高考新课标全国I卷文科数学试题及答案.docx
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高考新课标全国I卷文科数学试题及答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n
2,n∈A},则A∩B=().A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}
2.
12i
1i
2
=().
A.
1
1i
2B.
1
1+i
2C.
1
1+i
2D.
1
1i
2
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是().
1111
A.
2B.3C.4D.6
4.(,文4)已知双曲线C:
22
xy
22=1
(a>0,b>0)的离心率为
ab
5
2
,则C的渐近线方程为().
1
4
x
B.y=
1
3
x
C.y=
1
2
x
A.y=D.y=±x
5.(,文5)已知命题p:
?
x∈R,2
x<3x;命题q:
?
x∈R,x3=1-x
2,则下列命题中为真命题的是().
A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q
2
6.(,文6)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则().
3
A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an
7.(,文7)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于().
A.[-3,4]B.[-5,2]
C.[-4,3]D.[-2,5]
2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,8.(,文8)O为坐标原点,F为抛物线C:
y
则△POF的面积为().
A.2B.22C.23D.4
9.(,文9)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图像大致为().
10.(,文10)已
知锐角△ABC
2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=().
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos
A.10B.9C.8D.5
11.(,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().
A.16+8π
B.8+8π
C.16+16π
D.8+16π
12.(,文12)已知函数f(x)=
值范围是().
22,0,
xxx
ln(x1),x0.
若|f(x)|≥ax,则a的取
A.(-≦,0]B.(-≦,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
1
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.(,文13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=______.
1x3,
14.(,文14)设x,y满足约束条件
1xy0,
则z=2x-y的最大值为______.
15.(,文15)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为______.
16.(,文16)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(,文17)(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
1
aa
2n12n1
的前n项和.
2
18.(,文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用
A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:
h).试验的观测结果如
下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
19.(,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:
AB⊥A1C;
1C=6,求三棱柱ABC-A
(2)若AB=CB=2,A1B1C1的体积.
3
20.(,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=e
x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
21.(,文21)(本小题满分12分)已知圆M:
(x+1)
圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
4
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,
做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(,文22)(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
23(23)(10)44C.,文本小题满分分选修—:
坐标系与参数方程已知曲线
1的参数方程为
以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)C把
的参数方程化为极坐标方程;
1
(2)CC
求与交点的极坐标(0,02)
12
≥≤θ
<π.
ρ
x45cost,
y55sint
(t为参数),
5
24.(,文24)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈
a1
22
时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
6
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:
A
解析:
≧B={x|x=n
2,n∈A}={1,4,9,16},?
A∩B={1,4}.
2.
答案:
B
解析:
3.
12i12i12ii2i
2
1i2i22
=
1
1+i
2
.
答案:
B
解析:
由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求
的概率为
4.
1
3
.
答案:
C
解析:
≧
5
e,?
2
c
a
5
2
,即
2
c
2
a
5
4
.
≧c2=a2+b
2=a2+b
2,?
2
b
2
a
1
4
.?
b
a
1
2
.
≧双曲线的渐近线方程为
b
yx
a
,
?
渐近线方程为
5.
答案:
B
1
yx.故选C.
2
解析:
由2
0=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,≧h(0)=-1<0,h
(1)=1>0,
?
x
3-1+x2=0在(0,1)内有解.?
?
x∈R,x
3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有p∧q为真命题.故选B.6.
答案:
D
2
nn
1a
aqaaq
13
解析:
11
n
S
n
2
111
3
7.
答案:
A
解析:
当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3).
当1≤t≤3时,s=4t-t
2.
≧该函数的对称轴为t=2,
=3-2an,故选D.
?
该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.
?
smax=4,smin=3.?
s∈[3,4].
综上知s∈[-3,4].故选A.
8.
答案:
C
解析:
利用|PF|=x242,可得xP=32.
P
P=26.?
S
?
y△POF=
故选C.
1
2
P|=23.
|OF|·|y
9.
7
答案:
C
解析:
由f(x)=(1-cosx)sinx知其为奇函数.可排除B.当x∈
0,
π
2
时,f(x)>0,排除A.
当x∈(0,π)时,f′(x)=sin
2x+cosx(1-cosx)=-2cos2x+cosx+1.
令f′(x)=0,得
2
x.
π
3
故极值点为
10.
答案:
D
2
x,可排除D,故选C.
π
3
解析:
由23cos2A+cos2A=0,得cos2A=
2A+cos2A=0,得cos2A=
1
25
.
≧A∈
0,
π
2
,?
cosA=
1
5
.
≧cosA=
故选D.
11.
答案:
A
2
36b49
26b
,?
b=5或
13
b(舍).
5
解析:
该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V
V
1
半圆柱=π×2
2×4=8π,
2
长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为16+8π.故选A.
12.
答案:
D
解析:
可画出|f(x)|的图象如图所示.
当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;
当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立.
若x≤0,则以y=ax与y=|-x
2+2x|相切为界限,
由
yax,
2
yx2x,
得x2-(a+2)x=0.
2-(a+2)x=0.
≧Δ=(a+2)
2=0,?
a=-2.
?
a∈[-2,0].故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考
生根据要求做答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:
2
解析:
≧b·c=0,|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,?
a·b=11
?
b·c=[ta+(1-t)b]·b=0,
即ta·b+(1-t)b2=0.
2=0.
1
?
t+1-t=0.
2
?
t=2.
14.答案:
3
解析:
画出可行域如图所示.
11
22
.
画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大
值为z=2×3-3=3.
8
9
2
15.答案:
解析:
如图,
π
设球O的半径为R,
则AH=
2R
3
,
R
OH=.
3又≧π·EH
2=π,?
EH=1.
≧在Rt△OEH中,R2=
2=
R
3
2
2
+1
,?
R2=
2=
9
8
.
2=9π?
S球=4πR
.
2
25
16.答案:
5
解析:
≧f(x)=sinx-2cosx=5sin(x-φ),
其中sinφ=
25
5
,cosφ=
5
5
.
当x-φ=2kπ+
π
(k∈Z)时,f(x)取最大值.
2
即θ-φ=2kπ+
π
(k∈Z),θ=2kπ+
2
π
+φ(k∈Z).
2
?
cosθ=
cos
π
2
=-sinφ=
25
5
.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
解:
(1)设{an}的公差为d,则Sn=
n(n1)
nad.
1
2
由已知可得
3a3d0,
1
5a10d5,
1
解得a1=1,d=-1.
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由
(1)知
1
aa
2n12n1
=
1111
32n12n22n32n1
,
从而数列
1
aa
2n12n1
的前n项和为
1111111
211132n32n1
n
=.
12n
18.
解:
(1)设A药观测数据的平均数为x,B药观测数据的平均数为y.
由观测结果可得
x=
1
20
(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+
9
0.7
)
=2.3,
y=
1
20
(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+
3.3)
=1.6.
由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
7
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有
10
上,由此可看出A药的疗效更好.
19.
7
的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有
10
的叶集中在茎0,1
(1)证明:
取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA
1=60°,
故△AA1B为等边三角形,
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C?
平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解:
由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,
所以OC=OA
1=3.
2+2
1C=6,则A2=OCOA,
又A1C
1
故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C
1的高.
△ABC=3,故三棱柱ABC-A
又△ABC的面积S1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.
20.
解:
(1)f′(x)=e
x(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4.
故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.
(2)由
(1)知,f(x)=4e
x(x+1)-x2-4x,
x(x+2)-2x-4=4(x+2)·e1
x.f′(x)=4e
2令f′(x)=0得,x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-≦,-2)∪(-ln2,+≦)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-≦,-2),(-ln2,+≦)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.
-2
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e).
21.
解:
由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r
2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为
22
xy
43
=1
(x≠-2).
10
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,
所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)
2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=23.
若l的倾斜角不为90°,由r
可设l:
y=k(x+4).
1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则
|QP|R
|QM|r
1
,可求得Q(-4,0),所以
由l与圆M相切得
|3k|
1k
2
=1,解得k=
2
4
.
当k=
2
4
时,将
2
yx2
4
22
xy
43
=1
2+8x-8=0,解得x
1,2=
,并整理得7x
462
7
,
所以|AB|=
2
1k|x
2-x1|=
18
7
.
当k=
2
4
时,由图形的对称性可知|AB|=
18
7
.
18
综上,|AB|=23或|AB|=
.
7
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,
做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.
(1)证明:
连结DE,交BC
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