第一章集合定稿doc.docx
- 文档编号:24415339
- 上传时间:2023-05-27
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:155.87KB
第一章集合定稿doc.docx
《第一章集合定稿doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第一章集合定稿doc.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第一章集合定稿doc
天空中美丽的风筝,千姿百态,翩翩起舞,我们看到的所有的风筝,都遵从着一种数学集合的约定:
确定性、互异性.
数学是科学的大门和钥匙.
——培根
数学是科学和技术的基础;没有强有力的数学就不可能有强有力的科学.
——美国国家研究委员会
第一章集合
集合是现代数学的基本概念,用它可以简洁、准确地表达数学内容.充分条件、必要条件和充要条件等逻辑用语,是数学的通用语言.学好这一章可以为今后学习数学奠定基础,并能进一步提高运用数学语言去理解和处理问题的能力.
1.1集合及其表示
1.1.1集合
在初中,我们用过“集合”这个词,例如,自然数的集合、有理数的集合、不等式x−7<3解的集合、到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等等.
那么,集合的含义是什么呢?
我们再来看下面的一些例子:
(1)某中等职业学校高一年级学生的全体;
(2)方程x2=4的所有实数根;
(3)所有的平行四边形;
(4)平面上到一条线段的两个端点距离相等的点的全体.
例
(1)中,我们把某中等职业学校高一年级的每一个学生作为一个确定的对象,这些对象的全体就构成一个集合;例
(2)中,把方程x2=4的每一个实数根作为一个确定的对象,这些对象的全体也构成一个集合.同样地,例(3),(4)中的对象的全体也分别构成一个集合.
一般地,把一些能够确定的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集).构成集合的每个对象都叫做集合的元素.
(边注:
类型:
试一试内容:
试举出几个集合的例子.)
一个集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示,它的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA,读作“a属于A”.
如果b不是集合A的元素,就说b不属于A,记作b
A,读作“b不属于A”.
(边注:
类型:
读一读内容:
在1889年,意大利数学家皮亚诺(1858-1932),首先使用“”来表示“属于”.)
关于集合,再作如下说明:
(1)确定性:
作为集合的元素,必须是完全确定的.这就是说,不能完全确定的对象,不能构成集合.例如,高一
(1)班高个子同学的全体,就不能构成集合.这是由于没有规定多高才算是高个子,因而“高个子同学”不能确定.
(2)互异性:
一个给定集合中的元素,是互不相同的.也就是说,集合中的元素不能重复出现.
含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集.
(边注:
类型:
想一想内容:
在本节开始的例
(1),
(2),(3),(4)中,哪些是有限集?
哪些是无限集?
)
人们约定用特定的一些大写英文字母,表示数学中一些常用的数集,见表1—1.
表1—1常用数集及其记号
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记号
N
N+或N*
Z
Q
R
练习1-1
1.说出下面集合中的所有元素:
(1)大于2且小于7的偶数构成的集合;
(2)平方等于1的实数构成的集合.
2.用符号“”或“”填空:
(1)1___N,0___N,-4___N,0.3___N,
___N;
(2)1___Z,0___Z,-4___Z,0.3___Z,
___Z;
(3)1___Q,0___Q,-4___Q,0.3___Q,
___Q;
(4)1___R,0___R,-4___R,0.3___R,
___R.
3.判断下列语句能不能构成一个集合,并说明理由.
(1)小于10的自然数的全体;
(2)某校高一
(2)班所有性格开朗的男生;
(3)英文的26个字母;
(4)非常接近1的实数;
(5)小于10的质数的全体;
(6)中国所有的小河流.
1.1.2集合的表示方法
1.列举法
当集合中元素不多时,我们常常把集合的元素一一列举出来,写在大括号内表示这个集合,这种表示集合的方法叫做列举法.
例如,由1,2,3,4,5,6构成的集合,可表示为
{1,2,3,4,5,6}.
又如,中国古代四大发明构成的集合,可以表示为
{指南针,造纸术,活字印刷术,火药}.
再如,方程x2+2x−3=0所有的解构成的集合,可以表示为
{−3,1}.
有些集合的元素较多,在不发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.例如,小于100的自然数的全体构成的集合,可表示为
{0,1,2,3,…,99}.
一个集合可能只有一个元素.例如,由既不是正数又不是负数构成的实数集合中就只有一个元素0.用列举法可以把这个集合表示为{0}.但是{0}与0有着本质的区别:
{0}表示集合,它只有一个元素0,而0表示的只是一个数,不是集合.
(边注:
类型:
想一想内容:
a与{a}有什么区别?
)
例1用列举法表示下列集合:
(1)大于3且小于10的所有奇数构成的集合;
(2)方程x2−x=0的解的全体构成的集合;
(3)一次函数y=-x+1的图象与两坐标轴交点构成的集合.
解:
(1){5,7,9};
(2){0,1};(3){(1,0),(0,1)}.
这里
(1),
(2)均为数集,而(3)是由平面上坐标为(1,0)和(0,1)的两点构成的点集.
2.性质描述法
我们容易看出,满足不等式2x>4的全体实数构成的集合,不可能用列举法来表示,这时,可以用集合的特征性质来描述.
一般地,集合A的特征性质是指,属于集合A的元素都具有这种性质,不属于集合A的元素都不具有这种性质.
例如,满足不等式2x>4的全体实数构成的集合的特征性质是:
“xR,且x>2”.
满足特征性质的元素都在集合中,不满足特征性质的元素都不在这个集合中,所以,我们可以把这个集合表示为
A={xR|x>2}.
大括号竖线左边的x表示这个集合的任一元素,并标出元素的取值范围U.在竖线的右边写出只有集合内的元素x才具有的特征性质p.这种用集合的特征性质表示集合的方法叫做性质描述法.
用性质描述法表示的集合A,一般记为A={xU|p}.
在某种约定下,x的取值集合可以不写.例如在实数集R中取值,xR常常省略不写.上述集合A可以简写为{x|x>2}.
(边注:
类型:
想一想内容:
2,4是集合A={x|x>2}的元素吗?
)
又如,正偶数2,4,6,8,…的全体构成的集合,它的每一个元素都具有性质“能被2整除,且大于0”,而不属于这个集合的元素都不具有这种性质.我们可以把这个集合表示为
{xZ|x能被2整除,且大于0}
或 {xZ|x=2n,nN+}.
有时为了方便,像正偶数集这样的集合也可以描述为
{x|x是正偶数}.
例2用性质描述法表示下列集合:
(1)不等式x−1<5的解构成的集合;
(2)大于10且小于20的所有有理数构成的集合.
解:
(1)不等式x−1<5的解构成的集合用性质描述法表示为{x|x<6};
(2)设大于10且小于20的有理数为x,它满足条件xQ,且10<x<20,因此,用性质描述法表示为{xQ|10<x<20}.
(边注:
类型:
试一试内容:
自己举出几个集合的例子,并分别用列举法和性质描述法表示出来.)
练习1-2
1.用列举法表示下列集合:
(1)大于3且小于10的偶数的全体;
(2)绝对值等于1的实数的全体;
(3)比2大3的实数的全体;
(4)一年中有31天的月份的全体;
(5)大于3.5且小于12.8的整数的全体.
2.用列举法写出图中各点的坐标构成的集合:
(1)
(2)
3.用性质描述法表示下列集合:
(1)由山东省的省会城市构成的集合;
(2)目前你所在班级所有同学构成的集合;
(3)正奇数的全体构成的集合;
(4)绝对值等于3的实数的全体构成的集合;
(5)不等式4x−5<3的解构成的集合;
(6)所有的正方形构成的集合.
1.2集合之间的关系
观察下面两组集合:
(1)M={x|x是山东省的公民},N={x|x是中国的公民};
(2)C={1,2},D={x|(x−1)(x−2)=0}.
你能发现集合M与N,C与D之间的关系吗?
可以看出,对于
(1)中的两个集合,集合M的任意一个元素都是集合N的元素,但集合N中有的元素不在集合M中.
对于
(2)中的两个集合,集合C的任意一个元素都是集合D的元素,并且集合D的任意一个元素都是集合C的元素.
为了表达集合之间的这些关系,我们引入如下概念:
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作
AB或BA,
读作“A包含于B”,或“B包含A”.
根据这个定义可知,任何一个集合A都是它本身的子集,即
AA.
对于前面的集合M与N,C与D它们之间的关系可用上述符号分别表示为
{x|x是山东省的公民}{x|x是中国的公民},或MN;
{1,2}{x|(x−1)(x−2)=0},或CD.
(边注:
类型:
想一想内容:
集合D与C满足DC吗?
)
当集合A不是集合B的子集时,记作
A
B或B
A,
读作“A不包含于B”,或“B不包含A”.
如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作
A
B或B
A,
读作“A真包含于B”,或“B真包含A”.
对于前面的集合M与N,它们之间的关系可用真子集的符号表示为
M
N.
如果两个集合的元素完全相同,那么我们就说这两个集合相等.集合A等于集合B,记作
A=B.
由集合相等的定义,可得
如果AB,且BA,那么A=B;反之,如果A=B,那么AB且BA.
对于前面的集合C与D,它们之间的关系可以表示为
C=D.
我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作.例如,{xR|x2=-1}=.
规定:
空集是任何集合的子集,也就是说,对于任何集合A,都有
A.
(边注:
类型:
想一想内容:
{0}与有什么不同,有什么关系?
)
我们常用平面上封闭曲线的内部来表示一个集合,如图1—1
(1)表示集合A.如果集合A是集合B的真子集,那么把表示A的区域画在表示B的区域内部,如图1—1
(2).
根据子集、真子集的定义可推知:
对于集合A,B,C,如果A
B,B
C,则A
C;
对于集合A,B,C,如果A
B,B
C,则A
C.
例1写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集.
解:
集合A的所有子集为:
,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},
{1,2,3}.
在上述子集中,除去集合A本身,即{1,2,3},剩下的集合都是A的真子集.
(边注:
类型:
议一议内容:
怎样保证不重不漏地写出{1,2,3}的所有子集.)
例2说出以下两个集合之间的关系:
(1)A={2,4,5,7},B={2,5};
(2)S={x|x2=1},T={−1,1};
(3)C={x|x是奇数},D={x|x是整数}.
解:
(1)A
B;
(2)S=T;(3)C
D.
练习1-3
1.指出下面各对集合之间的关系:
(1)A={x|x2−9=0},B={−3,3};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|x>2},B={x|x>4}.
2.用适当的符号(,,=,
,
)填空:
(1)a______{a,b,c};
(2){4,5,6}______{6,5,4};
(3){a}______{a,b,c};(4){a,b,c}______{b,c};
(5)______{1,2,3};(6){x|x是矩形}______{x|x是正方形};
(7)0______{x|x2=0};(8){0,1}______N.
3.写出集合A={s,t}的所有子集和真子集.
1.3集合的基本运算
“运算”这个词,过去只用于数或数学式子.这里集合运算的意义是,由两个已知的集合,按照某种指定的法则,构造出一个新的集合.
1.3.1交集
已知集合
M={1,2,3,4},N={3,4,5,6},
我们可由这两个集合的所有公共元素构造出一个新的集合
{3,4}.
下面,给出这种构造的新集合的定义.
一般地,给定两个集合A,B,由属于A且属于B的所有元素构成的集合,叫做A与B的交集,记作
A∩B,
读作“A交B”,
即A∩B={x|xA且xB}.
(边注:
类型:
想一想内容:
你能用自己的语言表述A∩B的概念吗?
)
例如,{a,b,c,d}∩{b,c,d,e,f}={b,c,d}.
集合A与B的交集,可用图1-2中的阴影表示.
(边注:
类型:
想一想内容:
如果两个集合没有公共元素,那么它们的交集是什么?
)
由交集的定义可知,对于任意两个集合A、B,都有
(1)A∩B=B∩A;
(2)A∩A=A;
(3)A∩=;
(4)如果AB,那么A∩B=A.如图1-2
(2),(3)所示.
例1已知集合A={x|x<1},B={x|x<2},求A∩B.
解:
A∩B={x|x<1}∩{x|x<2}={x|x<1}.
例2 设集合A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},Z={x|x是整数},求A∩Z,B∩Z,A∩B.
解:
因为AZ,BZ,
所以A∩Z=A;
B∩Z=B;
A∩B={x|x是奇数}∩{x|x是偶数}=.
(边注:
类型:
想一想内容:
例1和例2的解法,各自的依据是什么?
)
1.3.2并集
已知
M={1,2,3,4},N={3,4,5,6},
这两个集合的所有元素合并在一起,构造出一个新的集合
{1,2,3,4,5,6}.
(边注:
类型:
想一想内容:
两个集合的公共元素,在新集合中为什么只出现了一次?
)
下面,给出这种构造的新集合的定义.
一般地,给定两个集合A,B,由属于集合A或属于集合B的所有元素构成的集合,叫做A与B的并集,记作
A∪B,
读作“A并B”,
即A∪B=
或
.
例如,{a,c}∪{b,c,d}={a,b,c,d}.
(边注:
类型:
读一读内容:
并集定义中的“或”有三层含义,一是元素在集合A中但不在集合B中;一是元素在集合B中但不在集合A中;一是元素在集合A中且在集合B中.)
集合A与B的并集,可用图1—3中的阴影表示.
注意:
在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次.
由并集的定义可知,对于任意两个集合A,B,有
(1)A∪B=B∪A;
(2)A∪A=A;
(3)A∪=A;
(4)如果AB,则A∪B=B.如图1—3(3),(4)所示.
例3已知集合A={1,3,4},B={2,4,5},求A∪B.
解:
A∪B={1,3,4}∪{2,4,5}={1,2,3,4,5}.
例4设集合A={x|x>3},B={x|x>5},求A∪B,A∩B.
解:
因为BA,
所以A∪B=A;
A∩B=B.
(边注:
类型:
想一想内容:
例3和例4的解法,各自的依据是什么?
)
练习1-4
1.已知集合A={3,4,5,6,7},B={5,7,9},求A∩B,A∪B.
2.已知集合A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},求A∩B,A∪B.
3.设集合A={x|x<-1},B={x|x<3},求A∩B,A∪B.
4.设集合A={x|x>2},B={x|x<6},求A∩B,A∪B.
5.已知集合A={x|x2−9=0},B={x|x−3=0},求A∩B,A∪B.
6.已知集合A=,B={1,2},求A∩B,A∪B.
1.3.3补集
在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围.例如,设U是全班同学的集合,A是班上所有参加某次演出的同学的集合,而B是班上所有没有参加这次演出的同学的集合,那么这三个集合有什么关系呢?
容易看出,集合B就是集合U中所有不属于集合A的元素所构成的集合.
一般地,如果在讨论的问题中,每一个集合都是某一个集合U的子集,那么就称U为这些集合的全集.例如,我们在研究数集时,常常把实数集R作为全集.如果A是全集U的一个子集,由全集U中所有不属于A的元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作
UA,
读作“A在U中的补集”.如图1-4中的阴影所示.
由补集的定义可知,对于给定的全集U以及它的任意一个子集A,有
(1)A∪
UA=U;
(2)A∩
UA=;
(3)
U(
UA)=A.
例5设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},求
UA,A∩
UA,A∪
UA.
解:
UA={2,4,6},A∩
UA=,A∪
UA=U={1,2,3,4,5,6}.
例6设全集U={x|x是实数},Q={x|x是有理数},求
UQ.
解:
UQ={x|x是无理数}.
例7设全集U=R,A={x|x>5},求
UA.
解:
UA={x|x≤5}.
(边注:
类型:
试一试:
你能举出几个补集的例子吗?
)
练习1-5
1.设全集U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,2,3},B={3,4,5,6},求
UA,
UB.
2.设全集U=R,A={x|x<0},求
UA.
3.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={5,2,1},B={5,4,3,2},求
UA,
UB,
UA∩
UB,
UA∪
UB.
4.设全集U=Z,集合A={x|x=2k,kZ},B={x|x=2k+1,kZ},求
UA,
UB.
1.4充要条件
1.子集与推出的关系
已知集合Q={x|x是有理数},R={x|x是实数},容易判断Q是R的子集.
如果再考虑它们特征性质之间的关系,也容易判断命题:
“如果x是有理数,则x是实数”
是正确的.反过来,如果上述命题正确,那么有理数集Q也一定是实数集R的子集.
由此可见,我们可通过判断两个集合之间的关系,来判断它们的特征性质之间的关系;反之,我们也可通过判断两个集合特征性质之间的关系,来判断这两个集合之间的关系.
一般地,设集合A={x|p},B={x|q}.
如果AB(图1-5),则x具有的性质p推出x具有的性质q,记做
pq,
读作p推出q.
反之,如果pq,则集合A一定是集合B的子集.
如果AB,则pq;如果pq,则AB.即
AB与pq等价.
2.充要条件
“pq”通常还可表述为
p是q的充分条件;
或
q是p的必要条件.
这就是说
① “如果p,则q”是正确的;
②pq;
③p是q的充分条件;
④q是p必要条件.
这四句话的含义是相同的.下面我们举例说明.
(1)“如果x=2,那么x2-4=0”是正确的,这个命题还可表述为
x=2x2-4=0;
或x=2是x2-4=0的充分条件;
或x2-4=0是x=2的必要条件.
(2)“如果四边形是矩形,那么四边形的对角线互相平分”是正确的,这个命题还可表述为
四边形是矩形四边形的对角线互相平分;
或“四边形是矩形”是“四边形的对角线互相平分”的充分条件;
或“四边形的对角线互相平分”是“四边形是矩形”的必要条件.
如果p是q的充分条件,p又是q的必要条件,则称p是q的充要条件,记做
pq
读作“p与q等价”或“p与q互为充要条件”.
例如:
如果二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=0,那么这个二次方程有两个相等的实数根;反之,如果二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,那么Δ=0.由于这两个命题都是真命题,所以这两个命题合起来可用充分必要条件表述为
Δ=0是二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根的充要条件.
例判定下列各题中p是q的什么条件,q是p的什么条件?
(1)p:
x>3,q:
x>5;
(2)p:
x=y,q:
x2=y2;
(3)p:
x是矩形,q:
x是有一个角为直角的平行四边形.
解:
(1)因为x>5x>3,
所以q是p的充分条件;
p是q的必要条件.
(2)因为x=yx2=y2,,
所以p是q的充分条件;
q是p的必要条件.
(3)因为x是矩形x是有一个角为直角的平行四边形,
“x是矩形”是“x是有一个角为直角的平行四边形”的充要条件.
练习1-6
1.口答下列各题:
(1)x=0是x2=0的什么条件?
(2)请你说出“pq”的其它等价说法;
(3)回忆你已学过的一些数学定理,并换用充分条件、必要条件或充要条件表述.
2.用充分条件、必要条件或充要条件填空:
(1)a=0是ab=0的;
(2)x=3是x2-2x-3=0的;
(3)如果x=0且y=0(x,yR)是x2+y2=0的;
(4)x2-1=0是x=1的.
3.判定下列各题中p是q的什么条件,q是p的什么条件?
(1)p:
x是12的约数,q:
x是36的约数;
(2)p:
x2=y2,q:
x+y=0.
4.已知p:
x是自然数,,试确定一个命题q,使得p是q的充分条件.
习题一
1.用适当的方法表示下列集合:
(1)中国国旗图案颜色的全体所构成的集合;
(2)地球上最高的山峰所构成的集合;
(3)大于1且小于100的整数的全体所构成的集合;
(4)能被4整除的所有的自然数所构成的集合;
(5)相反数等于本身的实数的全体所构成的集合;
(6)绝对值等于2的实数的全体所构成的集合;
(7)在直角坐标平面上,直线y=x上所有的点所构成的集合;
(8)9的平方根的全体所构成的集合.
2.判断下列关系是否正确:
(1)2
{x|x≤10};
(2)2{x|x≤10};
(3){2}
{x|x≤10};(4){x|x≤10};
(5)
{x|x≤10};(6)
{x|x≤10}.
3.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},C={6,7,8,9},求
(1)A∩B,B∩C,A∩C;
(2)A∪B,B∪C,A∪C.
4.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},求A∩B,A∪B.
5.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8}.
(1)求:
UA,
UB,
UA∩
UB,
UA∪
UB;
(2)验证:
U(A∩B)=
UA∪
UB,
U(A∪B)=
UA∩
UB.
6.用适当的符号(,,
,
,=)填空:
(1)2______{x|x是奇数};
(2)a______{a};
(3){0}______;(4)Z______R;
(5){a,b,c,d}______{b,a,c,d};(6){2,3}______{xZ|0<x<5}.
7.用充分条件、必要条件或充要条件填空:
(1)x−1=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第一章 集合 定稿 doc