缩放秒杀椭圆.docx
- 文档编号:24381627
- 上传时间:2023-05-26
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:384.59KB
缩放秒杀椭圆.docx
《缩放秒杀椭圆.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《缩放秒杀椭圆.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
缩放秒杀椭圆
缩放变换:
缩放的意思为:
缩小和放大都自如。
在欧儿里德几何中,均匀缩放是放大或缩小物体的线性变换;缩放因子任所有方向上都是一样的;它也叫做位似变换。
均匀缩放的结果相似(在几何意义上)于原始的物体。
更一般的是在每个坐标轴方向上的冇单独缩放因子的缩放;特殊情况是方向缩放(在一个方向上)。
形状可能变化,比如矩形可能变成不同形状的矩形,还可能变成平行四边形(保持在平行于柚的线之间的用度,但不保持所有的向度)。
缩放的d生质:
以x轴拉伸(压缩)kM咅,y轴拉伸(压缩借为例缩放后坐标系内坐标、斜率等以相应比例变化坐标x=xVki,y=y7k:
t(x\y*)=(kix,by)方程f(x,y尸0,Rx^/ki,Wk)=0斜率k-Ay7Ax-k>Ay/kiAx=k?
k/k面积S'NxfkikWx^ykkS
长度r"(lTe22xJ\:
(l+(kkkJ*k4x=T(k"k]k)心+k、)W
I•椭圆(椭圆是圆经过拉伸或压缩之后得到的图形)椭圆与圆的方程极其相似,C:
x7a2+y3/b?
=l,将y替换为ay'/b可化为圆C*:
x*+y~『利用圆的特殊陛质解题然后回归原坐标系即可
一、切线
对于椭圆的切线,常规做法是设宜线方程,X关立,判别式,而离手通常会克接爲出切线式.但也免不了代入求解的过袒相比千椭圆的切线更容易求出,即圏心到直线距离恰为半径。
因此,求椭圆切线时可先缩放成虬用点到直线距离公式求
解•然后凹归原坐标系即可•
1.椭圆C:
x:
/8+y72=i与斜率k=l/2的直线1相切,则切点的坐标为•
解:
将x轴压缩为原来的1/2,即x=2x\斜率变为kf=2k=l,椭圆化圆C:
x,2+y*-=2显然r与c相切于点(・i,1)或([,-1)则原坐标系中I与C相切于点(-2,I)或(2,-I)
2椭圈C:
x?
4-/3=i上的点到立线I:
x-2y-l=0距离的取值范国为解:
椭80C与1相交,最小距离为0
最大距离即为椭圓C与I平彳亍的切线与1之间的距痴役切线L:
x-2y-b=0.与1距离为d
缩放y=v3y72,C1:
x、yNF:
x^3y・b二0
C*与If相切.r=!
W2=2.b==4平行线间距离d=|b-l/<5=<5或3<5/5则点到直俎巨离的取位范国为O呵
3.过定点(4,0)的直线I与椭圆C:
x2/4±y:
=i有公共点,则立线1的斜率k的取值范囲为—.
解:
设I:
my=x・4(即使给出斜率k.也要设反斜率m.过x轴上定A.还是使用m相对较快)缩放x=2x*,C:
x,:
+y,2=l,r:
my,=2x,-4d=4/V(4+nr)
2,ke[-\3/6,^3/6]解: 结合图象.只需求出k的临界值,即切线斜•率 缩放y=yV2,k'=2k,C: x,2+y,2=4 (横向或是纵向缩放随急对于X轴上定 缩放纵坐标计算量相对较小) 勾股定理及相似(或三角函数河求kW03k=k72=±\3/6,kW[・\(3/6,\3/6] 4•已知直线I: cos0x+sinOy=2与椭圆C: x2+3y2=6有公共点,则0的取值范国为_. 解: 缩放x=\3x\V: 、3cos0xqsin0y=2,C: x,? +y,2=2d=2/7(3cos'B+sin®wP2.即cos: 0>l/2故0G卜衣4+kzr,力4+k? i](kGZ) 注: 对于椭圆的切线问題,还可以利用柯西不等式求解,计算量与缩放变换差不多。 2•解: 16=(x: /4+y73)(4+12)>(x-2yf=b2 -46W4时有交点,b=±4时相切 3•解: mM=(x74-y: )(4-m2)>(x-my)2=16,m312时有交点4•解: 6cos'O^2sinJ0=(x: +3y: )(cos"O+sin: O/3) =(cos6x+sin0y)2=4,cos柜1/2时有交点 二、弦 对于椭圆的弦的问题•常规做法是设直线方程联立,利用韦达定理设求出弦长。 而圆中的弦只需点到直线距离公式结合勾股定理即可求出。 因此.求椭圆的孩时.可先缩放成亂在圓中求解,然后回归原坐标系即可。 題目中往往并未要求解出弦长,而是求两段长度的比值。 在同一直线或平行线上的线段.放缩祈后比位不变。 缩放成風利用圖的特殊注质求解,可减少计再量。 5•已知A、B分别是椭圆C: x2/4-y2=1的上顶点和右顶点.直线1: y=kx交椭圆于E.F两点,交线段于点D,若|DE|=6|DF|,P! 'Jk=・ 解: 缩放x=2心(? : 亡+护=1,1*: y^kx* |DE1=6|DF|,|OD|=(6/7-l/2)|DF|=5/7 作DP丄x轴于点P,设|0P冋则|AP|=|DP|=l・t 而|OP|! +|DP|? =OD|\即r+(l-ty=(5/7)2 解得t=3/7或4/7,2k=|DP|/|OP=(1-t)/t=3/4或4/3k=3/8或2/3 6•已知幼点P与双曲线心2・・产3=1的两个隹.点F).F、的距离之和为定值2a(a>V5).且cosZ.EPF: 的最小值是川9・⑴求动点P的轨迹方程. (2)若过定点0(0,3)的宜线交点P的紈迹干M.N两点,且DM|=k|DN|.求实软k的取值范国. 解: ⑴珊・也0),F: (<5,0),|F.F: |=2\5 设PFipa-i,|PF】Fa・【 cos乙FPF: =[(aft): >(a-t): -20]/[2(a+t)(a-t)]=2(a<5)(a: -t: ).1>I-10/a2=-1/9当且仅当1=0,即|PFiHPF: |=aHt,等号成主尸3,C: 込9一『牛1 (2)端啟x=3x92.C: x^+yM 上顶AA(0,2),下顶点B(0.-2) 曲双创线定理得DM|DN-AD|BD-5 CADMs^iDB可证)k-DM/jDN|=5/DNf.1 rDN|.k? l综上,ke[l^l)U(l.5) 7.过定A(0,I)的宜线I被椭闻C: x74-y: =l裁得的弦长的最大值为解: 设I: y=kx+l.缩放x=2x\C*: x沖F: y'=2kx*l 设1交椭圆于A(l.0).B.作OP丄1于点P d=l/\,(4k;+l).L,=2Ml-d)=4\'[k7(4k--l)] L=L*x2V[(k? +iy(4k^1)]=8Mtk-(k2-f1X(4k2+1)] =2v[12k? (4k;+4y3(4k+l)曲3/3 当且仅当12k;=4kM.即k=±«2/2时.等号成立 8•过定点P(・G0)的直线I交椭圆C: x沁*2=1于M,N两点,若|PMF3|PN|.则直线I的方程为—. 解: 设1: my=x+V3,缩放y=V3y73,C: x,2+yr2=6,V: myf‘3x93作OQ丄1干AQ.|OQ|=3A»(tn-4-3).|QM|=2|QN即|OM|: -|OQ|^4(|OP|'-|OQp)t6-9/(nr+3)=4[3-9/(nr+3)]in=±\'6/2・1: y=±W6x/3+l2) 三、斜率 缩放后斜率比值不变,因此原坐标系内平行线缩放后依旧平行。 原坐标系内斜率积表示两直线垂直,在椭圆内斜率积疔/『的两直线经缩放成圆后垂直,存在一些特殊[•生质。 9.已知A、B是椭圆C: x7a-+y7b'=l(a>b>0)长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM、BN的斜率分别为ki、k: 且kk#O,若Ik.l+IM的最M直为1,贝U椭圆的离心率为—• 解: 缩放y=by'/a,C: x'2+y,2=a2 k? —kuM,ki,kBM=kik2xa*/b2=-1 kk二bVa',|ki|+|k』N2V|kk|=2b/a=l 10•过椭圆C: x74+y2=l内一点P(l,・1/2M乍两条直线AB、CD,分别交椭圆于A、B、C、D四点,若AC//BD,则直线AC的斜率为—. 解: 缩放y=y72,C1: P,(l,-1) A'C/B'D',由平面几何纟讯只可知,OP丄A'C'k.vt—l/kop-=1,kAc=k.vc/2=1/2 四.定值定点 •直线I交椭圆c: x2/a2+y2/b: =I于A、B两点,AB中点为P,则AB与OP的斜率之积为-b7a\ 证明: 缩放y=byVa,OP丄AB k(ipk・I,kopk.xB=-b'/afc 注: 点差法也可证明 11•过点P(22)的直线1交椭圆C: x'/4+/=l于A、B,若线段AB中点Q的横坐标为I•则直线丨的方程为_・ 解: 设直线1: m(y-2尸x+2・則Q(l,・nV4) m(-m/4-2)=l+2Fm=-2或・6(舍去),1: x+2y+2=O •过椭圆C: x7a2+y2/b;=l上一点P作斜率互补的两条直线交椭圆于A、B两点,则AB与OP的斜率之积为b7a20 证明: 缩放y=by7a,作PQ丄x轴交C于Q'连接OQ;X'轴垂直平分PQ,k“二®PQ平分弧AB,OQ丄AB,koQkvB-=-lkork¥B=19kwkAB=b 12.过椭圆C: x74+y73=l上一点P(l,3⑵作斜率互补的两条直线交椭圆于A、B两点,则AB的斜率为—• 解: 3k/2=3/4,k=l/2 •过原点0作互相垂直的两条射线交椭圆C: x'/a'+y河=1于A.B两点,l/|OA|2+l/]OB|-=l/a-+l/b\ 证明: 设0A斜率为k,缩放y=by7a,连NA交x轴干C则|OC|=|OA|N(1十疋尸QA啊(l+a'k7b‘),OA|=aUp|0A|W(l+k: y(l+a'k7b\同理|OB|W(1+k: )/(k: +a7b: )l/|OAf+”|OBf=l/a*l加 13•直线1交椭圆C: x2/4+y2=l于A、B两点,若OA±OB,求,|OA||OB|的最小值. 解: l/|OA|2+l/|OB|M/4>2/|OA||OB|,|OA||OB|>8/5 •直线I交椭圓C: x7a'+//b2=l于A、B两点,若OA.OB斜率之积为-b7a: 则|OA|'+OB|: =a'b[“AOB面积为ab/2. 汪明: 缩放y=by7a,设OA斜率为k\连A'A交x轴于C则QC|=|OA|/\/(l+bV/a^lO-AlV(1|OW|=a,O7V丄OB 即|OA|: =a: (l+b: kr7a>(l+F).同理|OB|: =a: (kt: +b7a: y(1+F)OA|-+|OB|W+b\厶AOB为等腰直角三角形,S7/2,S=ab/2 14.直线1交椭圆C: x2/4+y2=l于A、B两点,若OA、OB斜率之积为-1/4. ⑴求|OA||OB|的最大值 (2) 解: (1)|OA|2+|OB|=5>2|OA||OB|,|OA||OB|<5/2 (2)显然,S=1 15・A、B为橢圆C: x74*y=l上两点,满足厶AOB的面积为1. (1)求证: xi'xj与均为定值 (2)若AB中点为P,求|OP||AB|的最大值 解: (l)|OA|'+|OB|'=x/+yi4x/+y,=x,+x? +l・X|2/4+】・xJ/4=5x,+x,=4.y/+yj=l (2)|OP||AB|=P[(xEX2)'/4"y+y»'4N[(x・x: )Wy「y$]=\,[(Xi: +x2: *yi: ^y/)-4(xX2-+-yiy2): ]/2<5/2 •过直线xn上任意一点P作直线PA、PB 与椭圆C: x2/a2+yW=l相切于A、B两点,则弦AB过定点(a%,0)o证明: 缩放y=by*/a,OP交AB于Q, AB交x轴于M,PN丄x轴于N 由射影定理得QAf=|OQ||OP| 由相似得|OM|/|()Q|=|()P|/|ON||OM|=|OA|7|ON|=a7|t|,定点M(a2/t,0) 16•过点P(l,0於直线1交椭圆C: x74+y2=l 于A、B两点,作A、B两点的切线,若存在交点,求交点的轨迹. 解: 显然,x=4 •过橢圆C: x加+y沁=1的隹点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B、C\D四点,则l/|AB|+l/|CD=(a? +b>2ab\证明: 设AB: y=k(x+c),缩放y二by烁A'B*: byVa=k(x^c)取AB中点P\OP]=|kc|N(k'+b站)ABF2|APF2«(|CTaT・QPf)=2bx,[(k-l)/(kJ+b7a2)]AB|=|AB|x、lF+l)W(『kTb'+l)=2Li(k'+l)/(kLb'/d)同理,|CD|=2a(k2+iy(l+b¥/a: ),l/|AB|+l/]CD|=(a-+b2)/2ab2 17•过橢圖C: x74+y: =l的焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆干A、B.C、D四点,求四边形ABCD面积的缺卜值解: 1/|AB|+”|CDF5A^2N(|AB||CD|),S=|AB||CD|/2>32/25 五、面积 求椭圆内三角形及四边形面积最值是圆锥曲线中很常见的题型,常规做法是设直线方程,联立后用韦达定理求弦长,点到直线距离公式求高,底乘高求面积,利用不等式求极值。 高手通常会使用向量叉乘。 缩放后面积成比例变化,在圆中求面积可以更快地得出表达式,甚至可以立接利用几何意义求出最值。 譬如圆内接多边形为正多边形时面积最大,圆心及圓上两点连成的三角形为等腰直角三角形时面积最大。 1&椭圆C: x;/4+y-=l内接矩形面积的最大值为解: 缩放y=y72,C*: x',+y~4 C"内接矩形为正方形时面积最大 注: 同理可求内接三角形最大值缩方陽为等边三角形时面积最大S'“=3U3,S杠=S'Q2=3p3/2 19.平行于x轴的直线1交椭圆C: x2/4+y2=l于点A、B,若椭圆左、右顶点分别为C、D,则梯形ACDB面积的最大值为• 解: 缩放x=2x: Cr: xr2+y,2=l C吶扌妄梯形为正六边形一半时面积最大S爲=3<3/4,Sz=2S爲=3也/2 (2)若P(0・1/2),求厶OAB面积的最大值・ 解: ⑴缩放y=yV2,C: x,2+y,2=4tO到1距离为d.则S-dV(4-d: )<2,S=SV2<1.当且仅当d“2时.等号成立 (2)0 注: 推广至一般情况,C: xV+y2/b2=LP伽,yo) 当P不在Co: 2x2/a*+2y7b2=l内时,三角步面积最大值为ab/2 当P在G内吋.缩放后作垂线可求最大值 21.过椭圆C: x2/8+y72=1上一点P(2,1M乍两条直线交椭圆于A、B两点,使两直线与x轴围成的三角形是以乙P为顶角的等腰三角形. ⑴求证: OP//AB ⑵求TAB面积的最大值 解: (l)U=l/2,kAB=l/4koP=l/2,OP//AB (2)SaPAB=S->OAB<2 (1)求圓心N的轨迹方程E ⑵设点A.B.C在E上运动・A与B关于原点对称,且|AC|=|BC|.求AABC面积的范国 解: (1)|MN|+|FN|=4,r/4+y^l (2)1/|OAp+l/|OC|'=5/4>2/]OA||OC. S.mk=2S.aoc=|OA||OC|>8/5 当且仅当AB斜率为±1时等号成立 Smk=2Sux^2 当且仅当AB与坐标轴重合时等号成立
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 缩放 椭圆