二阶常系数齐次线性微分方程.docx
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二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
第六节二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的:
使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点:
二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程:
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:
方程
y,,,py,,qy,0
、q均为常数,称为二阶常系数齐次线性微分方程~其中p
如果y、y是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解~那么y,Cy,Cy就是它的121122通解,
rxrx我们看看~能否适当选取r~使y,e满足二阶常系数齐次线性微分方程~为此将y,e代入
方程
y,,,py,,qy,0
得
2rx(r,pr,q)e,0,
2rx由此可见~只要r满足代数方程r,pr,q,0~函数y,e就是微分方程的解,
2特征方程:
方程r,pr,q,0叫做微分方程y,,,py,,qy,0的特征方程,特征方程的两个根r、r12
可用公式
24,p,,p,qr,1,22
求出,
特征方程的根与通解的关系:
rxrx12
(1)特征方程有两个不相等的实根r、r时~函数、是方程的两个线性无关y,ey,e1212的解,
这是因为~
rx1ye(r,r)x1rxrx1212,,e函数、是方程的解~又不是常数,y,ey,e12rx2ye2
因此方程的通解为
rxrx12,y,Ce,Ce12
rxrx11
(2)特征方程有两个相等的实根r,r时~函数、是二阶常系数齐次线性微分y,ey,xe1212
方程的两个线性无关的解,
rx1这是因为~是方程的解~又y,e1
2rxrxrxrxrxrx111111,,,(xe),p(xe),q(xe),(2r,xr)e,p(1,xr)e,qxe111
2rxrx11~,e(2r,p),xe(r,pr,q),0111
rx1yxe2rx1也是方程的解~且不是常数,所以,,xy,xe2rx1ye1
因此方程的通解为
rxrx11,y,Ce,Cxe12
(,,i,)x(,,i,)x(3)特征方程有一对共轭复根r,,,i,时~函数y,e、y,e是微分方程的两个线性无1,2
x,x关的复数形式的解,函数y,ecos,x、y,esin,x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解,
(,,i,)x(,,i,)x函数y,e和y,e都是方程的解而由欧拉公式得12
(,,i,)xxy,e,e(cosx,isinx)1
(,,i,)xxy,e,e(cosx,isinx)2
1x,xy,y,2ecosxecos,x,(y,y)12122
1x,xy,y,2iesinxesin,x,(y,y)12122i
x,x故ecos,x、y,esin,x也是方程解,2
x,x可以验证~y,ecos,x、y,esin,x是方程的线性无关解,12
因此方程的通解为
xy,e(Ccos,x,Csin,x),12
求二阶常系数齐次线性微分方程y,,,py,,qy,0的通解的步骤为:
第一步写出微分方程的特征方程
2r,pr,q,0
第二步求出特征方程的两个根r、r,12
第三步根据特征方程的两个根的不同情况~写出微分方程的通解,
例1求微分方程y,,,2y,,3y,0的通解,
解所给微分方程的特征方程为
2r,2r,3,0~即(r,1)(r,3),0其根r,,1~r,3是两个不相等的实根~因此所求通解为12
x3xy,Ce,Ce,12
例2求方程y,,,2y,,y,0满足初始条件y|,4、y,|,,2的特解,x,0x,0
解所给方程的特征方程为
22r,2r,1,0~即(r,1),0
其根r,r,,1是两个相等的实根~因此所给微分方程的通解为12
xy,(C,Cx)e,12
将条件y|,4代入通解~得C,4~从而x,01
xy,(4,Cx)e,2
将上式对x求导~得
xy,,(C,4,Cx)e,22
再把条件y,|,,2代入上式~得C,2,于是所求特解为x,02
xx,(4,2x)e,
例3求微分方程y,,,2y,,5y,0的通解,
解所给方程的特征方程为
2r,2r,5,0
特征方程的根为r,1,2ir,1,2i是一对共轭复根12
因此所求通解为
xy,e(Ccos2x,Csin2x),12
n阶常系数齐次线性微分方程:
方程
(n)(n,1)(n,2)y,py,py,,,,,py,,py,0~12n,1n
称为n阶常系数齐次线性微分方程~其中p~p~,,,~p~p都是常数,12n,1n
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式~可推广到n阶常系数齐次
线性微分方程上去,
引入微分算子D及微分算子的n次多项式
nn,1n,2L(D)=D,pD,pD,,,,,pD,p12n,1n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
nn,1n,2(D,pD,pD,,,,,pD,p)y,0或L(D)y,012n,1n
023n(n)注D叫做微分算子Dy,yDy,y,Dy,y,,Dy,y,,,,,,Dy,y
rx分析令y,e则
rxnn,1n,2rxrxL(D)y,L(D)e,(r,pr,pr,,,,,pr,p)e,L(r)e12n,1n
rx因此如果r是多项式L(r)的根则y,e是微分方程L(D)y,0的解
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
nn,1n,2L(r),r,pr,pr,,,,,pr,p,012n,1n
称为微分方程L(D)y,0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应:
rx单实根r对应于一项:
Ce,
x,一对单复根r~,,i,对应于两项:
e(Ccos,x,Csin,x),1212
rxk,1k重实根r对应于k项:
e(C,Cx,,,,,Cx),12k
一对k重复根r~,,i,对应于2k项:
12
xk,1k,1e[(C,Cx,,,,,Cx)cos,x,(D,Dx,,,,,Dx)sin,x],12k12k
(4)例4求方程y,2y,,,,5y,,,0的通解,
解这里的特征方程为
43222r,2r,5r,0~即r(r,2r,5),0~
它的根是r,r,0和r~,1,2i,1234
因此所给微分方程的通解为
xy,C,Cx,e(Ccos2x,Csin2x),1234
(4)4例5求方程yy,0的通解~其中,0,,,,
解这里的特征方程为
44r,,,0,
,它的根为~,r,(1,i)r,,(1,i)1,23,422
因此所给微分方程的通解为
,x,x,,,,22,y,e(Ccosx,Csinx),e(Ccosx,Csinx)12342222
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程:
方程
y,,,py,,qy,f(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程~其中p、q是常数,
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y,Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y,y*(x)之和:
y,Y(x),y*(x),
当f(x)为两种特殊形式时~方程的特解的求法:
x一、f(x),P(x)e型m
x当f(x),P(x)e时~可以猜想~方程的特解也应具有这种形式,因此~设特解形式为m
xy*,Q(x)e~将其代入方程~得等式
2Q,,(x),(2,,p)Q,(x),(,,p,,q)Q(x),P(x),m
22
(1)如果,不是特征方程r,pr,q,0的根~则,,p,,q0,要使上式成立~Q(x)应设为m次多
项式:
mm,1Q(x),bx,bx,,,,,bx,b~m01m,1m
通过比较等式两边同次项系数~可确定b~b~,,,~b~并得所求特解01m
xy*,Q(x)e,m
22
(2)如果,是特征方程r,pr,q,0的单根~则,,p,,q,0~但2,,p0~要使等式
2Q,,(x),(2,,p)Q,(x),(,,p,,q)Q(x),P(x),m成立~Q(x)应设为m,1次多项式:
Q(x),xQ(x)~m
mm,1Q(x),bx,bx,,,,,bx,b~m01m,1m通过比较等式两边同次项系数~可确定b~b~,,,~b~并得所求特解01m
x,y*,xQ(x)e,m
22(3)如果是特征方程r,pr,q,0的二重根~则,p,q,0~2,p,0~要使等式,,,,
2Q,,(x),(2,,p)Q,(x),(,,p,,q)Q(x),P(x),m成立~Q(x)应设为m,2次多项式:
2Q(x),xQ(x)~m
mm,1Q(x),bx,bx,,,,,bx,b~m01m,1m
通过比较等式两边同次项系数~可确定b~b~,,,~b~并得所求特解01m
2,xy*,xQ(x)e,m
x综上所述~我们有如下结论:
如果f(x),P(x)e~则二阶常系数非齐次线性微分方程my,,,py,,qy,f(x)有形如
k,xy*,xQ(x)em
的特解~其中Q(x)是与P(x)同次的多项式~而k按,不是特征方程的根、是特征方程的单根或mm
是特征方程的的重根依次取为0、1或2,
例1求微分方程y,,,2y,,3y,3x,1的一个特解,
x解这是二阶常系数非齐次线性微分方程~且函数f(x)是P(x)e型(其中P(x),3x,1~,,0),mm
与所给方程对应的齐次方程为
y,,,2y,,3y,0~
它的特征方程为
2r,2r,3,0,
由于这里,,0不是特征方程的根~所以应设特解为
y*,bx,b,01
把它代入所给方程~得
3bx,2b,3b,3x,1~001
比较两端x同次幂的系数~得
3,3b,0,3b,3~,2b,3b,1,001,,2b,3b,101,
1由此求得b,,1~,于是求得所给方程的一个特解为b,013
1,y*,,x,3
2x求微分方程y,,,5y,,6y,xe的通解,例2
x解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程~且f(x)是P(x)e型(其中P(x),x~,2),,mm
与所给方程对应的齐次方程为
y,,,5y,,6y,0~
它的特征方程为
2r,5r,6,0,
特征方程有两个实根r,2~r,3,于是所给方程对应的齐次方程的通解为12
2x3xY,Ce,Ce,12
由于,,2是特征方程的单根~所以应设方程的特解为
2xy*,x(bx,b)e,01
把它代入所给方程~得
2bx,2b,b,x,001
比较两端x同次幂的系数~得
2,1b,0,2b,1~2b,b,0,001,2b,b,001,
1由此求得~b,,1,于是求得所给方程的一个特解为b,,102
12x,y*,x(,x,1)e2
从而所给方程的通解为
12x3x22x,y,Ce,Ce,(x,2x)e122
提示
2x22xy*,x(bx,b)e,(bx,bx)e0101
22x22x[(bx,bx)e],,[(2bx,b),(bx,bx),2]e010101
22x222x[(bx,bx)e],,,[2b,2(2bx,b),2,(bx,bx),2]e0100101
22x22x22xy*,,,5y*,,6y*,[(bx,bx)e],,,5[(bx,bx)e],,6[(bx,bx)e]010101
222x22x22x,[2b,2(2bx,b),2,(bx,bx),2]e,5[(2bx,b),(bx,bx),2]e,6(bx,bx)e00101010101
2x2x,[2b,4(2bx,b),5(2bx,b)]e,[,2bx,2b,b]e00101001
x方程y,,,py,,qy,e[P(x)cos,x,P(x)sin,x]的特解形式ln
应用欧拉公式可得
xe[P(x)cos,x,P(x)sin,x]ln
ix,i,xi,x,i,xeeee,,x,ePxPx[()()],,lni22
11(,,i,)x(,,i,)x,[P(x),iP(x)]e,[P(x),iP(x)]elnln22
(,,i,)x(,,i,)x~,P(x)e,P(x)e
11~,而m,max{l~n},其中P(x),(P,Pi)P(x),(P,Pi)lnln22
(,,i,)xk(,,i,)x设方程y,,,py,,qy,P(x)e的特解为y*,xQ(x)e~1m
k(,,i,)(,,i,),,,则必是方程的特解~y*,xQ(x)ey,py,qy,P(x)e1m
其中k按,i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1,,,
x于是方程y,,,py,,qy,e[P(x)cos,x,P(x)sin,x]的特解为ln
k(,,i,)xk(,,i,)xy*,xQ(x)e,xQ(x)emm
kx,,xe[Q(x)(cos,x,isin,x),Q(x)(cos,x,isin,x)mm
k,x
(1)
(2),xe[R(x)cos,x,R(x)sin,x],mm
综上所述~我们有如下结论:
x如果f(x),e[P(x)cos,x,P(x)sin,x]~则二阶常系数非齐次线性微分方程ln
y,,,py,,qy,f(x)
的特解可设为
k,x
(1)
(2)y*,xe[R(x)cos,x,R(x)sin,x]~mm
(1)
(2)其中R(x)、R(x)是m次多项式~m,max{l~n}~而k按,,i,(或,,i,)不是特征方程的根或是mm
特征方程的单根依次取0或1,
例3求微分方程y,,,y,xcos2x的一个特解,
所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程~解
x且f(x)属于e[P(x)cosx,P(x)sinx]型(其中,0~,2~P(x),x~P(x),0),,,,,lnln
与所给方程对应的齐次方程为
y,,,y,0~
它的特征方程为
2r,1,0,
由于这里,,i,,2i不是特征方程的根~所以应设特解为
y*,(ax,b)cos2x,(cx,d)sin2x,把它代入所给方程~得
(,3ax,3b,4c)cos2x,(3cx,3d,4a)sin2x,xcos2x,
41比较两端同类项的系数~得~b,0~c,0~,d,a,,39
14于是求得一个特解为,y*,,xcos2x,sin2x39
提示
y*,(ax,b)cos2x,(cx,d)sin2x,
y*,,acos2x,2(ax,b)sin2x,csin2x,2(cx,d)cos2x
(2cx,a,2d)cos2x,(,2ax,2b,c)sin2x
y*,,,2ccos2x,2(2cx,a,2d)sin2x,2asin2x,2(,2ax,2b,c)cos2x
(,4ax,4b,4c)cos2x,(,4cx,4a,4d)sin2xy*,,,y*,(,3ax,3b,4c)cos2x,(,3cx,4a,3d)sin2x
3a,1,
,3b,4c,041由得~b,0~c,0~d,,a,,,,3c,039,,4a,3d,0,
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- 二阶常 系数 线性 微分方程