《牧羊人的希望》数学建模.docx

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《牧羊人的希望》数学建模

数学建模

牧羊人的希望

问题：

一个牧羊人拥有xm2的牧场,他满怀憧憬地做今后几年的计划，希望能获得满意的收获，他要考虑以下问题：

1）他应该饲养多少只羊？

2）夏季应存储多少干草用作冬季饲料？

3）为了繁殖，每年应该保留多大比例的母羊？

下面是低洼地的某一类草（多年生黑麦草）的近似平均生长率：

季节

冬季

春季

夏季

秋季

日生长率/g

0

3

7

4

一般母羊的生育期是5~8年,每年产一头,两头或三头.如果每只母羊仅喂养5年就出售,下面是一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：

年龄/年

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

生产羊羔/头

0

1.8

2.4

2.0

1.8

在一年里每头羊所需饲料的平均饲养量为：

日需草量/kg

羊羔

母羊

冬季

0

2.10

春季

1.00

2.40

夏季

1.65

1.15

秋季

0

1.35

问题分析：

这是个关于资源分配的优化问题即以固定的资源经过合理分配获得最大利润。

在本问题中，我们的目标是合理分配所拥有的牧场及草料养羊，合理分配养羊羔、母羊的数目和比例及草料存储使牧羊人在今后n年中获得的总利润最大。

而获得的利润受到养羊的成本、卖羊羔和母羊的数量、市场供求关系等因素的影响。

初步分析：

如果每年都获得当年的最大利润，则总利润必达到最大化。

现在考虑养殖达到的稳定状态即草料、场地等正好得到充分利用，则每年获得利润必达到最大，也是养殖追求最大利润的最理想状态。

而合理的配置所拥有的资源，可以提高牧场的产量，增加经济效益；保持年龄结构的稳定，则可以保持整个羊群数量的稳定。

于是我们下面就着手建立模型求解稳定状态的母羊、羊羔数目及比例和夏季的储草情况。

由于原型中有太多的影响因素，为了建立模型求解，必须要删繁从简，留主去次，综合考虑作出以下假设：

模型假设：

1.仅考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍、配合饲料、给水、饲养费用等其他养殖条件忽略不计。

2．设全部用于养殖的土地均为生长着多年生黑麦草的低洼地，牧场规模保持不变，不考虑天气等偶然因素对黑麦草生长的影响，且牧场对草的供应是持续可靠的，而不考虑种植问题。

经查资料得知相邻两株黑麦草的种植间距为15-25cm之间，取20cm计算知每平方米可种植36株黑麦草。

这里就考虑每平方米种植36株黑麦草。

3．除去冬季外均进行野外放牧，因天气不能野外放牧忽略不计，而冬季食用其他季节存储的干草作饲料。

牧羊人预先储备了适量干草Qkg，当春天的鲜草不够时，可以使用上一年剩余的干草。

4.鲜草与干草均具有相同的喂养效果。

经查资料，得知鲜草向干草的转化率为45%。

5.母羊仅在春天繁殖，且一年仅繁殖一次。

6.羊的售出仅在春季繁殖过后进行（即繁殖后立即决定售出情况，这样可保证羊的总数不变，且处理仍在春季），其他季节不售出。

7.假设稳定态的羊共N只，则春季考虑N只全为母羊的食草量，相邻两代的羊数量在繁殖售出前后的数量变化是连续的，即繁殖售出后i代羊数量为繁殖前i+1代的羊数量（因稳定状态要保持羊数目及比例不变，而在春季一只羊羔平均食草量小于一只母羊的平均食草量，由假设6有：

母羊繁殖后就处理母羊或小羊，因此这样假设就保证了春季草量的充足且由假设可知这样的假设和实际食草量可认为近似吻合）。

8.草的日生长量（g）是指每株草的日生长量。

9.该牧民尽量避免近亲繁殖，且只饲养母羊和母羊羔。

10.需要配种时，可以外配，配种成本忽略不计。

11.母羊所产羊羔的性别比，从概率角度一般认定为1：

1，根据假设9，公羊羔全部被卖出。

12.羊的成长无恙，即不考虑死亡等偶然因素。

13.0-1年的羊为羊羔,1-2,2-3,3-4,4-5年的羊分别为第一，二，三，四代母羊。

14.第一年只购买第一，第二，第三，第四代母羊，并且当年春季就能繁殖出羊羔（羊羔不能繁殖，买的母羊繁殖出的羊羔还要售出一部分，所以羊羔就可不用考虑购买，这样不仅省了一部分资金买母羊繁殖，还省了买的羊羔白吃的草料）。

15.第四代母羊在春季繁殖后直接就全部售出（因每只母羊仅喂养5年就出售，繁殖后就售出，这样就节省了第四代母羊从繁殖后到第二年春季的草料）。

16.羊市场稳定，且只关心羊的数量及年代，而不关心它们的重量，每只羊羔价格p元和每只母羊的价格q元都稳定，经查资料知p:

q近似为1:

3，这里认为比例就为1:

3，假定羊的价格仅有这两种。

17.羊的繁殖率按上述表格中的平均繁殖率，食草量及草的生长率亦按表格给出的平均率计算（由假设4的鲜草向干草的转化折扣以及夏季将有三分之二的鲜草剩余，经计算知仅将夏季的剩余鲜草晒制为干草是不够的，所以秋季的剩余草也要进行干化。

这也说明了从春季开始饲养的合理性）。

模型建立：

设开始牧羊人购买第一代、第二代、第三代、第四代母羊的数量分别为a1、a2、a3、a4头，为保证羊群的相对稳定，则春季售羊后相应的羊羔、第一代、第二代、第三代数量分别为a1、a2、a3、a4头，且有a1>=a2>=a3>=a4>=0，于是同年春季羊繁殖前及售后有以下关系：

母羊羔第一代第二代第三代第四代

繁殖前0a1a2a3a4

母羊羔第一代第二代第三代第四代

羊售后a1a2a3a40

每年售出羊羔：

1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4-a1=0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4

（注：

公羊羔全售出，保留a1头母羊羔）

第一代：

a1-a2

第二代：

a2-a3

第三代：

a3-a4

第四代：

a4

养羊数量:

N=a1+a2+a3+a4

目标函数：

收益Y=n[（0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4）p+a1q]

且满足：

Q+S春-T春>=0

w1=S夏-T夏>=0

w2=S秋-T秋>=0

Q=k（w1+w2）-T冬>=0

p:

q=1:

3

0.9a1+1.2a2+a3+0.9a4>=a1

a1>=a2>=a3>=a4>=0

其中:

S春=36*3x*0.001*90=9.72xkg春季鲜草产量

T春=2.4（a1+a2+a3+a4）*90kg春季所需草料

S夏=7*36x*0.001*90=22.68xkg夏季鲜草产量

T夏=[1.65a1+1.15（a2+a3+a4）]*90kg夏季所需草料

S秋=4*36x*0.001*90=12.96xkg秋季鲜草产量

T秋=1.35（a2+a3+a4）*90kg秋季所需草料

T冬=2.1（a2+a3+a4）*90kg冬季所需草料

w1为夏季剩余鲜草量，w2为秋季剩余鲜草量

p为每只羊羔的价格，q为每只母羊的价格

Q为牧羊人初始准备的干草量

n为牧羊人计划的年数，x为牧场面积

a1>=a2>=a3>=a4>=0，且均取整数

鲜草向干草的转化率k=0.45

化简整理得:

n年总收益：

Y=n[（0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4）p+a1q]

制约条件为：

25.758x-282.825a1-506.25（a2+a3+a4）>=0

w1=22.68x-148.5a1-103.5（a2+a3+a4）>=0

w2=12.96x-121.5（a2+a3+a4）>=0

16.038x-66.825a1-290.25（a2+a3+a4）>=0

0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4<=0

a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整数

各个量含义及其性质如上所述。

由此得到基本模型：

MAXY=n[（0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4）p+a1q]...........

（1）

s.t.

9.72x+Q-216（a1+a2+a3+a4）>=0.....................

（2）

22.68x-148.5a1-103.5（a2+a3+a4）>=0.............（3）

12.96x-121.5（a2+a3+a4）>=0.....................（4）

Q=16.038x-66.825a1-290.25（a2+a3+a4）>=0..........（5）

0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4-a0<=0....................（6）

a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整数............（7）

模型求解:

软件实现：

不妨取定x=10000平方米，n=10年，p=200元，q=600元

用LINDO6.1版本软件求解，在其窗口中打开一个新文件，直接输入：

max7600a1+4800a2+2000a3+3600a4

s.t.

1）282.825a1+506.25a2+506.25a3+506.25a4<=2575800

2）148.5a1+103.5a2+103.5a3+103.5a4<=226800

3）121.5a2+121.5a3+121.5a4<=129600

4）66.825a1-290.25a2-290.25a3-290.25a4<=160380

5）10a1-120a2-100a3-90a4<=0

6）a1-a2>=0

7）a2-a3>=0

8）a3-a4>=0

end

gin4

注：

最后一行“gin4”是“4个变量均为整数”的说明语句。

求解得到输出：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP47

OBJECTIVEVALUE=11547494.0

FIXALLVARS.

（2）WITHRC>0.000000E+00

SETA1TO<=1443AT1,BND=0.1155E+08TWIN=-0.1000E+3154

SETA2TO>=121AT2,BND=0.1155E+08TWIN=0.1152E+0857

SETA1TO<=1442AT3,BND=0.1155E+08TWIN=-0.1000E+3161

SETA2TO<=122AT4,BND=0.1154E+08TWIN=0.1155E+0864

NEWINTEGERSOLUTIONOF11544800.0ATBRANCH10PIVOT64

BOUNDONOPTIMUM:

0.1154749E+08

FLIPA2TO>=123AT4WITHBND=11546145.

SETA1TO<=1441AT5,BND=0.1155E+08TWIN=-0.1000E+3167

SETA1TO>=1441AT6,BND=0.1155E+08TWIN=-0.1000E+3167

SETA2TO<=123AT7,BND=0.1154E+08TWIN=-0.1000E+3168

DELETEA2ATLEVEL7

DELETEA1ATLEVEL6

DELETEA1ATLEVEL5

DELETEA2ATLEVEL4

DELETEA1ATLEVEL3

DELETEA2ATLEVEL2

DELETEA1ATLEVEL1

RELEASEFIXEDVARIABLES

ENUMERATIONCOMPLETE.BRANCHES=12PIV