Lx>h
指数分布x~E(a)
fM=
〃一巴x>0
<
0,x<0
F(x)=<
1-严,x>0
0,x<0
•
正态分布
/(*)=—e2/
y/27T(J
-oovxV+oo
.x-(if
F(x)=■,fe2adf
J2x(jJ-00
标准正态分布
X~/V(0,l)
i-
0(x)=—e>/2?
一00VXV+oc
①(x)=-zL=「e'Jt
4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型•P(Y=>'j)=近Pj.i=1,2,••-,
"I-.V,
连续型:
①分布函数法,②公式法./r(刃=fx(M37))-|//(.y)|(A-=力(y)单j周)
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律:
P(X=x「Y=x)=p/丿=1,2.…分布函数
F(X,Y)=ZZpjj
XjSy”Sy
边缘分布偉:
门=p(x=兀)=工几"订=卩(丫=〉\)=工心
条件分布律:
P(X=x”=兀)=生丿=12…
Pi
Pf小紗十…
2、连续型二维随机变量及其分布
1分布函数及性质
2边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数:
密度函数:
3条件概率密度
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立OF(x,y)=Fx(X)FY(y),
离散型:
Pa=PiP.j>连续型:
f(x,y)=fx(x)fr(y)
4、二维随机变量和函数的分布
离散型:
P(Z=®)=XP(X=xi,Y=yJ)
连续型:
£(Z)=匚.f(x,z-x)dx=f(z-y,y)dy
四、随机变量的数宇特征
1、数学期望
1定义:
离散型E(X)=^xkPk,连续型F(X)=£2xf(x)dx
2性质:
E(C)=C,EJE(X)]=E(X),E(CX)^CE(X),E(X±Y)=E(X)±E(Y)
E(aX±b)=aE(X)±b,当X.Y相互独立时:
E(XY)=E(X)E(Y)
2、方差
1定义:
D(X)=E[(X-£(X))2]=E(X2)-£2(X)
2性质:
D(C)=0,D(aX±h)=a2D(X),
D(X±Y)=0(X)4-D(Y)±2Cvv(X,Y)
当X、Y相互独立时:
D(X±Y)=D(X)+D(Y)
3、协方差与相关系数
1协方差:
Cov(X.Y)=E(XY)-E(X)E(Y),当X、Y相互独立时:
S(X』)=0
2相关系数:
久=3讥门,当X、Y相互独立时:
Pxr=0(X,Y不相关)
3协方差和相关系数的性质:
C"(X,X)=D(X),
Cov{X.Y)=Cov(Y.X)
4、随机变量分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布b(l,p)
P
p(l-p)
二项分布b(n,p)
np
np(l-p)
泊松分布卩(刃
2
均匀分布U(a.b)
a+b
2
(b-a)2
12
正态分布N
A
指数分布e(/l)
1
I
1
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若E(X)=“,D(X)=,,对于任意£>0有P{\X-E(X)\>£}<^4^-
2、大数定律:
①切比雪夫大数定律:
若X「・X”相互独立,
.it.n
=且于Sf,贝!
]:
—为乙一一工£(XJ,⑺too)flr-ln/-!
2伯努利大数定律:
设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,贝']Vf>0?
有:
limP—-P<£=1
fIn丿
3辛钦大数定律:
若知…,/独立同分布,且&匕)=“,则丄£匕•亠“
n苗T8
3、中心极限定理
1独立同分布的中心极限定理:
均值为“,方差为,>0的独立同分布时,
n
》Xk-刀“
当n充分大时有:
———^4n(oj)
y/na
2拉普拉斯定理:
随机变量X55则对任意X有:
3近似计算:
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本
总体X的分布函数F(x)样本(X„X2的联合分布为
F(xhx2-xw)=nF(xjt)
g
2、统计量
(1)样本均值:
x=l^x(-⑵样本方差:
n/=|
s'丄£(X|-f)2=丄于)
“11-1“1r-l
(3)样本标准差:
s召号xY)2⑷样本《阶距:
]川
Ak=Lyx^,k=\,2-
诒
(5)样本k阶中心距:
Bk=Mk=-^(Xi-X)k,k=2,3■-
n/-]
3、三大抽样分布
⑴於分布:
设随机变量xg…x“相互独立,且都服从
标准正态分布^(0.1),则随机变量,=xf+x”-..x:
所服从的分布称为自由度为“的才分布,记为/~力2何
性质:
①£lZ2(«)]=n.D[z2(n)J=2/»②设X~于佃)#~才何且相互
独立,则X+Y~/2(,”+“)
⑵/分布:
设随机变量x~N(o.i).y~z2(“),且X与Y独立,
则随机变量:
T亠所服从的分布称为自由度的“的fylYTn
分布,记为T-t(n)
性质:
①E(T)=0(/z>I),D(T)=—(n>2)②limf(x)=(p(x)=丄J?
n_2fy/27T
(3)f分布:
设随机变量〃~亦)芒~才2(“2),且U与V独立,则随机变量F(m,”2)=;-=所服从的分布称为自由度的,"2)
卩/”2
的F分布,
记为F~F(“"2),性质:
设X~F(®,”2),则!
~F(”2,4)
A
七、参数估计
1•参数估计
(1)定义:
用血.X2,…X”)估计总体参数称$(X「X2,…X”)为0的估计量,相应的站,勺,…,血)为总体&的估计值。
⑵当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值二未知参数的极大似然估计值
2.点估计中的矩估计法:
(总体矩二样本矩)
样本均值:
X=£(X)=-Yx;或X=£(%)=pW.W.Y
求法步骤:
设总体X的分布中包含有未知参数q,q,…,仇,它的前k阶原点矩M=E(Xi)Q=l,2,…,Q中包含了未知参数”2,…,即…,q)(2i,2,・・z)。
又设州宀,…,心为总体X的n个样本值,用样本矩
1ft
4=-£x;(21,2,…,灯代替灿,在所建立的方程组中解出
的k个未知参数即为参数心,…、%的矩估计量
AAA
q,&2,…禺
3.点估计中的极大似然估计
极大似然估计法:
X|,X2,…X"取自x的样本,设x-f(x.a)
或X~,
求法步骤:
nn
1似然函数:
厶(&)=口/(儿划或口叱)]
r-l1-1
2取对数:
lnE(&)=£ln/3,0)或lnU0)=fIn”")
f-1J-!
3解方程:
警=0,…,警=0,解得:
q=g宀,…宀)
Ot/|
AA
・E=23宀,…宀)
4.估计量的评价标准
估计量的评价标准
无偏性
设&=&(心,尤2,…,X”)为未知参数0的估计量。
若E(&)=&,则称$为&的无偏估计量。
有效性
AAAA
设01=&l(Xi,X,2,…,x“)和&2=&2(h,X,2,…,X“)是未知
参数&的两个无偏估计量。
若D(e)vD(&2),则称N比^2有效。
一致性
设&“是0的一串估计量,如果对于任意的正数£,都有
limP(l久一&l>£)=0,则称On为0的一致估计量(或相合估n^oo
计量)。
5.单正态总体参数的置信区间
条件
估计
参数
枢轴量
枢轴量
分布
置信水平为1-0的程信区间
已知
•>b-
z-j
b/丽
mo
)
未知
g-i)
已知
z2(«)
£(兀-“)2£(X厂")2
/-!
i-1
4(w)材%(")
未知
2
X^2
*5-1)
(n-l)S2(n-l)S2
A.假设检验
1•假设检验的基本概念
基本思想
假设检验的统计思想是小概率原理。
这里所说的小概率事件就是事件{KeRa},其概率就是显著性水平a,
通常我们取a二0.05,有时也取0.01或O.lOo
基本步骤
1.提岀原假设H0:
2.选择统计量K:
3.对于a査表找分位数入;
4.由样本值山,£,…,心计算统计量之值K:
将K与几进行比较,作出判
断:
当IKI>/1(或K>/1)时拒绝H0,否则认为接受H0。
两类错误
第一类
错误
当H0为真时,而样本值却落入了拒绝域,应当否泄H0.这时,我们把客观上H0成立判为H0为不成立(即否左了真实的假设),称这种错误为"弃真错误"或第一类错误,记Q为犯此类错误的概率,即:
P{拒绝HO|HO为真}=a:
第二类
错误
当H1为真时,而样本值却落入了接受域,按照我们规左的检验法则,应当接受H0。
这时,我们把客观上H0不成立判为H0成立(即接受了不真实的假设),称这种错误为“取伪错误”
或第二类错误,记0为犯此类错误的概率,即:
P{接受HO|H1为真}=0。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的槪率同时都很小。
但是,当容量n—泄时,a变小,则0变大;相反地,0变小,则a变大。
取泄Q要想使0变小,则必须增加样本容量。
时间:
2021.03.09
创作:
欧阳法
2•单正态总体均值和方差的假设检验
条件
原假设
检验统计量
统计量
分布
拒绝域
已知
丹0:
“=“0
c/y/n
N(0,l)
lzl>珂
乙
乩):
“n“o
ZV-Za
未知
7
Ho=
T_x_»q
5/Vn
/(”一1)
W>/呀(H-1)
H()•“—“°
H():
“n“o
未知“
H():
a2=a2
j("T)S,
z2(»-0
八仏欤—I)或才>力2("-1)
H"X—
q;
Z2>Za(«-D
Z2已知“
(少见)
H():
(j2=y2一->
*5)
或
才>力玄(“)
A-2
5
Z2>Za(»)
Z2时间^2021.03.09创作:
欧阳法