中考数学压轴题100题精选.docx
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中考数学压轴题100题精选
2020中考数学压轴题100题精选
【001]如图,已知抛物线ya(x1)23百(aw0)经过点A(2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM//AD.过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C,B在x轴正半轴上,连结BC.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?
直角梯形?
等腰梯形?
(3)若OCOB,动点P和动点Q分别从点。
和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t⑸,连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?
并求出最小值及此时PQ的长.
【002]如图16,在Rt^ABC中,/C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1
个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平
Q到达点B时停
分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BGCP于点E.点P、Q同时出发,当点止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)
(2)
当t=2时,AP=
,点Q到AC的距离是
(3)
(4)
在点P从C向A运动的过程中,求^APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)在点E从B向C运动的过程中,四边形为直角梯形?
若能,求t的值.若不能,当DE经过点C时,请直接写出t的值.
【003]如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D
(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作P已AB交AC于点E,①过点E作EF,AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值。
【004]如图,已知直线l1:
y
28-八
—x一与直线l2:
y
33
2x16相交于点C,卜l2分别交x
轴于A、B两点.矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l「L上,顶点F、G都在x轴上,且点G与点B重合.
(1)求z\ABC的面积;
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长;
(3)若矩形DEFG从原点出发,沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,
设移动时间为t(0wt012)秒,矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S,求S关
t的取值范围.
【005]如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F.AB4,BC6,/B60.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PMEF交BC于点M,过M作MN//AB交折线ADC于点N,连结PN,设EPx.
①当点N在线段AD上时(如图2),APMN的形状是否发生改变?
若不变,求出4PMN
的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使4PMN为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.
B
A
P
F
ND
C
A
D
E
图4(备用)
M
【006]如图13,二次函数yx2pxq(p0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交
5
于点C(0,-1),AABC的面积为-o
4
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与AABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?
若存在,求出
点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【007]如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(—3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度
向终点C匀速运动,设^PMB的面积为S(Sw0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的
函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)
MPB与/BCO互为余角,并求此时直线OP
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时,与直线AC所夹锐角的正切值.
(第26题图)
【008]如图所示,在直角梯形ABCD中,/ABC=90°,AD
BC,AB=BC,E是AB的中点,CE±BD。
(1)求证:
BE=AQ
(2)求证:
AC是线段ED的垂直平分线;
(3)ADBC是等腰三角形吗?
并说明理由。
k
【009】一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点M,N,与反比例函数y—的x
图象相交于点A,B.过点A分别作ACx轴,AEy轴,垂足分别为C,E;过点B分
另ij作BFx轴,BDy轴,垂足分别为F,D,AC与BD交于点K,连接CD.
k
(1)若点A,B在反比仞^函数y—的图象的同一分支上,如图1,试证明:
①S四边形AEDKS四边形CFBK;
②ANBM.
k
(2)右点AB分力1J在反比例函数y—的图象的不同分支上,如图2,则AN与BM还
相等吗?
试证明你的结论.
【010]如图,抛物线yax2bx3与x轴交于AB两点,与y轴交于C点,且经过点
(2,3a),对称轴是直线x1,顶点是M.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过C,M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点
P,A,C,N为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请
说明理由;
(3)设直线y
x3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),
经过A,B,E三点的圆交直线
BC于点F,试判断4AEF的形状,并说明理由;
(4)当E是直线yx3上任意一点时,
(3)中的结论是否成立?
(请直接写出结论)
【011】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EHBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中4BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF中点G,连接EGCG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中ABEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)
中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(均不要求证明)
第24题图②
第24题图③
【012]如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标
轴分别交于AB、C、D四点.抛物线yax2bxc与y轴交于点D,与直线yx交
于点M、N,且MA、NC分别与圆。
相切于点A和点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆。
于F,求EF的长.
(3)过点B作圆。
的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.
【013]如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与4OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,
请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得4DCA的面积最大,求出点D的坐标.
【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,点O在原点.现将正方形OABC绕。
点顺时针旋转,当A点第一次落在直线yx上时停止旋转,旋转过程中,AB边交直线yx于点M,BC边交x轴于点N(如图).
(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN和AC平行时,求正方形OABC旋转的度数;
(3)设MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中,p值是否有变化?
请证明你的结论.
【015】如图,二次函数的图象经过点D(0,773),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴
9
上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点巳使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;如
果不存在,请说明理由.
A(3,3).
m),求m的值和这个一次函
【016]如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6,
数的解析式;
(3)第
(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
E,使四边形OECD的面积S1与
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点
2
四边形OABD的面积S满足:
S1—S?
若存在,求点E的坐标;
3
若不存在,请说明理由.
【017]如图,已知抛物线yx2bxc经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将4OAB绕点A顺时针旋转90。
后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后
经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设
(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为Bi,顶点为Di,若点N在平移后的
抛物线上,且满足4NBB1的面积是4NDD1面积的2倍,求点N的坐标.
【018]如图,抛物线yax2bx4a经过A(1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且DBP45°,求点P的坐标.
【019]如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点。
恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH延长BC至M,使CM=|CF-E0|,再以CM、CO为边作矩形CMNO
⑴试比较EO、EC的大小,并说明理由
S四边形CFGH
(2)令m——0GH-,请问m是否为定值?
若是,请求出m的值;若不是,请说明理由
S四边形CNMN;
12
⑶在
(2)的条件下,若CO=1,CE=-,Q为AE上一点且QF=-,抛物线y=mx2+bx+c经
过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式.
(4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点巳试问在直线BC上是否存在点K,使彳#以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?
若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标*不存在,请说明理由。
【020】如图甲,在^ABC中,/ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题:
(1)如果AB=AC,/BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CFBD之间的位置关系为,数量关系为。
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果ABwAC,/BACw90°点D在线段BC上运动。
试探究:
当^ABC满足一个什么条件时,CF±BC(点C、F重合除外)?
画出相应图形,
并说明理由。
(画图不写作法)
(3)若AC=4j2,BC=3,在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于
点P,求线段CP长的最大值。
2020年中考数学压轴题100题精选答案
【001】解:
(1)Q抛物线ya(x1)23向a0)经过点A(2,0),
09a3,3a立
3
二次函数的解析式为:
y
322,38.3
—xx
333
过P作PE
OQ于E,则PE
(2)QD为抛物线的顶点
D(1,3&)过D作DNOB于N,则DN3J3,
AN3,ADJ32(3百)26DAO60。
4分
QOM//AD
①当ADOP时,四边形DAOP是平行四边形
OP6t6(s)5分
②当DPOM时,四边形DAOP是直角梯形
过O作OHAD于H,AO2,则AH1
(如果没求出DAO60°可由Rt^OHAsRtADNA求AH
OPDH5t5(s)6分③当PDOA时,四边形DAOP是等腰梯形
OPAD2AH624t4(s)
综上所述:
当t6、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.・7分
(3)由
(2)及已知,COB60°,OCOB,AOCB是等边三角形
则OBOCAD6,OPt,BQ2t,OQ62t(0t3)
1-13\3363-
Sbcpq
63、3(62t)——1=——t3
222228
363—
当t一时,Sbcpq的面积取小值为一近10分
28
33393.3
此时OQ3,OP=—,OE—QE3一—PE
24444
PQJPE2QE23^329^述
\442
【002]解:
(1)1,8;5
(2)作Q。
AC于点F,如图3,AQ=CP=t,,AP3t.
由△AQMAABC;
BC.5232
得更
4
6t.
5
(3)能.
①当DE//QB时,如图4.
4,
QBED是直角梯形.
1
2(3
11分
.DE,PQ,PQXQB,
此时/AQP=90°.
四边形
由^APQs'abc,彳导空”ACAB
即£3-t,解得t9.358
②如图5,当PQ//BC时,
DEXBC,四边形QBED是直角梯形.
此时/APQ=90°.
由^AQPs^abc,得AQ”ABAC'
即L3-t.解得t—.538
545
(4)t一或t—.214
【注:
①点P由C向A运动,DE经过点C.
方法一、连接QC,彳QG±BC于点G,如图6.
PCt,QC2QG2CG2[3(5t)]2[4-(5t)]2.55
oo一。
3c45
由PC2QC2,得t2[-(5t)]2[4-(5t)]2,解得t一.
552
方法二、由CQCPAQ,得QAC
QCA,进而可得
——-AQBQ-t-
BBCQ,得CQBQ,...2.2
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.
2324245
(6t)[-(5t)][4(5t)]t
55,14]
【003]解.
(1)点A的坐标为(4,8)
将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx
{
8=16a+4b
0=64a+8b
1
解得a=-2,b=4
1
,抛物线的解析式为:
y=-2x2+4x笳
(2)①在RtAAPE和Rt^ABC中,
PEBCPE4tanZPAE=AP=AB,gpAP=8
11
.•.PE=2AP=2t.PB=8-t.
1
.・•点E的坐标为(4+2t,8-t).
.••点G的纵坐标为:
EG=-
2(4+2t)
8t2+8-(8-t)=—8t2+t.
2+4(4+2t)=—8t2+8.
1
2.
•••-8<0,.♦.当t=4时,线段EG最长为②共有三个时刻.
16
t1=3,
40t2=13,
8.5
t3=
【004】
(1)解:
由
0,
得x
4-A点坐标为
由2x
16
0,得x
8.
B点坐标为
8,0..AB8
412.s八、
(2分)
2x
3
2x
3
16.解得
5,
6・・•.C点的坐标为5,6.(3分)
SAABC
1…
2AB•y。
12636.
(4分)
(2)解:
.・•点D在l1上且
Xdxb8,
yD
8二8_aa
3D点坐标为'•(5分)
又•••点E在l2上且yEyD8,2xE
16
8.
xE4・,e点坐标为4%(6分)
・•・OE844,EF8.(7分)
(3)解法一:
①当0Wt3时,如图1,矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR(t0时,为四边形CHFG).过C作CMAB于M,则RtzXRGBsRt/XCMB.
BG
BM
(图1)
RGtRG,-,CM即36RG
&ABC
SABRGSXAFH
2t.QRtAAFHsRtz\AMC,
11
36t2t8t
22
421644
S—t—t—.
即333(10分)
【005]
(1)如图1,过点E作EGBC于点G.1分
E为AB的中点,
1BE-AB2.
2
在RtAEBG中,/B60,../BEG30.
BG1BE1,EG.2212.3.
2
即点E到BC的距离为内3分
(2)①当点N在线段AD上运动时,4PMN的形状不发生改变.
••PMEF,EG
EF,PM//
EG.
.EF//BC,..EP
GM,PM
EG.3.
同理MNAB4.
如图2,过点P作PH
MN于H
-.-MN//AB,
../NMCZB60
PH
1PM3I
22
MH
PMgcos30
NH
则
MNMH
PN
在RtAPNH中,
NH^
2
PH2
APMN的周长=PM
PN
②当点
N在线段DC上运动时,
△PMN的形状发生改变,但^MNC恒为等边三角形.
当PMPN时,如图3,作PRMN于R,则MRNR.
3
MR类似①,2
MN2MR3.7分
AMNC是等边三角形,,MCMN3.
则/PMN120,又/MNC60,
・・•/PNM/MNC180.
因此点P与F重合,ApMC为直角三角形.
MCPMgtan301.
此时,xEPGM6114.
5,3
综上所述,当x2或4或v时,4PMN为等腰三角形.
【006]解:
(1)OC=1所以,q=-1,又由面积知0.5OCXAB=4,^ab=2,
设A(a,0),B(b,0)AB=ba=
5
.(ab)24ab=2
P=
2,但p<0,所以p=2。
所以解析式为:
2
x
(2)令y=0,解方程得
X1
1
2,x2
,所以A(2,0),B(2,0),在直角三
㊀
角形AOC中可求得AC=2,同样可求得bc=
而,显然AC2+BC2=AB2得△ABC是直角三角
m-
形。
AB为斜边,所以外接圆的直径为AB=2,所以44。
(3)存在,AC±BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的
解析式为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组y
23d
x-x1
2
2x4得D
5
(2,9)
②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,
把A(2,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组y
23
x-x1
253
0.5x0.25得d„
553
上,所以存在两点:
(2,9)或(22)。
【007】
设直线A
.⑴过点A柞AES轴垂足为E(如图1)
VAC-3,4).\AE=40E=3/.OA=\/AE?
+OE1=5
';四边形ABCO为菱形,OC=CB=BA=OA=5.&5期…
j直堆AC的解析式为
(2)由
(1)得M点坐标为(0,^-)
如图J,当P点在AB边上运动时由题意得0H3「HM吟「3=1即由心;(5-力),小jS=Vt+M(O(t号)••…24Z
当P点在BC边上运动时.记为P,
vrOCM=ZBCMCO=CBCM=CM
aAOMC^ABMCcm。
』二mhc勺r
2
.5.&/t-今(尹理5),,
•……1分
3
E
图I
2分
*7H
0)设OP与AC相交于点Q连接0B交AC于点Kv^AOC=4ABC/,^A0M=4ABM
\-ZMPB+^BCO=90°LBA0三上BCO上HAU+£AOH=90*tv
・.ZMPB=4AOH-乙MPB=£MBH
当P点在AB边上运动舟,如图2
/Z.MPR=ZMBH,PM=RM
..PH=HB=2PA=AH-PH=1
:
AE〃OC,乙PAQ1OCQ
“AQN乙CQO,△AQP-△CQO
在RiAAEC中二AQ卡在RiA01IB中
AC-Va^+EC1=\/43+Hr=4\/T
QC=wVT
OB=VHB!
+HO2=V2I+4r-2V 1分 I分 AQ_AP *'CQ~CO"5 」ACJ_OBOK=KRAK=CK朋2 .\0K=vTAK=KC=2VT/.QK=AK-AQ=4Y^"■加£Og翳号 当P点在BC边上运动时,如图3二NBHM=乙PBM=9(F .'.tanZ_MFH=lanZ.MBII BM
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