别取

6个及9个零件侧其口径，数据记为

Xi,X，…X6及丫1,丫2,…丫9，计算得

669

2

ZXi=204.6,2Xi=6978.93^Y=307.8,2Y；=15280.173

iztiii=1izt

假设零件的口径服从正态分布，给定显著性水平a=0.05，问是否可认为这两台机床加工

零件口径的方法无显著性差异?

解:

=0.345,8|Yj2-Y2=0.357

ny

（1）提出假设H。

（2）构造统计量「讥―

（3）否定域

V—1,n2—1）2{F>F証n1—1,"2—1）=

I2Ir

P>F^（n1—1,“2-1）

⑷给定显著性水平a=0.05时，临界值

-1,“2-1）=F0.975（5,8）=4.82

⑸FcF-1,“2-1），样本点在否定域之外，故接受原假设，认为两台机床加工零

1—

件口径的方差无显著性影响。

3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2的含量，得如下结果

重量法：

n=5次测量，X=20.5%,S,=0.206%

比色法：

n=5次测量，Y=21.3%,^=0.358%

假设两种分析法结果都服从正态分布，问

（i）两种分析方法的精度（G是否相同?

（ii）两种分析方法的均值（4）是否相同？

（a=0.01）

解:

（i）

提出原假设：

Ho：

6=6H1^^cr2

对此可采用统计量

「二n1（n2-1）S2

=n2（口-1）$

在H。

下，FLF（n1-1,“2-1），我们可取否定域为

V=

此时P（VH0）=a

本题中，n,=5,

rn=5,

jFLHF>Fa（niT，门2-1）>

I2J,^2J

=0.01

x=20.5%,8=0.206%

y=21.3%,0=0.358%

代入上式得:

2

ni（n2-1）Si

少（W）“206%）：

=0.3311

F=2

n2（n1-1）S；5*（5-1）（0.358%）

1

F0.005（5,5）^--=0.0669

14.94

F0.995（5,5）=14.94

由于F0.005（5,5）VFVF0.995（5,5）

二接受H。

即无明显差异。

（ii）

提出假设：

H0：

卩1=込已：

卩1北卩2

这种G■未知的场合，用统计量

JnAn1+n2-2）.（X—丫）

Vn1+n2JrnS2+n2S2

1n1_1n2_

其中$2=丄5：

（Xi-X）2£=丄送（丫-丫）2

niiin2iA

在H0成立时，t服从自由度为n,+n2-2的t分布。

否定域为：

V=¥tM卫@1+n2-2））?

IpJ

此时P（VHo）=a

本题中，01=5,

=0.01

x=20.5%,S=0.206%

01=5,

代入上式得：

y=21.3%,S=0.358%

t=mn2（n+02-2）"（X-丫）

VrnfJn1S2^nzS2

（20.5%-21.3%）

5*5^（5+5-2）亠

5+5^5（0.206%）2+5（0.358%）2

=-3.8737

ta（n1+n2—2）=t0995（8）=3.35541-

2

*t》ta（n1+n2—2）

1-—

2

/.拒绝H0,即差距显著。

3.9设总体X|N（巴4）,X1，…，X16为样本，考虑如下检验问题：

H0:

卩=0比：

卜―

（i）试证下述三个检验（否定域）犯第一类错误的概率同为a=0.05

V1={2^<-1.645}

V2二{1.50<2X<2.125}

V3={2X<—1.96或2X>1.96}

（ii）通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？

解：

（i）

ot=p{xrH3=0.05

X-4

c

即，PW=

[这里H0:

卩=0”pqx|>2*1.96

0.975心0.05

-2I

=0.05

pbN<-1.645}=P*

Vi={2X<-1.645}

<-1.645〉=0（-1.645）=1-①（1.6佝

=1-0.95=0.05

V2={1.50<2X<2.125}=«1.50

<£^<2.120>

vn

p{v2H0}=①（2.215）-①（1.50）=0.98-0.93=0.05

V3

=诙<-1.96或2X>1.96}=彳2刃31.96}“

LiTn

）=1-P{j2XC1.96}=2（1—①（1.96））=0.05

>1.96>

P（V3H0

（ii）犯第二类错误的概率

P=P{天-V|Hi}y:

P^Pbx>-1.645

4=-l}

V2:

p2=1-P{1.50<2X<2.125卩=—1}

I—I

=1-P〔3.50<匕<4.125]

=1-做4.125）+飙3.50）

=1

V3：

P3=P{2X<1.9^=-1}

X+1

=P<0.04<才<3.96>

LTn

=氓3.96）-

=0.99996092-0.516=0.48396092

.•■V出现第二类错误的概率最小，即V最好。

3.10一骰子投掷了120次，得到下列结果:

点数

1

2

3

4

5

6

出现次数

23

26

21

20

15

15

问这个骰子是否均匀?

（a=0.05）

解:

本题原假设为：

H

1

0:

仁皿，川,6

Pearson厂统计量

Si-npi）2

这里n=120,nP=20本题采用的统计量为

k

即,

72=Z

7npi

代入数据为:

厂=£（n-nPi）2_（23-20）2（26-20）卄||+（15-20）=48

i丘nPi

祥（k-1）=瞪.95（5）=11.071由于尸＜人2（k-1）所以接受Ho即认为这个是均匀的。

呼吸次数

0

1

2

3

4

5

6

>=7

频数

8

16

17

10

6

2

1

0

3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如下表:

试问这个分布能看作为泊松分布吗？

（a=0.05）

解:

检验问题为:

J

H0：

P（x=k）=Up参数为几

已知几的最大似然估计

A—A81610

A=x=np=0*2+1*3+川+6*丄+7*二+111=2

60606060

20©^

=p{x=0}=—^=e，=0.1353

0!

21「

=p{x=^==2*e，=0.2707

1!

2-2

=P{x=2}=2-^=2*「=0.2707

2!

23

=P{x=3}==1.5*r=0.2030

3!

24e2

巳=P{x二心2■丄

+7*

P2

P3

P4

P6

P7

4!

=P{x

5!

=p{x詡二2^

6!

=2*e—0.0902

3

49二*e，=0.0361

15

4/

=一*e=0.0120

45

=P{X>7}=1-P{X<6}=0

工2=£（ni-np）2

ynpi

=0.6145

P8

（8-60*0.1353）2"60*0.1353

+（16-60*0.2707）2+川+（1-60*0.0120）2

60*0.270760*0.0120

由于人2（k-1）=70.95（5）=11.071

k-1）

二接受H0,即分布可以看作为泊松分布。

数如下表:

次品数

0

1

2

3

4

5

6

…

10

频数

35

40

18

5

1

1

0

0

试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的，即次品数

X是否服从二项分布?

（a=0.1）

解:

提出假设Ho:

P（X=k）=Cn；pn」（1-p）k

参数P的极大似然估计为：

p=（0x35+1x40+…+1^0/100^0.1

p0=p（X=0）=0.910=0.3487

119

P=P（X=1AC100.10.9=0.3874

P2=P（X=2）9200.120.98

P3=P（X=3）=0300.130.97

P4=P（X=4）=C1400.140.96

P5=P（X=^=C15）0.150.95

P6=P（X=6）=C1600.160.94

P7=P8=P9=P10止0

=0.1937

=0.0574

=0.0112

=0.0015

=0.0001

厂上Si-nPi匚5.0734

i壬npi

幷七（k—1）=/2.9（6）=10.645,厶乙％-门》/2，故在置性水平a=0.1下接受H。

，认为

次品数服从二项分布。

15.0

15.8

15.2

15.1

15.9

14.7

14.8

15.5

15.6

15.3

15.1

15.3

15.0

15.6

15.7

14.8

14.5

14.2

14.9

14.9

15.2

15.0

15.3

15.6

15.1

14.9

14.2

14.6

15.8

15.2

15.9

15.2

15.0

14.9

14.8

14.5

15.1

15.5

15.5

15.1

15.1

15.0

15.3

14.7

14.5

15.5

15.0

14.7

14.6

14.2

3.13从一批滚珠中随机抽取了

50个,

是否可认为这批滚珠直径服从正态分布?

（«=0.05）

测得他们的直径为（单位：

mm）:

解:

设X为滚球的直径，其分布函数为F（x）,则检验问题为

曲X-4

Ho：

F（x）=0（）

O'

在Ho成立的条件下，参数比b2的最大似然估计为4=15.078，CT2=0.1833

14.6-15.078P1q（—）=①（-1.1163）=0.1321

0.4282

148_15078P2=6（—）-①（-1.1163）=①（-0.6492）-①（-1.1163）=0.1260

0.4282

P3二①/5.1~15.078）-①（-0.6492）=①（0.0514）-①（-0.6492）=0.2624

0.4282

不15.4—15.078不不不

P4=0（）-①（-0.6492）=①（0.7520）-①（0.0514）=0.2535

0.4282

P5二1_P1-P2_5_P4=O.2260石2（k-m-1）=/0.95

（2）=5.991:

严cZ；（k-m-1）=5.991

/.接受H0,认为滚珠直径服从正态分布。

表3-13

i

（3丄aj

ni

Pi

npi

（n-np）2

np

1

（0,14.6）

6

0.1321

6.6061

0.0556

2

[14.6,14.8）

5

0.1260

6.2976

0.2674

3

[14.8,15.1）

13

0.2624

13.1209

0.0011

4

[15.1,15.4）

14

0.2535

12.6752

0.1385

5

[15.4,讼）

12

0.2260

11.3003

0.0433

Z

0.5059

3.14调查339名50岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系，得下表:

吸烟

不吸烟

患慢性支气管炎

43

13

56

未患慢性支气管炎

162

121

283

205

134

339

患病率

21

9.7

16.5

试问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同?

（a=0.01）

解：

H0：

吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率相同

Hi:

吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同

对每个对象考察两个指标，X――是否吸烟，丫一一是否患病

X的取值：

吸烟，不吸烟；丫的取值：

患病，不患病

要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关，这是一个r=s=2的二元列联表

□[=43,^2=13,b=162n22=12=56,=205n2.=283n2=134

2

=n（n11n22-n12n21）=7.469

n1.n.1n2.n?

对于a=0.01，查表75

（1）=70.99

（1）=6.635V7，所以拒绝H。

，认为吸烟者的慢性支气管炎病患病率较高。

解：

设X为年龄

Y为疗效

Xi=儿童丫1=显著

X2=成年丫2=一般

X3=老年丫3=较差

Ho：

Pij-Pi*Pj

本题选择的统计量为

i=1,2,3j=1,2,3

即X与Y独立

「pp町2

rs||nij—nPi”Pjj72zL」

i壬j壬

AA

npPj

r

=nZZ

7j壬

niDj

rS2

=ng2亠-1）

yjTnn.j

、年龄

疗效

儿童

、

成年

老年

显著

58

38

32

128

一般

28

44

45

117

较差

23

18

14

55

Z

109

100

91

300

试问疗效与年龄是否有关（a=0.05）

3.15下列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。

代入数据得:

2

nij

-1）

irnjTnnj

582

=300（

382

322

282

442

452

+++++

109*128100*12891*128109*117100*11791*117232182142八

-1）

+++

109*55100*5591*55

=13.5862

/12G（（rT）（sT））—2.95（4）=9.488「2>%（rT）（sT）T0.95（4）二拒绝H0,认为疗效与年龄有关。

k

X（k）

X（n+Js）

X（n札k）-X（k）

ak（W）

1

10.18

10.82

0.64

0.5601

2

10.32

10.77

0.45

0.3315

3

10.38

10.67

0.29

0.2260

4

10.41

10.64

0.23

0.1429

5

10.49

10.59

0.1

0.0695

6

10.52

10.52

0

n=11。

表3-16

解：

为了便于计算，列表如下：

这里

10.3210.1810.64

10.77

10.8210.6710.59

10.3810.49

试检验这批零件的直径是否服从正态分布?

（a=0.05,用W检验）

H0:

总体服从正态分布H1:

总体不服从正态分布

将观察值按非降次序排列成：

X⑴＜人2）＜川＜Xn）本题采用的统计量为：

罔］

Eak（W）[X（n+1-k）-X（k）

I

n

Z（X（k）-X）2

k壬

11_

Z（X（k）-X）2=0.3821

ii

X=10.5264

5

sak（W）[X（12七-X（k）]

i=1

=0.5601*0.64+0.3315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1

=0.6130

所以

0.61302

W==0.9834

0.3821

W0.05=0.85

fWAW0.05

二接受H0,认为这批零件的直径服从正态分布。

3.17用DAgostinoD检验法检验例3.20。

解：

H0：

维尼纶纤度服从正态分布H1:

维尼纶纤度不服从正态分布

为了便于计算，统计量D的分子可以换成与其相等的形式:

定义统计量:

J2—kp101上）—x（＜）

=5724^.0.466

123.18

对于给定的显著性水平a=0.01,查表得

DE=D0.995=1.59,D^=D0.005=—3.57,由于cDcD*故接受H0，认为维尼纶~22~22

纤度服从正态分布

.18用两种材料的灯丝制造灯泡，今分别随机抽取若干个进行寿命试验，其结果如下:

甲（小时）：

1610165016801700175017201800

（G-0.05）？

乙（小时）：

158016001