讲义二次函数解析式的求法和最值问题.docx
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讲义二次函数解析式的求法和最值问题
学员编号:
年级:
初三课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
课
题
二次函数解析式的求法和最值问题
授课时间:
备课时间:
教学目标
1.
掌握二次函数的解析式的求法
2.
掌握二次函数的最值问题
1.二次函数的解析式的求解
重点、难点
2.二次函数最值问题
1.会求二次函数的解析式
考点及考试要求
2.能利用二次函数解决最值问题教学内容
【基本知识点】
知识点一、求二次函数解析式的方法
一般来说,二次函数的解析式常见有以下几种形式.
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
(2)
顶点式:
2
y=a(x-h)+k(a,h,k为常数,a≠0)
要确定二次函数解析式,
就是要确定解析式中的待定系数
(常数),由于每一种形式中都含有三个待定系数,
所以
用待定系数法求二次函数的解析式,需要已知三个独立条件
.
当已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式
2
y=ax+bx+c,然后列出三元一次方程组求解.
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常设函数解析式为顶点式
y=a(x-h)2+k求解.
(3)
交点式:
1
2
1
2
为抛物线与x轴交点的横坐标.
y=a(x-x)(x-x
)(a≠0)
,其中x、x
知识点二、求二次函数最值的常用方法
当自变量的取值范围是一切实数时,可以直接用顶点坐标公式来求,或者通过将代入二次函数解析
式。
【高频考点与经典例题】
例1、已知二次函数的图象经过点(1,5),(0,4)和(1,1).求这个二次函数的解析式.
分析:
由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)。
1
解:
设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)
a
b
c
5
a
2
依题意得:
c
4
解这个方程组得:
b
3
a
b
c
1
c
4
∴这个二次函数的解析式为
y=2x2+3x-4。
例2、已知抛物线y
ax2
bx
c的顶点坐标为(4,1),与y轴交于点(0,3),求这条抛物线的解析式。
分析:
此题给出抛物线
y
ax2
bxc的顶点坐标为(4,
1),最好抛开题目给出的
yax2
bxc,重新设
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中点(h,k)为顶点。
解:
依题意,设这个二次函数的解析式为
y=a(x-4)2-1
(a
≠0)
又抛物线与y轴交于点(0,3)。
∴a(0-4)2-1=3
∴a=
1
4
∴这个二次函数的解析式为
y=1(x-4)2-1,即y=1x2-2x+3。
4
4
例3、如图,已知两点A(-8,0),(2,0),以AB为直径的半圆与
y轴正半轴交于点
C。
求经过A、B、C三点
的抛物线的解析式。
分析:
A、B两点实际上是抛物线与
x轴的交点,所以可设交点式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是
抛物线与x轴的交点的横坐标。
解:
依题意,设这个二次函数的解析式为
y=a(x+8)(x-2)
又连结AC、BC,利用射影定理或相交弦定理的推论易得:
OC2=AC·BC=8×2
∴OC=4
即C(0,4)。
∴a(0+8)(0-2)=4
∴a=
1
4
∴这个二次函数的解析式为
y=
1
(x+8)(x
-2),即y=
1
x
2-3x+4。
4
4
2
考点1:
一般最值问题
【例1】(2010甘肃兰州)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴
绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接
触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为米.
2
1
【答案】2
【例2】(2010辽宁沈阳)某公司有甲、乙两个绿色农场品种植基地,在收获期这两个基地当天收获的某种农场品,
一部分存入仓库,另一部分运往外地销售。
根据经验,该农场品在收获过程中两个种植基地累积总产量y(吨)与收
获天数x(天)满足函数关系y=2x+3(1≤x≤10且x为整数)。
该农场品在收获过程中甲、乙两基地的累积产量分别占两基地累积总产量的百分比和甲、乙两基地累积存入仓库的量分别占甲、乙两基地的累积产量的百分比如下表:
百分比该基地的累积产量占两基地该基地累积存入仓库的量占
种植基地累积总产量的百分比该基地的累积产量的百分比
甲60%85%
乙40%22.5%
(1)请用含y的代数式分别表示在收获过程中甲、乙两个基地累积存入仓库的量;
(2)设在收获过程中甲、乙两基地累积存入仓库的该种农产品的总量为p(吨),请求出p(吨)与收获天数x(天)
的函数关系式;
(3)在
(2)的基础上,若仓库内原有该种农产品42.6吨,为满足本地市场需求,在收获期开始的同时,每天从仓
库调出一部分该种农产品揉入本地市场,若现在本地市场售出的该种农产品总量m(吨)与收获天数x(天)满足函
数关系式mx213.2x1.6(1≤x≤10且x为整数)。
问在此收获期内连续销售几天,该农产品库存量达到最低
值?
最低库存量是多少吨?
【答案】解:
(1)①甲基地累积存入仓库的量:
85%×60%y=0.51y(吨)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
②乙基地累积存入仓库的量:
22.5%×40%y=0.09y(吨)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)p=0.51y+0.09y=0.6y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分∵y=2x+3
∴p=0.6(2x+3)=1.2x+1.8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
(3)
设在此收获期间内仓库库存该种农产品
T吨,
T=42.6+p-m=42.6+1.2x+1.8-(
x2
13.2x
1.6)
=
x
2
x
x
2
(
6)
10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
1246
∵1>0,
∴抛物线开口向上
又∵(1≤x≤10且x为整数),
3
∴当x=6时,T的最小值为10
∴在此收获期内连续销售
6天,该农产品库存达到最低值,最低库存为
10吨。
考点2:
利润最值问题
【例3】儿童商场购进一批
M型服装,销售时标价为
75元/件,按8折销售仍可获利
50%。
商场现决定对M型服装
开展促销活动,每件在
8折的基础上再降价x元销售,已知每天销售数量
y(件)与降价x(元)之间的函数关系式
为y
204x(x0
)。
(1)求M型服装的进价;(3分)
(2)求促销期间每天销售
M型服装所获得的利润
W的最大值。
(5分)
【答案】
(1)设进价为a元,依题意有:
a(1
50)
75
80,解之得:
a
40(元)
(2)依题意,W
(204x)(6040x)
4x2
60x
400
4(x
15)2
625
15
2
故当x
625(元)
7.5(元)时,W最大
2
考点3:
面积最值问题
【例4】(2010内蒙古包头)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,
则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.
25
【答案】或12.5
【例5】(2010安徽芜湖))用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框,下部为矩形,上部为等腰直角三角形,其斜边长为2xm.当该金属框围成的图形面积最大时,图形中矩形的相邻两边长各为多少?
请求出金属框围成的图形的最大面积.
【答案】
4
【课堂小测】
1.二次函数y=ax2+bx+c,x=-2时y=-6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。
2.已知抛物线的顶点(-1,-2)且图象经过(1,10),求此抛物线解析式。
3.已知抛物线yax2bxc顶点坐标为(4,1),与y轴交于点(0,3),求这条抛物线的解析式
4.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,最小值为-2,,且过(0,1),求此函数的解析式。
5.抛物线的对称轴是x=2,且过(4,-4)、(-1,2),求此抛物线的解析式。
6.已知二次函数的图象与x轴的交点为(-5,0),(2,0),且图象经过(3,-4),求解析式
7.把二次函数
y
1x2
3x
5
的图象向右平移
2个单位,再向上平移
3个单位,求所得二次函数的解析式。
2
2
5
8.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中
划出的曲线是抛物线y=-x2+4(单位:
米)的一部分,则水喷出的最大高度是()
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