魔方和数学建模6魔方隐喻.docx
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魔方和数学建模6魔方隐喻
魔方和数学建模6
魔方的科学隐喻
魔方的科学隐喻有两个含义:
第一是用现有的科学理论或方法来研究魔方问题,我们称这类隐喻为第一类隐喻;第二是用魔方来研究科学问题,即把魔方作为一种实物性的工具来研究具体的科学问题,我们称这类隐喻为第二类隐喻。
§10.1魔方和晶体学
晶体学是关于物质的原子或分子规则排列的学问,这种原子或分子的规则排列几乎影响到晶体的所有性质。
所谓规则排列,就是原子或分子在空间分布呈现一定的对称性和周期性。
正是由于这种原子或分子排列的对称性和周期性与魔方的对称性和周期性的巧合,才为我们进行魔方的晶体学隐喻提供了类比的桥梁。
三阶魔方有26个小块,根据方向指数,这些小块可以被分为三类,即<111>、<110>和<100>。
四阶魔方有56个小块,根据方向指数,这些小块可以被分为三类,即<222>、<221>和<211>。
五阶魔方有98个小块,根据方向指数,这些小块可以被分为六类,即<222>、<221>、<220>、<211>、<210>和<200>。
利用魔方方向指数的概念,通过切割魔方,可以非常简单地导出晶体电子衍射花样。
10.1.1魔方和晶体电子衍射
晶体电子衍射是现代物理分析中最重要的技术,被广泛应用于主要的科学领域。
电子束和物质的相互作用,可以通过成像技术,在照相底片或屏幕上表现为一个一个的黑点(或光点),称为衍射斑点,也可称为衍射花样。
图10.1魔方指数斑点
10.1.2[001]方向的衍射花样
如图10.2所示,过中心点(000)垂直[001]方向将魔方切开,切割面如图10.3所示。
图10.3的斑点称为魔方[001]方向的基本切割斑点,这些基本斑点可以通过平移进行增殖,如图10.4所示。
图10.4中的实线部分就是图10.3,虚线部分是由图10.3的斑点作平移得到的,通过平移操作,还可以得到更多的斑点,图10.4被缩小是因为版面的原因。
图10.2垂直[001]的切割面
图10.3魔方[001]方向的基本斑点
图10.4魔方[001]方向的斑点
(1)fcc(A1)晶体
对于fcc(A1)晶体,结构因子不为0的斑点是h、k、l全为奇数或偶数,将不满足这个条件的斑点去掉,剩下的斑点就是衍射斑点,如图10.5所示。
图10.5fcc晶体[001]方向的电子衍射花样
(2)bcc(A2)晶体
对于bcc(A2)晶体,结构因子不为0的斑点是h+k+l为偶数,将不满足这个条件的斑点去掉,剩下的斑点就是衍射斑点,如图10.6所示。
图10.6bcc(A2)晶体[001]方向的衍射花样
10.1.3[110]方向的衍射花样
如图10.7,过中心点(000)垂直[110]方向将魔方切开,切割面如图10.8所示。
图10.8的斑点称为魔方[110]方向的基本切割斑点,这些基本斑点可以通过平移进行增殖,如图10.9所示。
图10.7垂直[110]的切割面
图10.8魔方[110]方向的基本斑点
图10.9是由魔方[110]方向的基本切割斑点和增殖斑点组成,称为魔方[110]方向的斑点。
将结构因子的条件加到图10.9的魔方斑点上,不为零的斑点就是衍射斑点。
因此,不同的晶体结构将得到不同的衍射斑点。
图10.9魔方[110]方向的斑点
(1)fcc(A1)晶体
对于fcc(A1)晶体,结构因子不为0的斑点是h、k、l全为奇数或偶数,将不满足这个条件的斑点去掉,剩下的斑点就是衍射斑点,如图10.10所示。
图10.10fcc晶体[110]方向的衍射花样
(2)bcc(A2)晶体
对于bcc(A2)晶体,结构因子不为0的斑点是h+k+l为偶数,将不满足这个条件的斑点去掉,剩下的斑点就是衍射斑点,如图10.11所示。
图10.11bcc晶体[110]方向的衍射花样
10.1.4[111]方向的衍射花样
如图10.12,过中心点(000)垂直[111]方向将魔方切开,
图10.12垂直[111]的切割面
切割面如图10.13所示。
图10.13魔方[111]方向的切割斑点
图10.14是由魔方[111]方向的基本切割斑点和增殖斑点组成,称为魔方[111]方向的斑点。
将结构因子的条件加到图10.14的魔方斑点上,不为零的斑点就是衍射斑点。
图10.14魔方[111]方向的斑点
(1)fcc(A1)晶体
对于fcc(A1)晶体,结构因子不为0的斑点是h、k、l全为奇数或偶数,将不满足这个条件的斑点去掉,剩下的斑点就是衍射斑点,如图10.15所示。
图10.15fcc晶体[111]方向的衍射花样
(2)bcc(A2)晶体
对于bcc(A2)晶体,结构因子不为0的斑点是h+k+l为偶数,将不满足这个条件的斑点去掉,剩下的斑点就是衍射斑点,如图10.16所示。
图10.16bcc晶体[111]方向的衍射花样
§10.2魔方和夸克
1964年盖尔曼提出了基本粒子的夸克模型,认为两个夸克组成一个介子,三个夸克组成一个重子。
他因此获得1969年诺贝尔物理学奖。
自从夸克模型提出之后,许多物理学家为寻找孤立自由的夸克进行了大量的工作,但是孤立自由的夸克始终没有找到,可能永远也不会找到。
孤立自由的夸克很可能像“以太”一样,是科学理论的一种过渡性载体,而其本身并不是科学。
众所周知,科学家对“以太”的研究为爱因斯坦相对论的诞生奠定了一定的基础。
夸克粒子能扮演“以太”的角色就是对科学的一种贡献了。
“物质无限可分”只是一个哲学命题,而中国古代的“一尺之棰,日取其半,万事不竭”也只是一个数学命题,因为取到一定程度,棰本身已经不复存在,而取其半就更没有什么意义了。
作者受Golomb的启发(见1.3.3节),在此用魔方作为模型,讨论魔方夸克和物理学夸克的关系。
10.2.1夸克简介
物质是由分子或原子组成的,原子是由质子、中子、电子等基本粒子构成的,而基本粒子则是由亚基本粒子组成的,这些亚基本粒子就是人们常说的“夸克”。
我们知道,质子具有
电荷,电子具有
电荷,中子具有
电荷;质子的反粒子,即反质子具有
电荷,电子的反粒子正电子具有
电荷,中子的反粒子,即反中子具有
电荷。
盖尔曼提出的夸克有三种:
上夸克u,带
电荷;下夸克d,带
电荷;奇异夸克s,带
电荷。
由u、d、s的组合,可以得到10种情况,即(uuu)、(uud)、(udd)、(ddd)、(uus)、(uds)、(dds)、(uss)、(dss)、(sss)。
如果用物理学的通用符号,就是△(uuu)、△(uud)、△(udd)、△(ddd)、∑(uus)、∑(uds)、∑(dds)、Ξ(uss)、Ξ(dss)、Ω(sss)。
这10种符号对应10种基本粒子(重子),特别是最后一个Ω(sss)重子,在历史上是先有夸克模型的预言,然后在实验中发现的。
由此可见,夸克模型强调了某种对称性,因为夸克的对称组合与现实的基本粒子相对应。
实验上找不到孤立自由的夸克,这可能与夸克的定义有关,因为夸克最初是被定义在一种对称的数学空间里。
10.2.2魔方的夸克模型
物理学的夸克是看不见摸不着找不到,魔方的夸克却是看得见摸得着的。
魔方的夸克就是魔方小块的状态。
当一个角块被转动120°时,对应于角块被扭转1/3转,这对应于魔方的一个夸克;反方向的扭转对应一个反夸克。
当一个角块被转动240°时,对应于角块被扭转2/3转,这对应于魔方的另一个夸克。
和物理学的夸克一样,魔方的夸克也处于“禁闭”之中,即通过转动操作,不可能实现使仅仅一个角块扭转1/3转或者是2/3转。
物理学的夸克可以组合成现实的基本粒子,魔方的夸克也可以组合成实在的魔方态。
(1)魔方介子
物理学的介子有两类:
中性的介子和带电的介子。
魔方只有中性介子,但有两种表现形式,一种是由相邻两角块组成的介子,另一种是由对角角块组成的介子。
如图10.17所示,角块1和角块2是组成魔方介子的两个夸克,角块1被顺时针方向转动了120°,即1/3转;角块2被逆时针方向转动了120°,即-1/3转。
因此,该魔方介子是由一个夸克和一个反夸克组成。
如果角块转动的角度对应于魔方夸克所带的电荷,那么,这个魔方介子是中性的,图10.18是这个魔方介子的投影表示。
表10-1是产生这种介子的操作序列,也可以表示为G1W1R3B3W2B1W3G3W1B3W2B1R1W3。
图10.18魔方介子的投影表示
表10-1相邻夸克组成魔方介子的操作
转轴
-X
Z
X
-Y
Z
-Y
Z
-X
Z
-Y
Z
-Y
X
Z
转角
1
1
3
3
2
1
3
3
1
3
2
1
1
3
如图10.19所示,角块1和角块3是组成魔方介子的两个夸克,角块1被顺时针方向转动了120°,即1/3转;角块3被逆时针方向转动了120°,即-1/3转。
因此,该魔方介子也是由一个夸克和一个反夸克组成,并且是中性的,图10.20是这个魔方介子的投影表示。
表10-2是产生这种介子的操作序列。
表10-2对角夸克组成魔方介子的操作
转轴
X
Z
-X
Z
X
Z
-Y
X
-Y
-X
-Y
X
-Y
Z
转角
1
3
1
1
3
3
1
3
3
3
1
1
3
1
图10.20魔方介子的投影表示
(2)魔方重子
如图10.21所示,角块1、角块2和角块3被分别顺时针方向转动120°,即分别被转动1/3转,因此这三个角块可以被看成是3个夸克,它们组成了一个魔方重子,即图10.21中的魔方状态。
图10.22是这个魔方重子的投影表示。
表10-3是产生这个魔方重子的操作序列。
图10.22魔方重子的投影表示
表10-3产生魔方重子的操作
转轴
Y
Z
-Y
Z
-Z
-X
-Z
Y
Z
-Y
Z
Y
Z
转角
3
1
3
3
1
2
3
2
2
1
1
3
1
§10.3魔方和混沌
科学的威力在于能够描述事物的因果关系,而且这种描述具有确定性的特点。
例如,根据万有引力定律,人们可预测数千年后的日食和月食。
这种精确的预测从原则上讲是完全可以实现的,多少年来人们还没有什么理由怀疑这一点。
一般认为,为了实现这种精确的预测,只需要收集足够的信息就行了。
混沌现象的发现推翻了这一观点,任何系统都会产生随机性的行为,而且这种随机性是一种根本的性质,搜集再多的信息也不能使其归于消失。
混沌是一种临界现象,即当系统的非统治因素借助随机涨落实现对系统的控制。
混沌是一种不确定性,可以影响到系统的因果关系。
从原则上讲,未来的情况完全由过去的情况所决定,因此,短时期内的行为可以预测;但是,有时微小的不确定因素的作用会逐渐加强,结果使长时期内的行为难以预测。
一般认为混沌学的思想起源于法国数学家和物理学家彭加勒(1854~1912)对随机性的论述。
而他创立的动态系统理论就包含许多混沌现象。
魔方的转动可以被认为是一个动态系统,转动操作序列是系统参数,魔方的状态对应于系统的几何描述。
10.3.1周期操作和混沌循环
如果对魔方实施YBWS的周期性操作,由于该操作的循环周期为24,即
,按照YBWS序列操作魔方,每24转(一个周期)循环一次,如果魔方从原始状态出发,那么,每转动24转,必然回到原始状态,这种循环对应图10.23(a)的魔方谱环。
如果操作者严格按YBWS序列来操作魔方,无论操作到什么时候,每循环一次,原始态也必然出现一次,具有精确的因果关系。
(a)(b)(c)
图10.23魔方的混沌循环
现在,由于操作者的瞬间失误,在谱环的A点产生一个错误的操作,相当于魔方动态系统出现不确定因素,或称为随机行为,而这一点对于魔方的操作者来说是毫无觉察的,很容易想到魔方从A点开始进入了另一个循环,即图10.23(b)的谱环。
可以想象到,在谱环(b)已经不存在原始态了。
如果操作者此时觉醒,并且采取增加一转或减少一转来消除其失误,结果使魔方由C状态变到D,实际上这又使魔方进入了另一个循环,即谱环(c)。
如果操作者如此这般地修改下去,那么,将会产生许许多多的循环操作,一般来说,这些循环离开原始态越来越远。
实际上操作者用这种方法找回原始态已经是不可能的了。
因为操作者已经使魔方进入了混沌状态。
如果借用统计力学的名词,把图10.23的(a)、(b)、(c)等循环称为“彭加勒循环”,而由许许多多的“彭加勒循环”组成的大循环,我们称为之为混沌循环。
10.3.2周期循环和非周期循环
魔方的循环操作可以分为两类:
周期循环和非周期循环。
(1)周期循环
魔方的周期循环非常容易找,随便组合几个操作形成一个操作序列,一般都是周期循环。
例如,
是最简单的周期操作序列,循环周期为2,即
。
还可以举出更多的例子(参见作者的《魔方及其应用》,中国广播电视出版社,1992年):
①
以WY为操作序列,操作105次后,魔方将恢复到原始状态,因此,循环周期为105。
②
以WRY为操作序列,操作84次后,魔方将恢复到原始状态,因此,循环周期为84。
③
以RYGBW为操作序列,操作72次后,魔方将恢复到原始状态,因此,循环周期为72。
④
以YRBG为操作序列,操作105次后,魔方将恢复到原始状态,因此,循环周期为105。
⑤
以YGB为操作序列,操作180次后,魔方将恢复到原始状态,因此,循环周期为180。
§10.4魔方和基因
1953年沃森和克里克关于DNA双螺旋结构模型发表之后,1954年,身为物理学家的盖莫夫便提出了一个大胆的设想:
DNA分子中的4种核苷酸分解形成各种不同的组合,每一种组合就是一种氨基酸的符号。
1955年,一些物理学家凭借着惊人的抽象思维能力,提出了三个核苷酸组合在一起决定着一个氨基酸的设想。
作为生物学的前沿领域,基因的遗传密码出自物理学家的头脑,而不是生物学家的头脑,也不是化学家的头脑。
这说明基因密码具有物理学特性,正是这些物理学特性触发了物理学家们的灵感。
什么是基因的物理学特性呢?
作者认为,对称性和周期性是基因的物理学特性。
众所周知,正是氨基酸的对称排列和周期分布,决定了蛋白质的晶体结构。
魔方的显著特点就是对称性和周期性,这和基因的特点恰巧又吻合了。
这就是作者将魔方和基因放在一起的理由。
10.4.1基因及其概念
人的基因决定了人的生老病死,它存在于人体每一个细胞内的脱氧核糖核酸分子即DNA分子。
DNA分子在细胞核内的染色体上,具有一种双链螺旋结构,像一个螺旋形的梯子,生命的遗传密码就列在梯子的横档上。
在生物学里,DNA双螺旋梯子的横档被称为碱基,有4种,分别简写为A、T、G、C,他们的排列组合构成了基因。
人类基因组共有32亿(
)个碱基对,包含了大约3万到4万个蛋白编码基因。
蛋白质是一种高分子有机化合物,种类繁多,数量巨大。
蛋白质的基本组成单位是氨基酸,天然的氨基酸只有20种。
由于不同生命体细胞内存在着不同的蛋白质,所以生命体能显示出不同的性状。
因此,DNA可以把遗传信息表现为细胞的结构和功能,这就是所谓的基因的表现型。
魔方的图案是小块排列组合的结果,而导致这种特定图案的操作序列则是转动操作的排列组合。
蛋白质是氨基酸在三维空间的排列组合,而氨基酸又是碱基的排列组合,因此,实质上是碱基的排列组合决定了生成什么蛋白质。
从排列组合的观点看,魔方和基因有许多相似之处。
天然蛋白质是40至10000(或更多)个氨基酸的近线性聚合物。
一种蛋白质的基因编码是碱基A、T、G、C的排列组合。
假设基因序列ATTGCGCATGCGAGCG对应制造蛋白质A,并且赋予其生物功能A;基因序列ATTGCGCATGCGTTCCTT对应制造蛋白质B,并且赋予其生物功能B;基因序列TCTCTGGCGCATGC对应制造蛋白质C,并且赋予其生物功能C,如图10.28所示。
图10.28蛋白质举例
魔方的操作序列和魔方图案有相同的对应关系,例如,操作序列WR对应魔方图案A,操作序列WRY对应魔方图案B,操作序列WRBYS对应魔方图案C,如图10.29所示。
图10.29魔方状态举例
10.4.2魔方三轴码和基因三联码
在第九章,我们给出二阶魔方的三轴操作序列,如果将三轴操作序列的0、1、2、3换成A、T、G、C,就由魔方的三轴码变成基因的三联码,如表10-5至表10-6所示。
表10-5魔方3轴操作和基因三联码
(1)
X
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Y
A
A
A
A
T
T
T
T
G
G
G
G
C
C
C
C
Z
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
c
0
4
2
4
4
15
6
9
2
6
3
6
4
9
6
15
表10-6魔方3轴操作和基因三联码
(2)
X
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Y
A
A
A
A
T
T
T
T
G
G
G
G
C
C
C
C
Z
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
c
4
15
6
9
15
12
9
18
6
9
10
7
9
18
7
30
表10-7魔方3轴操作和基因三联码(3)
X
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
Y
A
A
A
A
T
T
T
T
G
G
G
G
C
C
C
C
Z
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
c
2
6
3
6
6
9
10
7
3
10
4
12
6
7
12
12
表10-8魔方3轴操作和基因三联码(4)
X
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Y
A
A
A
A
T
T
T
T
G
G
G
G
C
C
C
C
Z
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
A
T
G
C
c
4
9
6
15
9
18
7
30
6
7
12
12
15
30
12
10
魔方三轴码和基因三联码在数量上是相同的,都是64个。
64个基因三联码能够决定碱基的一切排列情况,从而也决定了氨基酸的形成,因此,能够形成任何蛋白质。
同样,魔方的三轴码可以表示二阶魔方的任何操作序列,也就是说,对于二阶魔方的任何操作序列,都可以表示成魔方三轴码的组合。
64个基因三联码只对应20种氨基酸,而64种三轴码只对应12种不同的操作周期。
10.4.3魔方子循环和DNA微随体
在DNA中,不是所有的碱基排列都能决定氨基酸或蛋白质,有些碱基的排列对制造蛋白质毫无作用,这种DNA片段被称为微随体。
微随体的特点是几个或几十个碱基重复排列,研究表明,每个人的微随体的长度各不相同,重复周期也不同。
因此,从微随体的特征可以识别微随体的携带者,所谓的DNA指纹或DNA鉴定,其实是微随体的鉴定。
例如,
TAGGAT(10-1)
TAGACACACACACACGAT(10-2)
TAGACTACTACTACTACTGAT(10-3)
式(10-2)下划线部分称为2位重复的微随体,式(10-3)下划线部分称为3位重复的微随体。
式(10-1)、式(10-2)和式(10-3)所表达的基因序列制造出的蛋白质完全一样。
魔方的操作序列中也可以插入一些子循环操作序列,插入的子循环操作序列对魔方的循环操作或其它操作没有任何影响。
例如,10.2.2小节产生魔方介子的操作序列是
G1W1R3B3W2B1W3G3W1B3W2B1R1W3(10-4)
如果在该序列中插入[WWWWYYYY],则得到
G1W1R3B3W2B1[WWWWYYYY]W3G3W1B3W2B1R1W3(10-5)
不难验证,表达式(10-5)也能产生魔方介子,而且和表达式(10-4)产生的完全一样。
插入的WWWWYYYY=I,称为魔方的子循环序列。
在一些特殊编码中,可以用插入子循环的方法对魔方谱进行标记,这和DNA的微随体有鉴定作用完全相似。
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