中考数学真题解析 平行四边形的判定含答案.docx
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中考数学真题解析平行四边形的判定含答案
(2012年1月最新最细)2011全国中考真题解读120考点汇编
平行四边形的判定
一、选择题
1.(2011?
郴州)如图,下列四组条件中.不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A、AB=DC,AD=BCB、AB∥DC,AD∥BC
D、AB∥DC,AB=DC
ABC、∥DC,AD=BC
考点:
平行四边形的判定。
分析:
平行四边形的判定:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;④对角线互相平分的四边形是平行四边形;⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
解答:
解:
根据平行四边形的判定,A、B、D均符合是平行四边形的条件,C则不能判定是平行四边形.
故选:
C.
点评:
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况.对于判定定理:
“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.”应用时要注意必须是“一组”,而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形.
2.(2011?
泰州,7,3分)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:
①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有()
A、.1组B、.2组C、.3组D、.4组
考点:
平行四边形的判定。
专题:
几何综合题。
1/26
分析:
根据平行四边形的判断定理可作出判断.
解答:
解:
①根据平行四边形的判定定理:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可知①能判断这个四边形是平行四边形;
②根据平行四边形的判定定理:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可知②能判断这个四边形是平行四边形;
③根据平行四边形的判定定理:
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,可知③能判断这个四边形是平行四边形;
④根据平行四边形的判定定理:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可知④不能判断这个四边形是平行四边形;
故给出下列四组条件中,①②③能判断这个四边形是平行四边形,
故选:
C,
点评:
此题主要考查了平行四边形的判定定理,准确无误的掌握定理是做题的关键.
3.(2011?
柳州)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,则图中的平行四边形的个数共有()
A、12个B、9个C、7个D、5个
考点:
平行四边形的判定与性质。
专题:
证明题。
分析:
根据根据平行四边形的定义即可求解.
解答:
解:
根据平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形,则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF和ABCD都是平行四边形,共9个.
故选B.
点评:
此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质,本题可根据平行四边形的定义,直接从图中数出平行四边形的个数,但数时应有一定的规律,以避免重复.
2/26
4.(2011江苏苏州,12,3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC、BD
.的长度等于_______0.若AC=6,则线段AO相交于点考点:
平行四边形的判定与性质.
专题:
计算题.
分析:
根据在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,求证四边形ABCD是平行四边形,然后即可求解.
解答:
ABCDABCDADBCABCD∥∥是平行四边形,中,,解:
∵在四边形,∴四边形116=33AC=6AO=AC=×∵,∴.故答案为:
.
22点评:
此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握,难度不大,属于基础题.
5.(2011?
湖南张家界,6,3)顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是()
A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形
考点:
平行四边形的判定;三角形中位线定理。
分析:
顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形,一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半,说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.
解答:
解:
根据三角形中位线定理,可知边连接后的四边形的两组对边相等,再根据平行四边形的判定可知,四边形为平行四边形.
故选A.
点评:
本题用到的知识点为:
三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
二、填空题
1.(2011天津,14,3分)如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,连接DE、EF、FD,则图中平行四边形的个数为3.
3/26
考点:
平行四边形的判定;三角形中位线定理。
专题:
推理填空题。
分析:
由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,根据三角形中位线定理,可以推出EF∥AB且EF=AD,EF=DB,DF∥BC且DF=CE,所以得到3个平行四边形.
解答:
解:
已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,
∴EF∥AB且EF=AD,EF=DB,
DF∥BC且DF=CE,
∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形,
故答案为:
3.
点评:
此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理,关键是有三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形.
2.(2011辽宁沈阳,14,3分)如图,在?
ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,且BE∥DF,若∠EBF=45°,则∠EDF的度数是度.
考点:
平行四边形的判定与性质。
分析:
由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,又由BE∥DF,即可证得四边形BFDE是平行四边形,根据平行四边形的对角相等,即可求得∠EDF的度数.
解答:
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵BE∥DF,
∴四边形BFDE是平行四边形,
4/26
∴∠EDF=∠EBF=45°.
故答案为:
45.
点评:
此题考查了平行四边形的判定与性质.注意平行四边形的对角相等,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
三、解答题
1.(2011?
江苏徐州,23,8)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若AC与BD交于点O,求证:
AO=CO.
考点:
平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。
分析:
(1)由BF=DE,可得BE=CF,由AE⊥BD,CF⊥BD,可得∠AEB=∠CFD=90°,又由AB=CD,在直角三角形中利用HL即可证得:
△ABE≌△CDF;
(2)由△ABE≌△CDF,即可得∠ABE=∠CDF,根据内错角相等,两直线平行,即可得AB∥CD,又由AB=CD,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,即即可证得四边形ABCD是平行四边形,则可得AO=CO.
解答:
证明:
(1)∵BF=DE,
∴BF﹣EF=DE﹣EF,
即BE=CF,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∵AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL);
5/26
(2)∵△ABE≌△CDF,
∴∠ABE=∠CDF,
∴AB∥CD,
∵AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
点评:
此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质.此题难度不大,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.
2.
(2011?
宁夏,22,6分)已知,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,BE=DF,BE∥DF.求证:
四边形ABCD是平行四边形.
考点:
平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质。
专题:
证明题。
分析:
因为AE=CF,DF=BE,DF∥BE,所以可根据SAS判定△ADF≌△CBE,即有AD=BC,AD∥BC,故可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定.
解答:
证明:
∵DF∥BE
∴∠DFA=∠BEC
∵DF=BE,EF=EF
∴AF=CE
∵AE=CF
∴△ADF≌△CBE(SAS)
∴AD=BC
6/26
BCADAC=∠∴∠BC
AD∥∴ABCD是平行四边形.∴四边形此题主要考查平行四边形的判定以及全等三角形的判定.平行四边形的判定方法共点评:
有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.3.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作DE⊥BC,垂足为E,并延长
DE至F,使EF=DE.连接BF、CD、AC.
是平行四边形;1)求证:
四边形ABFC(2是矩形.=BE?
CE,求证四边形ABFCDE
(2)如果考点:
等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;矩形的性质;相似三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)连接BD,利用等腰梯形的性质得到AC=BD,再根据垂直平分线的性质得到DB=FB,从而得到AC=BF,然后证得AC∥BF,利用一组对边平行且相等判定平行四边形;
(2)利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似,得到对应角相等,从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.
解答:
证明:
(1)连接BD,
∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
∴AC=BD,∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC,EF=DE,
∴BD=BF,∠DBC=∠FBC,
∴AC=BF,∠ACB=∠CBF
7/26
AC∥BF,∴∴四边形ABFC是平行四边形;
2=BE?
CEDE
(2)∵
,∴
,∵∠DEB=∠DEC=90°DEC∽△∴△BDE∴∠BDC=∠BFC=90°,∴四边形ABFC是矩形.点评:
本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等,是一道集合了好几个知识点的综合题,但题目的难度不算大.分)请判断下列命题是否正确?
如果正确,请给出证明;8新疆建设兵团,21,4.(2011如果不正确,请举出反例.)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(1)一组对角相等,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.(2考点:
平行四边形的判定;反证法.
专题:
证明题.
)作出草图,连接一条对角线,然后证明三角形全等,根据全等三角形的对应1分析:
(角相等在证明另一组对边也平行,然后根据平行四边形的定义即可证明;2)不正确,可以做出一个“筝形”图形说明.(,ABAB1()已知:
如图,在四边形ABCD中,∥CD,=CD解答:
求证:
四边形ABCD是平行四边形,,CDABBD证明:
连接,∵∥∴∠BDCABD=∠,8/26
AB=CD?
?
?
∠ABD=∠BDC,CDB中,在△ABD和△?
?
BD=BD
∴△ABD≌△CDB(SAS),
∴∠ADB=∠DBC(全等三角形对应角相等),
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)一组对角相等,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形不正确.
如图,∠BAD=∠BCD,对角线AC被BD平分,但四边形ABCD不是平行四边形.
点评:
本题主要考查了平行四边形的判定定理的证明,连接对角线构造出全等三角形是解题的关键.
5.(2011?
河池)如图1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求点B的坐标;
(2)求证:
四边形ABCE是平行四边形;
(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
9/26
考点:
翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定与性质。
分析:
(1)由在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,根据三角函数的知识,即可求得AB与OA的长,即可求得点B的坐标;
(2)首先可得CE∥AB,D是OB的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可证得BD=AD,∠ADB=60°,又由△OBC是等边三角形,可得∠ADB=∠OBC,根据内错角相等,两直线平行,可证得BC∥AE,继而可得四边形ABCD是平行四边形;
(3)首先设OG的长为x,由折叠的性质可得:
AG=CG=8﹣x,然后根据勾股定理可得方
2224),解此方程即可求得OG=x+(的长.x程(8﹣)解答:
解:
(1)在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,
=4,∴OA=OB?
cos30°=8×
AB=OB?
sin30°=8×=4,
4,4);的坐标为(∴点B
(2)证明:
∵∠OAB=90°,
∴AB⊥x轴,
∵y轴⊥x轴,
∴AB∥y轴,即AB∥CE,
∵∠AOB=30°,
10/26
∴∠OBA=60°,
∵D是OB的中点,
∴DA=DB,
即∠DAB=∠DBA=60°,
∴∠ADB=60°,
∵△OBC是等边三角形,
∴∠OBC=60°,
∴∠ADB=∠OBC,
即AD∥BC,
∴四边形ABCE是平行四边形;
(3)设OG的长为x,
∵OC=OB=8,
∴CG=8﹣x,
由折叠的性质可得:
AG=CG=8﹣x,
222,中,△AOGAG=OG+OA在Rt
222)﹣即(8x)=x+(,4x=1,解得:
.即OG=1此题考查了折叠的性质,三角函数的性质,平行四边形的判定,等边三角形的性点评:
质,以及勾股定理等知识.此题难度较大,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意折叠中的对应关系.,交DEACB=90°安顺)如图,在6.(2011?
△ABC中,∠,BC的垂直平分线交BC于DDE在上,且AF=CE=AE.FEAB于,ACEF1()说明四边形是平行四边形;B)当∠2(满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.11/26
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;平行四边形的判定。
分析:
(1)证明△AEC≌△EAF,即可得到EF=CA,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断;
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.根据直角三角形的性质,即可证得AC=EC,根据菱形的定义即可判断.
解答:
(1)证明:
由题意知∠FDC=∠DCA=90°,
∴EF∥CA,
∴∠AEF=∠EAC,
∵AF=CE=AE,
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA.
又∵AE=EA,
∴△AEC≌△EAF,
∴EF=CA,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
理由是:
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
AC=,∴
∵DE垂直平分BC,
∴BE=CE,
又∵AE=CE,
12/26
∴,CE=AC=CE,∴是菱形.∴四边形ACEF本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法,正确掌握判定定理是解题点评:
的关键.交于点BDAC、5分)如图,平行四边形ABCD的对角线,7.(2011四川省宜宾市,17DABH=,DGH在BD上,且AF=CE,上,O,E、F在ACG、EAG∥HE求证:
HOGF
BC
)
(17(3)题图
平行四边形的判定与性质.考点:
是平行四边分析:
先运用平行四边形的对角线互相平分,结合已知证明平行四边形EGHF.HE形,再运用平行四边形的对边互相平行得GF∥=ABCD中,OAOC,证明:
∵平行四边形答案:
CE由已知:
AF=
∴–OAAF–=CEOCOF=OEOH=同理得:
OG∴四边形EGFH是平行四边形HE∴GF∥本题主要考查的是二次根式的混合运算,在进行此类运算时一般先把二次根式化为点评:
.
最简二次根式的形式后再运算.上的点,且湖州,(8.201122ABCD分别是F、分)如图,已知10,E?
BC的边、AD13/26
BE=DF.
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.
考点:
平行四边形的判定与性质;菱形的性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)首先由已知证明AF∥EC,BE=DF,推出四边形AECF是平行四边形.
(2)由已知先证明AE=BE,即BE=AE=CE,从而求出BE的长.
解答:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴AF∥EC,
∵BE=DF,∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形.
(2)解:
∵四边形AECF是菱形,∴AE=EC,∴∠1=∠2,∵∠3=90°﹣∠2,∠4=90°﹣∠1,
1BC=5.=AE=CE=,∴∴∠3=∠4AE=BE,∴BE
2点评:
此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质及菱形的性质,解题的关键是运用平行四边形的性质和菱形的性质推出结论.
9.(2011浙江衢州,22,10分)如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连接EC.
(1)求证:
AD=EC;
(2)当∠BAC=Rt∠时,求证:
四边形ADCE是菱形.
14/26
考点:
平行四边形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的判定。
专题:
证明题。
分析:
(1)先证四边形ABDE是平行四边形,再证四边形ADCE是平行四边形,即得AD=CE;
(2)由∠BAC=Rt∠,AD上斜边BC上的中线,即得AD=BD=CD,证得四边形ADCE是平行四边形,即证;
解答:
(1)证明:
∵DE∥AB,AE∥BC,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BD,且AE=BD
又∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD
∴AE∥CD,且AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
∴AD=CE
(2)证明:
∵∠BAC=Rt∠,AD上斜边BC上的中线,
∴AD=BD=CD
又∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形
点评:
本题考查了平行四边形的判定和性质,
(1)证得四边形ABDE,四边形ADCE为平行四边形即得;
(2)由∠BAC=Rt∠,AD上斜边BC上的中线,即得AD=BD=CD,证得四边形ADCE是平行四边形,从而证得四边形ADCE是菱形.
10.(2011?
安顺,25,9分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.
(1)说明四边形ACEF是平行四边形;
15/26
(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由.
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;平行四边形的判定。
分析:
(1)证明△AEC≌△EAF,即可得到EF=CA,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断;
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.根据直角三角形的性质,即可证得AC=EC,根据菱形的定义即可判断.
解答:
(1)证明:
由题意知∠FDC=∠DCA=90°,
∴EF∥CA,
∴∠AEF=∠EAC,
∵AF=CE=AE,
∴∠F=∠AEF=∠EAC=∠ECA.
又∵AE=EA,
∴△AEC≌△EAF,
∴EF=CA,
∴四边形ACEF是平行四边形.
(2)当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形.
理由是:
∵∠B=30°,∠ACB=90°,
1AB,∴AC=
2∵DE垂直平分BC,
∴BE=CE,
又∵AE=CE,
16/26
1AB,CE=∴
2∴AC=CE,
∴四边形ACEF是菱形.
点评:
本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法,正确掌握判定定理是解题的关键.
11.(2011?
铜仁地区20,10分)已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD.求证:
EF=AD.
考点:
平行四边形的判定与性质;三角形中位线定理。
分析:
由DE、DF是△ABC的中位线,根据三角形中位线的性质,即可求得四边形AEDF是平行四边形,又∠BAC=90°,则可证得平行四边形AEDF是矩形,根据矩形的对角线相等即可得EF=AD.
解答:
证明:
∵DE,DF是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形,
又∵∠BAC=90°,
∴平行四边形AEDF是矩形,
∴EF=AD.
点评:
此题考查了三角形中位线的性质,平行四边形的判定与矩形的判定与性质.此题综合性较强,但难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
12.(2011邵阳,19,3分)在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接EF、FG、GH、HE.
(1)请判断四边形EFGH的形状,并给予证明;
(2)试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.(写出你添加的条件,不要求证明)
17/26
考点:
三角形中位线定理;平行四边形的判定;菱形的判定.
专题:
计算题.
1AC,,EF=、BD,根据三角形的中位线定理得到EF∥AC分析:
(1)连接AC
21AC,推出EF=HG,∥AC,HG=EF∥HG即可;
(2)根据三角形的中位线定理得到HG
211EF=AC,GF=BD,AC=BD,推出EF=GF,由
(1)即可推出答案.
22解答:
(1)四边形EFGH的形状是平行四边形.证明:
连接AC、BD,∵E、F、G、11AC,HG∥AC,HG=AC=DAAB、BC、CD、的中点,∴EF∥AC,EF,H分别是
221BD,∴EF=HG,GF=EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.
2
(2)添加的条件是AC=BD.
点评:
本题主要考查对三角形的中位线定理,平行四边形的判定,菱形的判定等知识点的理解和掌握,能求出四边形是平行四边形是证此题的关键.
13.(2011北京,19,5分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,求四边形ACEB的周长.
18/26
:
平行四边形的判定与性质;勾股定理。
考点几何图形问题。
:
专题.由勾股定理和中线的定=2DE=AC分析:
先证明四边形ACED是平行四边形,可得的长,从而求出四边形EBACEB的周长.义可求AB和⊥BC,解答:
解:
∵∠ACB=90°,DEDE.∥∴ACAD,又∵CE∥ACED是平行四边形.∴四边形.=∴DEAC=2223DECE?
.=ADE在Rt△中,由勾股定理得CD=2BC的中点,∵D是3CD∴BC=2.=42213BCAC?
.=2ABC在△中,∠ACB=90°,由
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