求点到平面距离的基本方法.docx
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求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法
北京农大附中闫小川
求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题,是高考的一个热点,也
是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨,概括出
求点到平面的距离的几种基本方法•
例(2005年福建高考题)如图1,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD
是边长为2的正方形,AE二EB,F为CE上的点,且BF_平面ACE.
(】求证:
AE_平面BCE;
⑴求二面角B-AC-E的大小;
(E)求点D到平面ACE的距离.
C
B
(]、(5)解略,(川)解如下:
一、直接法
利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离.如图
2,A一:
,】」壽,「--l,AM—I,则AM」二.AM为点A到平面〉的距离.
解:
如图3,过点A作AG空EC,连结DG,CG,则平面ADG//平面BCE,
•••平面BCE_平面ACE,
•••平面ADG_平面ACE,
作DH_AG,垂足为H,贝UDH_平面ACE.
•••DH是点D到平面ACE的距离.
在RtADG中,DH
ADDG_22_23
AG,63
C
B
、平行线法
如图4,AI,I/■,B为I上任意一点,AM_:
BN_:
则AM二BN.点A
到平面〉的距离转化为平行于平面:
的直线I到平面〉的距离,再转化为直线I上任意一点B到平面〉的距离•
图4
解:
如图5,过点D作DM_AE,连结CM,则DM//平面ACE,
点D到平面ACE的距离转化为直线DM到平面ACE的距离,再转化为点M到平面ACE的距离.
作MN_CE,垂足为N,
•••平面CEM—平面ACE,
•••MN_平面ACE,
•••MN是点M到平面ACE的距离.
在RtCEM中,
CE
E
三、斜线法
利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离.如图6、
宀ao
BO
7,I:
=0,A,B丨,AM_:
BN_:
,若t,则AM=tBN.点A到平面:
的距离转化为求直线I上的点B到平面〉的距离.
图6图7
解:
如图8,BD与AC的交点为Q,即BD平面ACE=Q,
••QQ=BQ,
•••点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等•
•••平面BCE_平面ACE,BF_平面ACE,
•••BF是点B到平面ACE的距离.
在RtBCE中,BF」CBE2223
四、线面角法
如图9,OP为平面〉的一条斜线,AOP,OA=I,OP与〉所成的角为二,
A到平面〉的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知,有d=Isinx
经过OP与〉垂直的平面与〉相交,交线与OP所成的锐角就是OP与〉所成的角二,这里并不强求要作出A在〉上的射影B,连结OB得二.
p
解:
如图10,:
BF_平面ACE,
•••平面BDF—平面ACE,
■BQF为DQ与平面ACE所成的角为二,则点D到平面ACE的距离
•••D到平面ACE的距离di26=乙卫.
33
B
图10
五、二面角法
如图11,:
■=1,、所成二面角的大小为^,A:
A^l,AB二a,
点A到平面〉的距离AO=d,则有d=asin二门也就是二面角的大小,而不强求作出经过AB的二面角的平面角.
解:
如图12平面ACD平面ACE二AC,DQ平面ACD,DQ_AC,设二面角D-AC-E的大小为二,则点D到平面ACE的距离6=DQsin一
由⑴知二面角-AC-E的正弦值为于,得曲冷
•••D到平面ACE的距离—2f=兮.
B
六、体积法
解:
如图13,过点E作EO—AB交AB于点0,0E=1.
•••二面角D-AB-E为直二面角,
•••E0丄平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h,'VDMCE=VE4CD,
11
Saceh=—SACDEO.
33
■■AE—平面BCE,
•••AE_EC.
11
ADDCEO221
5=22兰
1i__3
-AEEC—、26
22
•点D到平面ACE的距离为.
3
B
七、向量法
解:
如图14,以线段AB的中点为原点O,0E所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
;AE_平面BCE,BE平面BCE,
•••AE_BE,
在RtAEB中,AB=2,0为AB的中点,
•••OE=1,
•••A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).
AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),则込!
“a即;x+yF
[ACn=0,Zy+2z=°.
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