居余马线性代数课后习题.docx
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居余马线性代数课后习题
第三章课后习题及解答
解:
设存在ki,k2,k3,k4使得
ki1k22k33k44,整理得
将1,
2题中的向量
表示成1,
2,3,4的线性组合:
1.
1,2,1,1T,
11,1,1,1T,
21,1,1,1T,31,1,1,1T,41,1,1,1T
2.
0,0,0,1,1
1,1,0,1,2
2,1,3,1,31,1,0,0,40,1,1,1.
k1k2k3k41
k1k2k3k42
k1k2k3k41
k1k2k3k41
5111
解得k1—,k2一*3—,k4—.
4444
所以
—丄11
41424344
设存在k1,k2,k3,k4使得
k11
k22
k33
k44,整理得
k12k2k30,k1k2k3k4
3k2k40,k1k2k41.
解得k11,k20,k3
1,k40.所以
判断3,4题中的向量组的线性相关性:
3.
1,1,1T,2
0,2,5T,3
1,3,6T.
4.1(1,1,2,4)t,20,3,1,2t,33,0,7,14
解:
4.设存在k「k2,k3使得k11
k22k33
0,即
2k[k27k3
o可解得k1,k2,k3不全为零,故
1,2,3线性相关
3.设存在k1,k2,k3使得k
1k2
2k330,即
k1k30
1o1
k12k23k30,由
123
0,解得k1,k2,k3不全为零,
k15k26k30
156
故1,2,3线性相关.
5.论述单个向量
4k12k214k3
(a1,a2,,an)线性相关和线性无关的条件
解:
设存在k使得k0,若0,要使k0,当且仅当k0,故,单个向量线性无关的充要条件是0;相反,单个向量(a1,a2,,an)线性相关的充要条件是
0.
6.证明:
如果向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关
证:
设向量组1,2,,n1,n线性无关,利用反证法,
假设存在该向量组的某一部分组
ir(irn)线性相关,
则向量组1,2,,n1,n线性相关,与向量组1,2,,n1,n线性无关矛盾,
所以该命题成立
7.证明:
若1,2线性无关,则1
2,12也线性无关
证:
方法一,设存在ki,k2使得ki(1
2)k2(12)0,
整理得,(k1k2)1(k1k2)20,
因为1,2线性无关,所以
k1k20
12,可解得k1k20,
k1k20
故12,12线性无关.
方法二,因为(12,1
2)
(1,2)1
1
11
又因为20,且1,2线性无关,所以向量组12,12的秩为2,
11
故12,12线性无关•
8.设有两个向量组
s和1,2,
s,其中
a12
a1s
a21
a22
a2s
a31,
2
a32,
s
a3s
s是分别在1,2
的k个分量后任意添加
m个分量bij,b2j,
bmj
(j1,2,,s)所组成的km维向量,证明:
⑴若1,2,,s线性无关,则1,2,,s线性无关;
⑵若1,2,,s线性相关,则1,2,,s线性相关•
证:
证法1,
(1)设A
s,因为
线性无
关,所以齐次线性方程AX
0只有零解,即r(A)
s,且r(B)s,
s线性无
证法2,因为1,2
s线性无关,所以齐次线性方程
AX0只有零解,再增加方程的
个数,得BX0,该方程也只有零解,所以1,2,,s线性无关.
⑵利用反证法可证得,即假设1,2,,s线性无关,再由
(1)得1,2,,s线性无
关,与1,2,,s线性相关矛盾
9.证明:
2,23,31线性无关的充分必要条件是
1,2,3线性无关.
证:
方法1,(12,2
3,3
1)
101
因为1,2,3线性无关,且
110
2
011
所以
1
0
1
(1,2,3)
1
1
0
0
1
1
0,可得1
2,
2
3,3
1的秩为3
2,23,31线性无关•线性无关;反之也成立
(k1
k3)1
(k1k2)2(k2
k3)30
因为
1,
2,
3线性无关,
所以
k1
k3
0
k1
k2
0
,可解得k1
k2
k30,所以12,23,
31线性无关•
k2
k3
0
必要性,
(方法1)设1
2,
23,31线性无关,证明
1,2,3线性无关,
设存在佥*2*3使得ki(i2)k?
(2
3)k3(3
i)0,整理得,
假设1,2,3线性相关,则
设1可由2,3线性表示,则向量组
1,2,3中至少有一向量可由其余两个向量线性表示,不妨
2,23,31可由2,3线性表示,且
32,所以12,23,3
1线性相关,与1
2,23,31线性无关矛
盾,故1,2,3线性无关.
方法2,令1
1
2,2
23,3
3
1,设存在
k1,k2,k3使得
k11
k22
k33
0,由
112,
2
23,3
31得
1
I—
2
3),2
1(
12
3),3
丄(1
23),代入
2
2
2
k11
k22
k33
0得,
k]
(12
3)
k2t(
123)
k3T(
12
3)0,即
222
k1k2k30
因为1,2,3线性无关,所以k1k2k30
k1k2k30
可解得k1k2k30,所以1,2,3线性无关.
10.下列说法是否正确?
如正确,证明之;如不正确,举反例:
1)
12
m(m2)线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关;
3个向量,
解:
不正确,必要条件成立,充分条件不成立,例:
2维向量空间不在一条直线的
虽然两两线性无关,但这3个向量线性相关。
设11
0,
21,3
1
1,
12
3两两线性无关,而
12
3线性相关.
2)
12
m(m2)线性相关的充分必要条件是有
m1个向量线性相关;
1
0,
解:
不正确,充分条件成立,但必要条件不成立,例:
设
12
3线性相关,而俩
12
3两两线性无关.
(3)若1,2线性相关,
2线性相关,则有不全为零的数
k1,k2,
使得
k11k22
0且k11k22
0,从而使得k(1
1)k(22
2)
0,
故11,
2线性相关.
解:
不正确,因为
2线性相关和
2线性相关,不一定存在同一组不全为零的数
k1,k2和t1,t2使得k11k220和t11t2
0成立.
(4).若
12
3线性无关,则12,2
1线性无关.
解:
不正确,因为取
1,1,1这组常数,
使得
2)(2
3)(31)0,
所以12,2
3,31线性相关
(5)若
123
4线性无关,则1
1线性无关;
解:
不正确,因为
1线性相关,
由9题,n为奇数个时,线性无关,n为偶数时,线性相关.
(6).若
1,2,3,,n线性相关,则12,2
n1
nn
1线性相关;
解:
正确,因为
1,2,3,,n线性相关,所以
23
n中至少有一向量可由剩
余的n1个向量线性表示,则
n1
1也可由那剩余的
n1个向量线性表示,再因为n
所以12,23,,n1
nn
1线性相关.
11.如果
123
4线性相关,
但其中任意3个向量都线性无关,
证明必存在一组全不为
零的数k1,k2,k3,k4,
使得k11
k22k33k440.
证:
因为
23
4线性相关,
所以存在不全为零的常数k1,k2,k3,k4,使得
4线性相关与题设矛盾•故ki0;同样方法可证得k2,k3,k4都不为零.
所以该命题成立
12.若1,2,
r线性无关,证明:
1,2,
r线性无关的充分必要条件是
不能
由1,2,,
r线性表示.
证:
必要性,假设
能由1,2,,r,则,1,
2,
r线性相关与
1,
2,,
r线性无关矛盾,故不能由1,
2,
r线性表示
充分性,
设存在
k0,k1,k2,,kr使得k0k11
k2
2k33
krr0,
若k0
0,则
能由1,2,3,,r线性表出,
矛盾,
所以k0
0,
因此,
k11
k22k33krr0,又因为
1,2,,r
线性无关,
所以k1
k2
kr0,故,,1,2,,
r线性无关.
13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表
示:
(1)1(6,4,1,9,2),2(1,0,2,3,4),3(1,4,9,6,22),4(7,1,0,1,3);
(2)1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(2,1,5,6),5(1,1,2,0);
(3)1(1,1,1),2(1,1,0),3(1,0,0),4(1,2,3).
6
1
1
7
1
0
1
0
4
0
4
1
0
1
5
0
解:
(
1)1T,2T,
TT
3,4
=1
2
9
0
0
0
0
1
9
3
6
1
0
0
0
0
2
4
22
3
0
0
0
0
所以,
向量组的秩为
3,1,
2,
4为一
个极大
线性无关组,
3
1
5
2.
1,2,4为一个极大线性无关组,且
31
2,
2.
3)类似
(1),可求得向量组的秩为
3,1,2,3为一个极大线性无关组,
14.设向量组:
1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),5
(2,1,5,6),4(1,1,2,0),5(2,1,5,6).
1)证明1,2线性无关;
2)求向量组包含1,2的极大线性无关组
1)证:
设存在k1,k2,使得k11T
k12
1
0
2)
解,
TTTTT
1,2,3,4,5
1
3
2
1
4
2
3
1
2
1
0
3
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
7
2
5
0
0
0
1
1
14
0
6
0
0
0
0
0
0,求得k1k20,所以1,2线性无关;
所以,
1,2,4为包含1,
2的一个极大线性无关组
15.设A,B皆为n阶矩阵,
r(A)n,r(B)n,证明:
A0
1)秩r(A)r(B);
0B
AC
(2)秩r(A)r(B),C为任意n阶矩阵.
0B
证:
(
(1)设r(A)ri,r(B)d,则存在n阶可逆矩阵P,Q,P,Q,
使得
PAQ
Eri
0
PBQ
0
0,从而
Eri
0
E「2
0
riar(A)r(B).
(2)因为秩A
r(A),所以秩
r(A)r(B).
16.证明r(AB)
min(r(A),r(B)).
证:
设代B分别为mn,ns矩阵,
A按列分块,则有
ABi
bii
b2i
n
bi2
b22
bis
b2s
的列向量组
i,,s可由A的列向量组
得r(AB)
bn2
n线性表示,故r(AB)
AB
r(B),因此,该命题成立.
的列秩A的列秩=r(A),同样,将B按行分块,
1.设代B分别为mn,nm矩阵,且n
证明:
齐次线性方程组(AB)X0有非零解.
证:
由r(AB)min(r(A),r(B))nm,所以AB0,故齐次线性方程组(AB)X0有非零解.
18.设A是一个sn矩阵,B是由A的前m行构成的mn矩阵.证明:
若A的行向量组的
秩为r,则r(B)rms.
设r(B)p,于是
B的行向量组的极大线性无关组
含p个向量。
因此,
A的行向量组的一个极大线性无关组是向量组
ip'm11
的一个子集,所
1
证:
设j
(amai2,
,ain),i
1,2,,s,A
m,B
m1
s
以它所含向量个数p(sm),即r(A)rp(sm),
从而,r(B)prms.
求下列(19—22题)矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式:
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
19.
0
0
0
0
4.
0
0
1
2
1
1
2
3
4
5
112
3
4
5
解:
0
0
1
2
3
200
1
2
3
0
0
0
0
4
400
0
0
2
0
0
1
2
1
300
0
0
0
所以,
矩阵的秩为
3。
1
3
5
0
1
3
4
0为
个最高阶的非零子式。
22420
20.
30611
03001
1
1
2
1
0
解:
2
2
4
20
3
0
6
1
1
03001
所以,矩阵的秩为3。
111210
403001
300040
200000
111
301120为一个最高阶的非零子式。
030
32132
21.21313.
45561
3
2
1
3
2
解:
2
1
3
1
3
4
5
5
6
1
所以,矩阵的秩为3。
13493
0713179
002132
321
213140为一个最高阶的非零子式。
455
1100
2110
22.
0211
解:
1100
2110
0211
0021
1100
0110
0010
0001
所以,矩阵的秩为4。
1100
2110
10为一个最高阶的非零子式。
0211
0021
23.设A是一个mn矩阵,证明:
存在非零的
ns矩阵B,使得AB0的充要条件是
r(A)n.
证:
设齐次线性方程组AX0,B
1
2
s0,则由AB0,
可得Aj
0,j1,2,,s,由于,
B12
s0,至少有一个j0,
再由AX
0有非零解的充要条件是
r(A)
n,故,
Aj0,j1,2,,s,
至少有一个j0的充要条件是r(A)n.
24.设A,B是同形矩阵,证明:
A与B相抵的充要条件是r(A)r(B).
证:
设代B是m
n矩阵,
r(A)
r,r(B)
p,则存在可逆矩阵
!
~1,P2,Q1,Q2,
使得RAQ1
Er
0
Ep0
R?
BQ2
0
0
00
充分性,因为
r(A)
r(B)
,所以,
RAQ1
Er0
/门=^2
Ep
0
00
0
0
(P2)1^AQiQ21B,令(F2)pP'QiQ?
1Q,故,PAQB
因此,A与B相抵•
必要性,因为A与B相抵,所以,存在可逆矩阵P,Q,使得PAQB,
因此,r(A)r(B).
25.设A是m
n矩阵(mn),r(A)m,证明:
存在nm矩阵B使得AB
证:
因为
r(A)
m,所以,存在可逆矩阵P,Q,使得PAQIm0,所以有
AQ
P1
Im
0,
AQ
P1
Im
0(P10),
(1)
1)
右端乘n
P
m阶矩阵T,得AQTIm,令QTB,
0
故,
ABI
26.证明:
若n阶方阵A的秩为r,则必有秩为nr的n阶方阵B,使得BA
0.
证:
因为
n阶方阵A的秩为r,所以AT的秩为r,则ATX
0的基础解系含有
nr个线
性无关的解向量,取这nr个线性无关的解向量X1,
Xnr为BT的列向量,则
r(BT)nrr(B).因此,该命题得证.
27.证明:
任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和,的矩阵之和.
而不能表示为少于r个秩为1
证:
设A为秩为r的矩阵,则存在可逆矩阵P,Q使得PAQ
Er0
00
B1,,Br为秩为1的矩阵
因此,任何秩为r的矩阵可以表示为r个秩为1矩阵之和.
后部的证明,(反证法)假设A为秩为r的矩阵,能表示为少于r个秩为1的矩阵之和,不妨设A能表示为p个秩为1的矩阵之和,其中,pr,设A(B1Bp),其中
B1,,Bp是秩为1的矩阵.r(A)r(BJr(Bp)pr,与r(A)r矛盾.
28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解:
X1
X2
5X3
X4
0
X1
(1)
X2
2X3
3x4
0
3%
X2
8X3
X4
0
X1
3x2
9X3
7x4
0
解:
51
23
81
10
01
00
00
取X3M4为自由未知量,令X31,X4
0和X3
0,X4
1,得原方程组的一个基础解系为
97
X1(3,7,1,0)t;X2(1,2,0,1)t,
22
因此,一般解为X
kX
2
7
k2X2=k12
2
k2,其中k1,k2为任意常数
0
3\x28X32x4x50
2%2x23x37x42x50
x111x212x334x45x50
x15x22x316x43x50
19百
7
8
因此,一般解为X
KX1k2X2k3X3k11
0
0
为任意常数•
197325
X1(亍訐呵,X2(录严几X3
29.求下列非齐次线性方程组的一般解:
3
8
1
2
25
1
T
■2
k20
k30,其中,匕飞2*3
1
0
0
1
2,打
3
1
8
2
1
1
0
19百
3
8
1
2
解:
2
2
3
7
2
0
1
7g
25百
1三
1
11
12
34
5
0
0
0
0
0
1
5
2
16
3
0
0
0
0
0
取
X3,X4
X5
为自
由未
知量,
令X3
1,X4
0,X5
0,X30,X41,X50和
X30,X40,X51,得原方程组的一个基础解系为
2x-|
7x2
3x3X4
6
(1)3x1
5x2
2x32x4
4
9x1
4x2
X37X4
2
27
31
6
1
9
40
8
解:
35
22
4
0
11
51
10
94
17
2
0
0
00
0
取X2,X3为自由未知量,令X2
X3
0,
得方程组的一个特解:
X。
(8,0,0,10)T,
再令X21,X30和X20,X31
得其导出组的一个基础解系
X1
(9,1,0,11)T,
X2
(4,0,1,5)t.
所以,
X。
kX
k?
X2,
其中
k1,k2为任意常数.
(2)
解:
X1
X2
X3
X4X5
7
3x1
2
X2
X3
X43X5
2
X2
2X32X4
6X5
23
5x1
4
X2
3X3
3X4
X5
12
1
1
1
1
7
1
2
1
1
3
2
0
1
2
2
6
23
0
4
3
3
1
12
0
X5,
为
自
由未知量
,令
X3
方程组的一般解为
1
0
3
1
0
0
0
5
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- 居余马 线性代数 课后 习题