高中数学必修三统计概率大题.docx
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高中数学必修三统计概率大题
必修三统计概率
一.解答题(共26小题)
1.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2
2
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=
,
=
﹣
.
2.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组
频数
频率
[10,15)
10
0.25
[15,20)
24
n
[20,25)
m
p
[25,30)
2
0.05
合计
M
1
(Ⅰ)求出表中M,p及图中a的值;
(Ⅱ)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
3.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x:
y
1:
1
2:
1
3:
4
4:
5
4.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
学历
35岁以下
35~50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(Ⅰ)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为研究生的概率;
(Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为
,求x,y的值.
5.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别
是否需要志愿
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
P(k2>k)
0.0
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
(3)根据
(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中,需要志愿帮助的老年人的比例?
说明理由.附:
6.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],…,[80,90],[90,100]
(1)求频率分布图中a的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在[40,50]的概率.
7.某网站针对2014年中国好声音歌手A,B,C三人进行网上投票,结果如下:
观众年龄
支持A
支持B
支持C
20岁以下
200
400
800
20岁以上(含20岁)
100
100
400
(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取n人,其中有6人支持A,求n的值.
(2)在支持C的人中,用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体,从这6人中任意选取2人,求恰有1人在20岁以下的概率.
8.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组;第一组[13,14),第二组[14,15),…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
(2)设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m﹣n|>1”的概率.
9.某工厂生产的产品A的直径均位于区间[110,118]内(单位:
mm).若生产一件产品A的直径位于区间[110,112],[112,114],[114,116],[116,118]内该厂可获利分别为10,20,30,10(单位:
元),现从该厂生产的产品A中随机100件测量它们的直径,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求a的值,并估计该厂生产一件A产品的平均利润;
(Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样
本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.
10.某城市100户居民的月平均用电量(单位:
度),以[160,180),[180,200),[200,200),[220.240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220.240)的用户中应抽取多少户?
12.已知某校在一次考试中,5名学生的数学和地理成绩如表:
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
地理成绩y
70
66
68
64
62
(1)根据上表,利用最小二乘法,求出y关于x的线性回归方程
=
x+
(其中
=0.36);
(2)利用
(1)中的线性回归方程,试估计数学90分的同学的地理成绩(四舍五入到整数);
(3)若从五人中选2人参加数学竞赛,其中1、2号不同时参加的概率是多少?
13.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据:
天数t(天)
3
4
5
6
7
繁殖个数y(千个)
2.5
3
4
4.5
6
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用
(1)中的回归方程,预测t=8时,细菌繁殖个数.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
=
,
=
﹣
.
14.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;
(Ⅲ)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率?
15.20名学生某次数学考试成绩(单位:
分)的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;(Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.
16.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.
(1)求x和y的值;
(2)计算甲班7位学生成绩的方差s2;
(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.
17.某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组:
第1组[25,30),第2组[30,35),第3组[35,40),第4组[40,45),第5组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示.下表是年龄的频率分布表.
区间
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50]
人数
25
a
b
(1)求正整数a,b,N的值;
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?
(3)在
(2)的条件下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求恰有1人在第3组的概率.
18.某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民,根据这50位市民对两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:
(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
(Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
(Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
19.某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表:
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)
(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;
(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
20.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
(i)用所给编号列出所有可能的结果;
(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
21.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:
(单位:
人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(Ⅰ)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加一个社团的概率;
(Ⅱ)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
22.对一批共50件的某电器进行分类检测,其重量(克)统计如下:
质量段
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
件数
5
a
15
b
规定重量在82克及以下的为“A”型,重量在85克及以上的为“B”型,已知该批电器有“A“型2件
(Ⅰ)从该批电器中任选1件,求其为“B“型的概率;
(Ⅱ)从重量在[80,85)的5件电器中,任选2件,求其中恰有1件为“A”型的概率.
23.如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以a表示.
(Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求a的值;
(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;
(Ⅲ)当a=2时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率.
24.某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:
62738192958574645376
78869566977888827689
B地区:
73836251914653736482
93486581745654766579
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C:
“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求C的概率.
25.某小组共有A、B、C、D、E五位同学,他们的身高(单位:
米)以及体重指标(单位:
千克/米2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
26.某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.
(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数;
(Ⅲ)若从第1组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.
2015年11月17日必修三统计概率
参考答案与试题解析
一.解答题(共26小题)
1.(2014•黑龙江)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2
2
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=
,
=
﹣
.
【考点】线性回归方程.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与横标的平方和,代入公式求出b的值,再求出a的值,写出线性回归方程.
(Ⅱ)根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的t的值,预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入,这是一个估计值.
【解答】解:
(Ⅰ)由题意,
=
×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
=
×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
∴
=
=
=0.5,
=
﹣
=4.3﹣0.5×4=2.3.
∴y关于t的线性回归方程为
=0.5t+2.3;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入
=0.5t+2.3,得:
=0.5×9+2.3=6.8,
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
【点评】本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题.
2.(2014•高州市模拟)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组
频数
频率
[10,15)
10
0.25
[15,20)
24
n
[20,25)
m
p
[25,30)
2
0.05
合计
M
1
(Ⅰ)求出表中M,p及图中a的值;
(Ⅱ)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用;频率分布直方图.
【专题】计算题;图表型.
【分析】(I)根据频率,频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量,写出算式,求出式子中的字母的值.
(II)根据该校高三学生有240人,分组[10,15)内的频率是0.25,估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人.
(III)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人,设出在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,a4,在区间[25,30)内的人为b1,b2,列举出所有事件和满足条件的事件,得到概率.
【解答】解:
(Ⅰ)由分组[10,15)内的频数是10,频率是0.25知,
,
∴M=40.
∵频数之和为40,
∴10+24+m+2=40,m=4.
.
∵a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,
∴
(Ⅱ)因为该校高三学生有240人,分组[10,15)内的频率是0.25,
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人.
(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人,
设在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,a4,在区间[25,30)内的人为b1,b2.
则任选2人共有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)15种情况,
而两人都在[25,30)内只能是(b1,b2)一种,
∴所求概率为
.
【点评】本题考查频率分步直方图,考查用样本估计总体,考查等可能事件的概率,考查频率,频数和样本容量之间的关系,本题是一个基础题.
3.(2012•广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x:
y
1:
1
2:
1
3:
4
4:
5
【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;众数、中位数、平均数.
【专题】概率与统计.
【分析】
(1)由频率分布直方图的性质可10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到a的值;
(2)由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出结果即得;
(3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50,90)之外的人数.
【解答】解:
(1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005;
(2)这100名学生语文成绩的平均分为:
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分);
(3)数学成绩在[50,60)的人数为:
100×0.05=5,
数学成绩在[60,70)的人数为:
,
数学成绩在[70,80)的人数为:
,
数学成绩在[80,90)的人数为:
,
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:
100﹣5﹣20﹣40﹣25=10.
【点评】本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图的性质,且能根据所给的数据建立恰当的方程求解.
4.(2014•烟台三模)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
学历
35岁以下
35~50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(Ⅰ)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为研究生的概率;
(Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为
,求x,y的值.
【考点】分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式.
【专题】计算题.
【分析】(I)用分层抽样得到学历为本科的人数,后面的问题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从5个人中容易抽取2个,事件数可以列举出,满足条件的事件是至少有1人的学历为研究生,从列举出的事件中看出结果.
(II)根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,表示出年龄为50岁以上的概率,利用解方程思想解出x,y的值.
【解答】解:
(Ⅰ)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,
设抽取学历为本科的人数为m
∴
解得m=3
∴抽取了学历为研究生2人,学历为本科的3,分别记作S1、S2;B1、B2、B3
从中任取2人的所有基本事件共10个:
(S1,B1)、(S1,B2)、(S1,B3)、
(S2,B1)、(S2,B2)、(S2,B3)、(S1,S2)、(B1,B2)、(B2,B3)、(B1,B3)
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:
(S1,B1)、(S1,B2)、(S1,B3)、
(S2,B1)、(S2,B2)、(S2,B3)、(S1,S2)
∴从中任取1人,至少有1人的教育程度为研究生的概率为
(Ⅱ)解:
依题意得:
,
解得N=78
∴35~50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20
∴
,解得x=40,y=5
∴x=40
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- 高中数学 必修 三统 概率