实验二线性 非线性模型参数估计.docx

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实验二线性非线性模型参数估计

实验

（二）线性、非线性模型参数估计

一、双变量线性回归模型

【实验目的】

掌握双变量线性回归模型的参数估计及相关内容

【实验内容】

建立双变量线性回归模型，回归参数估计，散点图，残差图等。

【实验步骤】

以双变量回归模型为例。

第一步，画散点图

操作：

从ＥViews主窗口，点击Quick键，选择Graph功能，这时将弹出一个对话框，要求输入图画所用的变量名。

对于画散点图来说，应该输入两个变量。

这里因为要画x，y的散点图，所以输入x，y。

点击OK键，会得到对话框，从GraphType选项中选ScatterDiagram，然后按OK键，得到散点图。

如要改变x，y横纵轴的位置，改变x，y顺序即可。

第二步，显示回归结果

操作：

从ＥViews主窗口，点击Quick→点击EstimateEquation功能。

弹出一个对话框。

在Equation　Specification选择框中输入ycx或者y=c

（1）＋c

（2）*x。

在Estimate　Setting选择框中自动给出缺省选择LS估计法和样本区间。

点击OK键，即可得到回归结果。

然后name→save。

第三步，显示模型拟合图（残差图）

操作：

在回归模型估计结果显示窗口的命令行中，单击resids即可。

第四步，显示变量描述统计分析结果

操作：

左键双击打开序列组（Group）→View→Descriptivestatistic→Commonsample

第五步，预测

操作：

（1）打开工作文件（WorkFile），从主窗口→Procs→structure/ResizeCurrentPage→改变区间。

在打开的扩展范围选择框中分别输入预测区间。

（2）编辑变量X的数据（用鼠标右键激活），输入X的实际值。

（3）在回归模型估计结果显示窗口的命令行中，单击Forecast，打开预测窗口，预测结果变量的缺省选择为YF，选择静态预测，点击OK。

在工作文件窗口，就会显示YF。

第六步，作预测值曲线图

操作：

主窗口→Quick→Graph，打开作图对话框输入YFY，选择LineGraph，SingeScale。

第七步，作散点图和回归直线合二为一

操作：

打开工作文件窗口→打开序列组（只有两个序列）→从主窗口Quick→Graph→serieslist→OK→GraphOptions→Scatter（在Basicgraph中选Scatter）→Fitlines→Repressionline→确定

【案例】1985—2001年我国城镇居民人均消费和人均年收入数据

1985—2001年我国城镇居民人均消费和人均年收入数据表

年份

城镇居民平均每人全部年收入（元）（X）

城镇居民平均每人年消费（元）（Y）

1985

784.92

673.2

1986

909.96

798.96

1987

1012.2

884.4

1988

1192.12

1103.98

1989

1387.81

1210.95

1990

1522.79

1278.89

1991

1713.1

1453.81

1992

2031.53

1671.73

1993

2583.16

2110.81

1994

3502.31

2851.34

1995

4288.09

3537.57

1996

4844.78

3919.47

1997

5188.54

4185.64

1998

5458.34

4331.61

1999

5888.77

4615.91

2000

6316.81

4998

2001

6907.08

5309.01

数据来源：

《中国统计年鉴（2003）》，中国统计出版社，2003年出版。

（一）阐述理论

由经济理论知，可支配收入是影响或决定消费性支出的主要因素之一。

一般而言，当可支配收入增加时，消费性支出也随着增加，它们之间具有正向的同步变动趋势，反之，消费性支出减少。

当然，消费性支出除受可支配收入的影响之外，还受到其他一些因素的影响，在这里，将城镇居民平均每人年消费性支出作为被解释变量（Y），城镇居民平均每人全部收入作为解释变量（X）,其他变量及随机因素的影响均归并到随机变量u中，建立我国城镇居民年人均消费性支出Y和年人均可支配收入X之间的双变量线性回归模型。

（二）建立模型

设双变量总体线性回归模型:

Yi=β0+β1Xi+ui

其中，Yi——表示城镇居民人均年消费支出

β0、β1——表示待定系数

Xi——表示城镇居民人均年收入水平

ui——表示随机误差项

现给定样本观测值（Xi，Yi），i=1,2,…，17，n=17为样本容量。

则建立

样本回归模型:

Yi=

+

Xi+ei

其中，

、

分别为β0、β1的估计值，ei为残差项。

样本回归方程：

Ŷi=

+

Xi

其中，Ŷi表示样本观测值Yi的估计值。

（三）画散点图

确定了模型后，需要在直观上初步探明变量之间的相互关系，为此，以人均年收入为横轴，以人均年消费支出为纵轴，描出样本变量观测值的散点分布图。

如下图所示：

根据上图散点分布情况可以看出，在1985～2001年期间，我国城镇居民人均年消费和可支配收入之间存在较为明显的线性关系。

（四）显示估计结果

利用Eviews的最小二乘法程序，输出的结果如下：

DependentVariable:

Y

Method:

LeastSquares

Date:

05/16/05Time:

15:

14

Sample:

19852001

Includedobservations:

17

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

132.0125

26.16166

5.046027

0.0001

X

0.768761

0.006755

113.8070

0.0000

R-squared

0.998843

Meandependentvar

2643.252

AdjustedR-squared

0.998766

S.D.dependentvar

1649.704

S.E.ofregression

57.94896

Akaikeinfocriterion

11.06713

Sumsquaredresid

50371.23

Schwarzcriterion

11.16516

Loglikelihood

-92.07063

F-statistic

12952.03

Durbin-Watsonstat

1.025082

Prob（F-statistic）

0.000000

（五）显示模型拟合图（残差图）

（六）模型检验

（1）可决系数检验

R2=1-ESS/TSS=0.9988

说明总离差平方和的99.88%被样本回归直线解释，仅有0.12%未被解释,因此,样本回归直线对样本点的拟合优度很高。

也即用人均年收入解释消费性支出变化效果很好。

（2）回归系数显著性检验（t检验）

提出原假设H0:

β1=0

备择假设H1:

β1≠0

取显著性水平α=0.05,在自由度为v=17-2=15下，查t分布表，得：

t0.025（15）=2.13,

t1=

/

=113.81>2.13

故回归系数显著不为零，表明城镇居民人均年收入对人均消费性支出有显著影响。

（七）回归分析表达式

Ŷi=132.0125+0.768761Xi

t=（5.046027）（113.8070）

SE=（26.16166）（0.006755）

R2=0.998843

=0.998726F=12952.03n=17DW=1.025082

（八）显示变量描述统计分析结果

X

Y

Mean

3266.606

2643.252

Median

2583.160

2110.810

Maximum

6907.080

5309.010

Minimum

784.9200

673.2000

Std.Dev.

2144.684

1649.704

Skewness

0.330760

0.283043

Kurtosis

1.558998

1.487678

Jarque-Bera

1.780816

1.847030

Probability

0.410488

0.397121

Observations

17

17

（九）回归预测

点估计。

假定预测出2002年、2003年的平均每人年收入分别为X2002=6932.91元，X2003=7334.37元。

预测Ŷ2002,Ŷ2003的值。

将X2002=6932.91，X2003=7334.37代入估计的回归方程的点估计值

Ŷ2002=132.0125+0.768761*6932.91=5461.76（元）

Ŷ2003=132.0125+0.768761*7334.37=5770.389（元）

（十）作预测值曲线图

从图中可以看出，在样本区间内，城镇居民平均每人年消费性支出样本值及其估计值非常接近，2002年、2003年预测值的变化趋势也符合样本区间的变化趋势，说明以上建立的先行回归模型无论是结构分析、统计检验，还是预测效果，都是比较好的。

（十一）作散点图和回归直线合二为一

二、多变量线性回归模型

【实验目的】

掌握多变量线性回归模型的参数估计及相关内容

【实验内容】

建立多变量线性回归模型，回归参数估计。

【案例】

ＥViews操作步骤：

从ＥViews主窗口，点击Quick→点击EstimateEquation功能。

弹出一个对话框。

在Equation　Specification选择框中输入ycx1x2或者y=c

（1）＋c

（2）*x1+c（3）*x2。

在EstimateSetting选择框中自动给出缺省选择LS估计法和样本区间。

点击OK键，即可得到回归结果。

然后name→save。

多于三个变量的回归模型的操作与三变量回归模型的操作类似。

1980-1995年美国抵押贷款、个人收入和抵押贷款费用数据表

年份

抵押贷款（Y）

（亿美元）

个人收入（X1）

（亿美元）

抵押贷款费用（X2）

（亿美元）

1980

1365.5

2285.7

12.66

1981

1465.5

2560.4

14.7

1982

1539.3

2718.7

15.14

1983

1728.2

2891.7

12.57

1984

1958.7

3205.5

12.38

1985

2228.3

3439.6

11.55

1986

2539.9

3647.5

10.17

1987

2897.6

3877.3

9.31

1988

3197.3

4172.8

9.19

1989

3501.7

4489.3

10.13

1990

3723.4

4791.6

10.05

1991

3880.9

4968.5

9.32

1992

4011.1

5264.2

8.24

1993

4185.7

5480.3

7.2

1994

4389.7

5753.1

7.49

1995

4622

6115.1

7.89

资料来源：

[美]达莫达尔·E·古亚拉提著，《经济计量学精要》，机械工业出版社，2000年7月第1版，第132页表7-1。

（一）阐述理论：

由经济理论和对实际情况的分析可知，抵押贷款Y受个人收入X1和抵押贷款费用X2变化的影响。

当个人收入增加时，抵押贷款也随着增加，它们之间具有正向的同步变动趋势。

而抵押贷款费用对抵押贷款总额的影响总体上具有反向的变动趋势。

除了这两个因素，抵押贷款还受到其他一些变量的影响及随机因素的影响，将其他变量及随机因素的影响均归并到随机变量µ中，由表二数据，建立美国年抵押贷款Y和个人收入X1，抵押贷款费用X2之间的三变量线性回归模型。

（二）设定模型

设三变量总体线性回归模型：

Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ui

其中，Yi——表示抵押贷款数额

X1i——表示个人收入

X2i——表示抵押贷款费用

β0、β1、β2——表示待定系数

ui——表示随机误差项

现给定样本观测值（Yi，X1i，X2i），i=1,2,…，16，16为样本容量。

建立样本回归模型:

Yi=

+

X1i+

X2i+ei

其中，

、

、

分别为β0、β1、β2的估计值，ei为残差项。

样本回归方程：

Ŷi=

+

X1i+

X2i

其中，Ŷi表示样本观测值Yi的估计值。

（三）显示估计结果

利用Eviews的最小二乘法程序，输出的结果如下：

DependentVariable:

Y

Method:

LeastSquares

Date:

05/18/05Time:

11:

34

Sample:

19801995

Includedobservations:

16

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

157.0460

576.9882

0.272182

0.7898

X2

0.825737

0.063401

13.02405

0.0000

X3

-56.53270

31.39038

-1.800956

0.0949

R-squared

0.989453

Meandependentvar

2952.175

AdjustedR-squared

0.987830

S.D.dependentvar

1132.051

S.E.ofregression

124.8840

Akaikeinfocriterion

12.66001

Sumsquaredresid

202748.2

Schwarzcriterion

12.80487

Loglikelihood

-98.28007

F-statistic

609.7820

Durbin-Watsonstat

0.402460

Prob（F-statistic）

0.000000

（四）说明回归系数的含义

=0.83，符号为正，表示在其他条件不变的情况下，美国全年的人均抵押贷款随着个人收入的增加而增加，即个人年收入每增加1亿美元，美国全年的人均抵押贷款约增加0.83亿美元。

因此，该回归系数的符号、大小都与经济理论和人们的期望值相符合。

=-56.53，符号为负，表示在其他条件不变的情况下，美国全年的人均抵押贷款随着抵押贷款费用的增加而减少。

抵押贷款费用每增加1亿美元，年人均贷款约减少56.53亿美元。

虽然美国在1980～1995年间，抵押贷款费用经历了由高到底，又由低到高，再有高到底的剧烈变化，但平均而言，费用呈下降趋势。

所以，该回归系数的符号和大小也与经济理论和人们的期望值相一致。

（五）模型检验

1．可决系数检验

R2=1-ESS/TSS=0.9895

说明总离差平方和的98.95%被样本回归直线解释，仅有1.05%未被解释,因此,样本回归直线对样本点的拟合优度是很高的。

2．F检验

提出检验的原假设H0:

β1=β2=0

备择假设H1:

至少有一个βi不等于零（i=1,2）

给定显著性水平α=0.05,在分子自由度为2，分母自由度为13下，查F分布表，得F0.05（2,13）=3.81

因为F=609.78>>3.81，备择假设为真，接受H1，说明总体回归方程是显著的，即美国的年抵押贷款与每年的个人收入水平和抵押贷款费用之间存在显著的线性关系。

3．回归系数显著性检验（t检验）

（1）检验系数β1

提出检验的原假设为H0:

β1=0

备择假设为H1:

β1≠0

给定显著性水平α=0.05,在自由度v=16-2-1=13下，查t分布表得t0.025（13）=2.16

因β1的t-Statistic=13.02405，t1=13.02>2.16,所以否定H0，接受H1，β1显著不等于零，即可以认为美国的年个人收入对年抵押贷款有显著的影响。

（2）检验系数β2

为此建立假设H0:

β2=0

备择假设为H1:

β2<0

从t分布表可知，在5%的显著性水平下,单边t临界值为1.77

而回归结果中，β2的t值的绝对值为1.8，即|t2|〉t0.05（13）

所以，能够拒绝零假设，接受备择假设H1，即可以认为美国的抵押贷款费用对年抵押贷款的支出有显著的影响。

（六）回归分析表达式

Ŷi=157.0460+0.825737X1i-56.53270X2i

t=（0.272182）（13.02405）（-1.800956）

SE=（576.9882）（0.063401）（31.39038）

R2=0.989453

=0.987830F=609.7820n=16DW=0.402460

（七）回归预测

假定1996年个人收入为6534.2亿美元，抵押费用为8.12亿美元,预测抵押贷款额

将X1=6534.2，X2=8.12代入估计的回归方程的点估计值

Ŷ1996=157.0460+0.825737*6534.2-56.53270*8.12=5093.531181≈5093.53

三、可以线性化的非线性模型参数估计

【实验目的】

掌握双对数线性回归模型、三对数线性回归模型、单对数线性回归模型和非线性回归模型的参数估计及相关内容

【实验内容】

建立双对数线性回归模型，回归参数估计，散点图，残差图等。

三对数线性回归模型、单对数线性回归模型。

【实验步骤】

以双对数回归模型为例。

建立工作文件后，要对原序列进行对数变换，经过对数变换后的数据就可以进行最小二乘估计了。

基本操作：

从ＥViews主窗口，点击Quick→点击EstimateEquation功能。

弹出一个对话框。

在EquationSpecification选择框中输入LnycLnx或者Lny=c

（1）＋c

（2）*Lnx。

在EstimateSetting选择框中自动给出缺省选择LS估计法和样本区间。

点击OK键，即可得到回归结果。

然后name→save。

【案例】某商品需求量与价格情况

某商品需求量表

需求量（Y）

价格（X）

㏑Y

㏑X

49

1

3.8918

0.0000

55

2

3.8067

0.6931

44

3

3.7842

1.0986

39

4

3.6636

1.3863

38

5

3.6376

1.6094

37

6

3.6109

1.7918

34

7

3.5264

1.9459

33

8

3.4965

2.0794

30

9

3.4012

2.1972

29

10

3.3672

2.3026

资料来源：

[美]达莫达尔·E·古亚拉提著，《经济计量学精要》，机械工业出版社，2000年7月第1版，第155页。

（一）理论阐述

由经济理论知，商品的需求量受商品价格的影响。

一般而言，当价格上升时，商品的需求量会随之下降，而价格下降时，商品的需求量会上升。

它们之间具有反向的变动趋势。

商品的需求量除受价格的影响之外，还要受到其他一些变量的影响及随机因素的影响，在这里，把其他变量及随机因素的影响均归并到随机变量u中，建立某商品的需求量Y和价格X之间的双变量总体线性回归模型：

Yi=β0+β1Xi+ui，其中，Yi表示某商品的需求量，Xi表示某商品的价格，β0、β1为待定系数，ui表示随机误差项。

（二）画X、Y散点图

确定了模型后，需要在直观上初步探明变量之间的相互关系，为此，以此商品的价格为横轴，以商品的需求量为纵轴，描出样本变量观测值的散点分布图。

如下图所示：

根据上图散点分布情况可以看出，此商品的需求量和此商品的价格之间存在较为明显的线性关系。

（三）用OLS法作X、Y的回归模型

利用Eviews的最小二乘法程序，输出的结果如下：

DependentVariable:

Y

Method:

LeastSquares

Date:

06/01/05Time:

10:

06

Sample:

19011910

Includedobservations:

10

Variable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

53.00000

2.128593

24.89907

0.0000

X

-2.581818

0.343054

-7.525985

0.0001

R-squared

0.876238

Meandependentvar

38.80000

AdjustedR-squared

0.860768

S.D.dependentvar

8.350649

S.E.ofregression

3.115941

Akaikeinfocriterion

5.287796

Sumsquaredresid

77.67273

Schwarzcriterion

5.348313

Loglikelihood

-24.43898

F-statistic

56.64045

Durbin-Watsonstat

2.069186

Prob（F-statistic）

0.000068

（四）解释系数的含义

=-2.58，符号为负，表示需求量随商品价格的变化量呈反向变化。

即价格每增加一单位，商品的需求量就减少2.58单位，或者说，价格每减少一个单位，商品的需求量就增加近2.58个单位。

该回归系数的符号和大小与经济理论和人们的期望值相一致。

（五）画LnY、LnX散点图

以此LnX为横轴，以LnY为纵轴，描出样本变量观测值的散点分布图。

如下图所示：

根据上图散点分布情况可以看出，此商品的需求量的弹性和价格的弹性之间存在较为明显的线性关系。

（六）用OLS法作LnY、LnX的回归模型

建立模型：

logYi=β0+β1logXi+Ui

利用Eviews的最小二乘法程序，输出的结果如下：

DependentVariable:

LNY

Method:

LeastSquares

Date:

06/01/05Time:

10:

09

Sample:

19011910

Includedobservations:

10

ariable

Coefficient

Std.Error

t-Statistic

Prob.

C

3.961720

0.041604

95.22521

0.0000

LNX