湖南师大附中高一数学上学期期末试题带答案.docx
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湖南师大附中高一数学上学期期末试题带答案
湖南师大附中2017-2018高一数学上学期期末试题(带答案)
湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试
数学
时量:
120分钟满分:
150分
得分:
____________
第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若直线过点(1,2),(2,2+3),则此直线的倾斜角是
A.30°B.45°C.60°D.90°
2.已知直线l1:
ax-y-2=0和直线l2:
(a+2)x-y+1=0,若l1⊥l2,则a的值为
A.2B.1C.0D.-1
3.若a、b表示直线,α表示平面,下列命题中正确的个数为
①a⊥α,b∥αa⊥b;②a⊥α,a⊥bb∥α;③a∥α,a⊥bb⊥α.
A.1B.2C.3D.0
4.在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于
A.14B.13C.5D.10
5.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是
A.内切B.相交C.外切D.外离
6.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为12,则该几何体的俯视图可以是
7.已知圆C:
x2+y2-4x-5=0,则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是
A.3x+2y-7=0B.2x+y-4=0
C.x-2y-3=0D.x-2y+3=0
8.直三棱柱ABC—A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于
A.30°B.45°C.60°D.90°
9.从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线,则切线长的最小值为
A.322B.142C.324D.322-1
10.如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是
A.恒有DE⊥A′F
B.异面直线A′E与BD不可能垂直
C.恒有平面A′GF⊥平面BCDE
D.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
答题卡
题号12345678910得分
答案
二、填空题:
本大题共3个小题,每小题5分,共15分.
11.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图,O′A′=3,O′B′=4,则△AOB的面积是________.
12.在三棱锥A-BCD中,AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,若AB=3,AC=4,AD=5,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________.
13.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________.
三、解答题:
14.(本题满分10分)
已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-34.
(Ⅰ)求直线l的方程;
(Ⅱ)求与直线l切于点(2,2),圆心在直线x+y-11=0上的圆的方程.
15.(本题满分12分)
已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点A(26,1),B(2,1)的距离之比等于5.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C,过点P(-2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.
16.(本题满分13分)
如图所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,
PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.
(Ⅰ)求证:
PA∥平面BDE;
(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;
(Ⅲ)若二面角E-BD-C为30°,
求四棱锥P-ABCD的体积.
第Ⅱ卷(满分50分)
一、选择题:
本大题共2个小题,每小题5分,共10分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.
17.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:
“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?
”人们把此类题目称为“中国剩余定理”问题,若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N=n(modm),例如11=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的n等于
A.21B.22C.23D.24
18.在四棱锥P-ABCD中,AD⊥面PAB,BC⊥面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是
A.直线的一部分B.半圆的一部分
C.圆的一部分D.球的一部分
答题卡
题号1718得分
答案
二、填空题:
本大题共1小题,每小题5分.
19.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=log12(x+1),x∈[0,1),1-|x-3|,x∈[1,+∞),则关于x的函数F(x)=f(x)-20172018的所有零点之和为________
三、解答题:
本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
20.(本题满分10分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(Ⅰ)求证:
AC⊥BD1;
(Ⅱ)是否存在直线与直线AA1,CC1,BD1都相交?
若存在,请你在图中画出两条满足条件的直线(不必说明画法及理由);若不存在,请说明理由.
21.(本题满分12分)
平面直角坐标系中,在x轴的上方作半径为1的圆Γ,与x轴相切于坐标原点O.平行于x轴的直线l1与y轴交点的纵坐标为-1,A(x,y)是圆Γ外一动点,A与圆Γ上的点的最小距离比A到l1的距离小1.
(Ⅰ)求动点A的轨迹方程;
(Ⅱ)设l2是圆Γ平行于x轴的切线,试探究在y轴上是否存在一定点B,使得以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变.
22.(本题满分13分)
已知函数f(x)=log2(x+1).
(Ⅰ)若f(x)+f(x-1)>0成立,求x的取值范围;
(Ⅱ)若定义在R上奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在[-3,-1]上的解析式,并写出g(x)在[-3,3]上的单调区间(不必证明);
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的g(x),若关于x的不等式gt-2x8+2x+3≥g-12在R上恒成立,求实数t的取值范围.
湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试数学参考答案-(这是边文,请据需要手工删加)
湖南师大附中2017-2018学年度高一第一学期期末考试
数学参考答案
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号12345678910
答案CDADBCDCBB
1.C【解析】利用斜率公式k=3=tanθ,可求倾斜角为60°.
2.D【解析】由题知(a+2)a+1=0a2+2a+1=(a+1)2=0,
∴a=-1.也可以代入检验.
3.A【解析】①正确.
4.D【解析】点A(1,2,3)在xOz坐标平面内的射影为B(1,0,3),
∴|OB|=12+02+32=10.
5.B【解析】将两圆化成标准方程分别为x2+y2=1,(x-2)2+(y+1)2=9,可知圆心距d=5,由于2d4,所以两圆相交.
6.C【解析】当俯视图为A中正方形时,几何体为边长为1的正方体,体积为1;当俯视图为B中圆时,几何体为底面半径为12,高为1的圆柱,体积为π4;当俯视图为C中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,体积为12;当俯视图为D中扇形时,几何体为圆柱的14,且体积为π4.
7.D【解析】化成标准方程(x-2)2+y2=9,过点P(1,2)的最短弦所在直线l应与PC垂直,故有klkPC=-1,由kPC=-2得kl=12,进而得直线l的方程为x-2y+3=0.
8.C【解析】将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为正方体ABDC-A1B1D1C1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于BA1与BD1所成的角,为60°.
9.B【解析】当圆心到直线距离最短时,可得此时切线长最短.d=322,切线长=3222-12)=142.
10.B【解析】对A来说,DE⊥平面A′GF,∴DE⊥A′F;
对B来说,∵E、F为线段AC、BC的中点,∴EF∥AB,∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角,当(A′E)2+EF2=(A′F)2时,直线A′E与BD垂直,故B不正确;
对C来说,因为DE⊥平面A′GF,DE平面BCDE,∴平面A′GF⊥平面BCDE,故C正确;
对D来说,∵A′D=A′E,∴DE⊥A′G,∵△ABC是正三角形,∴DE⊥AG,又A′G∩AG=G,∴DE⊥平面A′GF,从而平面ABC⊥平面A′AF,且两平面的交线为AF,∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上,正确.
二、填空题
11.12【解析】△OAB为直角三角形,两直角边分别为4和6,S=12.
12.50π【解析】三棱锥A-BCD的外接球就是长宽高分别为3、4、5的长方体的外接球,所以外接球的半径R满足:
2R=32+42+52=52.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积S=4πR2=50π.
13.a6【解析】由PA⊥平面AC,PE⊥DE,得AE⊥DE.问题转化为以AD为直径的圆与BC有两个交点,所以a23,解得a6.
三、解答题
14.【解析】(Ⅰ)3x+4y-14=0
(Ⅱ)(x-5)2+(y-6)2=25
15.【解析】(Ⅰ)由题意,得|MA||MB|=5.
(x-26)2+(y-1)2(x-2)2+(y-1)2=5,
化简,得x2+y2-2x-2y-23=0.
即(x-1)2+(y-1)2=25.
∴点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,
轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,l:
x=-2,
此时所截得的线段的长为252-32=8,
∴l:
x=-2符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为
y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,
圆心到l的距离d=|3k+2|k2+1,
由题意,得|3k+2|k2+12+42=52,
解得k=512.
∴直线l的方程为512x-y+236=0.
即5x-12y+46=0.
综上,直线l的方程为
x=-2,或5x-12y+46=0.
16.【解析】(Ⅰ)证明:
连接OE,如图所示.
∵O、E分别为AC、PC中点,
∴OE∥PA.
∵OE面BDE,PA平面BDE,
∴PA∥平面BDE.
(Ⅱ)证明:
∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中,BD⊥AC,
又∵PO∩AC=O,∴BD⊥平面PAC.
又∵BD平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE.
(Ⅲ)取OC中点F,连接EF.
∵E为PC中点,
∴EF为△POC的中位线,∴EF∥PO.
又∵PO⊥平面ABCD,
∴EF⊥平面ABCD,
∵OF⊥BD,∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,
∴∠EOF=30°.
在Rt△OEF中,
OF=12OC=14AC=24a,
∴EF=OFtan30°=612a,∴OP=2EF=66a.
∴VP-ABCD=13×a2×66a=618a3.
17.C
18.C【解析】因为AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,所以AD∥BC,且∠DAP=∠CBP=90°.又∠APD=∠CPB,AD=4,BC=8,可得tan∠APD=ADPA=CBPB=tan∠CPB,即得PBPA=CBAD=2,在平面PAB内,以AB所在直线为x轴,AB中点O为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(-3,0)、B(3,0).设点P(x,y),则有|PB||PA|=(x-3)2+y2(x+3)2+y2=2,整理得x2+y2+10x+9=0.
由于点P不在直线AB上,故此轨迹为一个圆,但要去掉二个点,选C.
19.【解析】∵当x≥0时,f(x)=log12(x+1),x∈[0,1);1-|x-3|,x∈[1,+∞);
即x∈[0,1)时,f(x)=log12(x+1)∈(-1,0];
x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];
x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,-1);
画出x≥0时f(x)的图象,
再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示;
则直线y=20172018,与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-20172018=0共五个实根,
最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,
∵x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴f(-x)=log12(-x+1),
又f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-log12(-x+1)=log12(1-x)-1=log2(1-x),
∴中间的一个根满足log2(1-x)=20172018,
即1-x=220172018,解得x=1-220172018,
∴所有根的和为1-220172018.
20.【解析】(Ⅰ)证明:
如图,连结BD.
∵正方体ABCD-A1B1C1D1,
∴D1D⊥平面A平面ABCD,∴D1D⊥AC.
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∵BD∩D1D=D,∴AC⊥平面BDD1.
∵BD1平面BDD1,∴AC⊥BD1.(5分)
(Ⅱ)存在.答案不唯一,
作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中,
且过BD1的中点并与直线A1A,C1C相交.
下面给出答案中的两种情况,
其他答案只要合理就可以给满分.(10分)
21.【解析】(Ⅰ)设圆Γ的圆心为O1,显然圆Γ上距A距离最小的点在AO1上,于是依题意知AO1的长度等于A到l1的距离.
显然A不能在l1的下方,若不然A到l1的距离小于AO1的长度,
故有(y-1)2+x2=y-(-1),
即y=14x2(x≠0).(5分)
(Ⅱ)若存在这样的点B,设其坐标为(0,t),以AB为直径的圆的圆心为C,过C作l2的垂线,垂足为D.
则C点坐标为x2,y+t2,于是CD=|y+t-4|2,
AB=x2+(y-t)2=4y+(y-t)2
设所截弦长为l,
则l24=AB22-CD2=4y+(y-t)24-(y+t)2-8(y+t)+164,
于是l2=(12-4t)y+8t-16,(10分)
弦长不变即l不随y的变化而变化,
故12-4t=0,即t=3.
即存在点B(0,3),满足以AB为直径的圆截直线l2所得的弦长不变.(12分)
22.【解析】(Ⅰ)由f(x)+f(x-1)>0得log2(x+1)+log2x>0,得x2+x>1x>0x+1>0,
解得x>5-12,所以x的取值范围是x∈xx>5-12(5分);
(Ⅱ)当-3≤x≤-2时,
g(x)=-g(x+2)=g(-x-2)=f(-x-2)=log2(-x-2+1)=log2(-x-1),
当-2<x≤-1时,g(x)=-g(x+2)=-f(x+2)=-log2(x+3),
综上可得g(x)=log2(-1-x),(-3≤x≤-2)-log2(3+x),(-2<x≤-1),
g(x)在[-3,-1]和[1,3]上递减;g(x)在[-1,1]上递增;(9分)
(Ⅲ)因为g-12=-g12=-f12=-log232,
由(Ⅱ)知,若g(x)=-log232,得x=-32或x=52,
由函数g(x)的图象可知若gt-2x8+2x+3≥g-12在R上恒成立.
设u=t-2x8+2x+3=-18+t+18(1+2x),
当t+1≥0时,u=-18+t+18(1+2x)∈-18,-18+t+18,
则u∈-18,-18+t+18-12,52,则-18+t+18≤52,
解得-1≤t≤20.
当t+1<0时,u=18+t+18(1+2x)∈-18+t+18,-18,
则u∈-18+t+18,-18-12,52,则-18+t+18≥-12,
解得-4≤t<-1.
综上,故-4≤t≤20.(13分)
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