高中数学解三角形有答案.docx
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高中数学解三角形有答案
解三角形
一.选择题(共
20小题)
1.(2015?
河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的
周长是(
)
A.18
B.19
C.
16
D.17
2.(2015?
河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的
周长是(
)
A.17
B.19
C.
16
D.18
2
2
2
ac,则∠B的大小(
)
3.(2014?
云南模拟)在△ABC中,b﹣a﹣c=
A.30°
B.60°
C.
120°
D.150°
4.(2013?
陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
5.(2013?
湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为
a,b.若2asinB=
b,则角A等于(
)
A.
B.
C.
D.
6.(2013?
温州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,若A=30°,B=105°,a=1.则c=(
)
A.﹣1
B..
C..
D..2
7.(2013?
天津模拟)在钝角△ABC中,已知AB=
,AC=1,∠B=30°,则△ABC
的面积是(
)
A.
B.
C.
D.
8.(2013?
泰安一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为()
A.B.3C.D.7
9.(2013?
浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2,BC=2,则角A的取值范围是()
A.B.C.D.
10.(2012?
广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=()
A.B.C.D.
11.(2012?
天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为()
A.30°B.45°C.135°D.45°或135°
12.(2010?
湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=()
A.﹣B.C.﹣D.
13.△ABC的内角A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则的取值范围是()
.
A.(0,+∞)
B.(0,2+
)
C.(1,+∞)
D.(1,2+
)
14.(2014?
江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则
的值为(
)
A.﹣
B.
C.1
D.
15.(2014?
重庆三模)在△ABC中,若
,则∠B等于(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
16.(2014?
萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则
的范围(
)
A.
B.
C.(0,2)
D.
17.(2014?
南平模拟)在△ABC中,如果
,B=30°,那么角
A等于(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
18.(2014?
广西模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为
a,b,c,若∠A:
∠B=1:
2,且a:
b=1:
,
则cos2B的值是(
)
A.﹣
B.
C.﹣
D.
19.(2014?
鄂尔多斯模拟)在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面积为,则边a的值为()
A.B.C.D.3
20.(2014?
文登市二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+csinC+asinC=bsinB,则∠B
()
A.B.C.D.
二.解答题(共10小题)
21.(2014?
山东)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
22.(2014?
东城区一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求tan(A﹣B)的最大值.
23.(2014?
浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A﹣cos2B=sinAcosA
﹣sinBcosB.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.
..
.
24.(2014?
天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a﹣c=b,sinB=sinC,
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.
25.(2014?
兴安盟一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0.(Ⅰ)若b=7,a+c=13求此三角形的面积;
(Ⅱ)求sinA+sin(C﹣)的取值范围.
26.(2014?
福建模拟)设△ABC中的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且,b=2.
(Ⅰ)当时,求角A的度数;
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
27.(2014?
江西模拟)三角形ABC中,内角A,B,C所对边a,b,c成公比小于1的等比数列,且sinB+sin(A
﹣C)=2sin2C.
(1)求内角B的余弦值;
(2)若b=,求△ABC的面积.
28.(2014?
陕西)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:
sinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
29.(2014?
重庆)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8.
(Ⅰ)若a=2,b=,求cosC的值;
(Ⅱ)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值.
30.(2014?
启东市模拟)在△ABC中,A,B,C为三个内角a,b,c为三条边,,且.
(Ⅰ)判断△ABC的形状;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
..
.
参考答案与试题解析
一.选择题(共
20小题)
1.(2015?
河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的
周长是(
)
A.18
B.19
C.16
D.17
考点:
余弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理列出关系式,把
a,c,cosB的值代入求出
b的值,即可确定出三角形
ABC周长.
解答:
解:
∵△ABC中,a=3,c=8,B=60°,
2
2
2
∴b=a+c﹣2accosB=9+64﹣24=49,即b=7,
则△ABC周长为3+8+7=18,
故选:
A.
点评:
此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
2.(2015?
河南二模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的
周长是()
A.17B.19C.16D.18
考点:
余弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理列出关系式,将a,b及cosB的值代入,得到关于c的方程,求出方程的解即可得到c的值.
解答:
解:
∵a=3,c=9,B=60°,∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,即:
b2=9+64﹣24,即b=7,
则a+b+c=18
故选:
D.
点评:
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
3.(2014?
云南模拟)在△ABC中,b2﹣a2﹣c2=
ac,则∠B的大小(
)
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
考点:
余弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理表示出
cosB,把已知等式变形后代入计算求出
cosB的值,即可确定出
B的度数.
2
2
2
2
2
2
ac,
解答:
解:
∵在△ABC中,b
﹣a
﹣c=ac,即a+c
﹣b=﹣
∴cosB=
=﹣
,
则∠B=150°,
故选:
D.
点评:
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
4.(2013?
陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定
考点:
正弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1,
..
.
可得A=,由此可得△ABC的形状.
解答:
解:
△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,
即sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,故A=,故三角形为直角三角形,
故选B.
点评:
本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.
5.(2013?
湖南)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于()
A.B.C.D.
考点:
正弦定理.
专题:
计算题;解三角形.
分析:
利用正弦定理可求得sinA,结合题意可求得角A.
解答:
解:
∵在△ABC中,2asinB=b,
∴由正弦定理==2R得:
2sinAsinB=sinB,
∴sinA=,又△ABC为锐角三角形,
∴A=.
故选D.
点评:
本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题.
6.(2013?
温州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,若A=30°,B=105°,a=1.则c=(
)
A.﹣1
B..
C..
D..2
考点:
正弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
由已知可先求
C,然后结合正弦定理
可求
解答:
解:
∵A=30°,B=105°,
∴C=45°∵a=1.
由正弦定理可得,
则c===
故选B
点评:
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用,属于基础试题
7.(2013?
天津模拟)在钝角△ABC中,已知AB=,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积是()
A.B.C.D.
..
.
考点:
正弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
利用余弦定理列出关系式,把c,b,以及cosB的值代入求出a的值,利用三角形面积公式即可求出三角形
ABC面积.
解答:
解:
∵在钝角△ABC中,已知AB=c=,AC=b=1,∠B=30°,
2222
解得:
a=1或a=2,
当a=1时,a=b,即∠A=∠B=30°,此时∠C=120°,满足题意,△ABC的面积S=acsinB=;
当a=2时,满足a2=c2+b2,即△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,则△ABC面积是.
故选:
B.
点评:
此题考查了正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
8.(2013?
泰安一模)在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面积为
,则BC的长为(
)
A.
B.3
C.
D.7
考点:
余弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
,求出AC=1,由余弦定理可得
BC,计算可得答案.
由△ABC的面积S△ABC=
解答:
=×AB×ACsin60°=×2×AC×
,
解:
∵S△ABC=
∴AC=1,
△ABC中,由余弦定理可得BC==,
故选A.
点评:
本题考查三角形的面积公式,余弦定理的应用,求出AC,是解题的关键.
9.(2013?
浦东新区三模)已知△ABC中,AC=2,BC=2,则角A的取值范围是()
A.B.C.D.
考点:
余弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
知道两边求角的范围,余弦定理得到角和第三边的关系,而第三边根据三角形的构成条件是有范围的,这
样转化到角的范围.
22
解答:
解:
利用余弦定理得:
4=c+8﹣4ccosA,即c﹣4cosAc+4=0,
2
∴△=32cosA﹣16≥0,
∵A为锐角
∴A∈(0,],
故选:
C.
点评:
此题属于解三角形题型,解题思路为:
利用余弦定理解答三角形有解问题,知道两边求角的范围,余弦定理得到角和第三边的关系,而第三边根据三角形的构成条件是有范围的,这样转化到角的范围,有一定难度.
..
.
10.(2012?
广东)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,,则AC=()
A.B.C.D.
考点:
正弦定理.
专题:
计算题.
分析:
结合已知,根据正弦定理,
可求AC
解答:
解:
根据正弦定理,
,
则
故选B
点评:
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题
11.(2012?
天河区三模)在△ABC中,若A=60°,BC=4
,AC=4
,则角B的大小为(
)
A.30°
B.45°
C.135°
D.45°或135°
考点:
正弦定理的应用.
专题:
计算题.
分析:
先根据正弦定理
将题中所给数值代入求出
sinB的值,进而求出B,再由角B的范围确定最终答
案.
解答:
解:
由正弦定理得
,
∴B=45°或135°
∵AC<BC,
∴B=45°,故选B.
点评:
本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.正弦定理在解三角形中有着广泛的应用,要熟练掌握.
12.(2010?
湖北)在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=()
A.﹣B.C.﹣D.
考点:
正弦定理.
分析:
根据正弦定理先求出
sinB的值,再由三角形的边角关系确定∠B
的范围,进而利用
2
2
求解.
sin
B+cosB=1
解答:
解:
根据正弦定理
可得,
,
解得,
又∵b<a,
∴B<A,故B为锐角,
∴,
..
.
故选D.
点评:
正弦定理可把边的关系转化为角的关系,进一步可以利用三角函数的变换,注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围.
13.△ABC的内角
A、B、C对边的长a、b、c成等比数列,则
的取值范围是(
)
A.(0,+∞)
B.(0,2+
)
C.(1,+∞)
D.(1,2+
)
考点:
正弦定理;等比数列的通项公式.
专题:
解三角形.
分析:
设==q,则由任意两边之和大于第三边求得
q的范围,可得
的取值范围
解答:
解:
设==q,则==q+q2,则由,求得<q<,
∴<q2<,∴1<q+q2<2+,
故选:
D.
点评:
本题考查数列与三角函数的综合应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意三角形三边关系的灵活运用
14.(2014?
江西)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则
的值为(
)
A.﹣
B.
C.1
D.
考点:
余弦定理;正弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论.
解答:
解:
∵3a=2b,∴b=
,
根据正弦定理可得===,
故选:
D.
点评:
本题主要考查正弦定理的应用,比较基础.
15.(2014?
重庆三模)在△ABC中,若,则∠B等于()
A.30°B.45°C.60°D.90°
考点:
正弦定理.
专题:
计算题.
分析:
根据所给的等式和正弦定理,得到要求角的正弦和余弦相等,由根据这是一个三角形的内角得到角的度数只能是45°.
..
.
解答:
解:
∵,
又由正弦定理知,
∴sinB=cosB,
∵B是三角形的一个内角,
∴B=45°,
故选B.
点评:
本题考查正弦定理,是一个基础题,解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时,一定要说清楚这个角的范围,这样好确定角度.
16.(2014?
萧山区模拟)在锐角△ABC中,若C=2B,则
的范围(
)
A.
B.
C.(0,2)
D.
考点:
正弦定理;函数的值域.
专题:
计算题.
分析:
由正弦定理得
,再根据△ABC是锐角三角形,求出
B,cosB的取值范围即可.
解答:
解:
由正弦定理得
,∵△ABC是锐角三角形,∴三个内角均为锐角,
即有
,0<π﹣C﹣B=π﹣3B<
解得
,又余弦函数在此范围内是减函数.故
<cosB<.
∴<<
故选A
点评:
本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是B角的范围确定不准确.
17.(2014?
南平模拟)在△ABC中,如果,B=30°,那么角A等于()
A.30°B.45°C.60°D.120°
考点:
正弦定理;余弦定理.
分析:
本题考查的知识点是正弦定理和余弦定理,由在△ABC中,如果,我们根据正弦定理边角互
化可以得到a=c,又由B=30°,结合余弦定理,我们易求出b与c的关系,进而得到B与C的关系,然
后根据三角形内角和为180°,即可求出A角的大小.
解答:
解:
∵在△ABC中,如果
∴a=c
又∵B=30°
由余弦定理,可得:
cosB=cos30°===
解得:
b=c
则B=C=30°
A=120°.
故选D.
点评:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
﹣2abcosC.余弦定理可以变形为:
2
2
余弦定理:
a=b+c﹣2bccosA
,b=a+c﹣2accosB
,c=a+b
cosA=(b+c
..
.
﹣a2)÷2bc,cosB=(a2+c2﹣b2)÷2ac,cosC=(a2+b2﹣c2)÷2ab
18.(2014?
广西模拟)在△ABC中
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