初中几何辅助线大全最全.docx
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初中几何辅助线大全最全.docx
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初中几何辅助线大全最全
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形:
例如:
如图7-1:
已知AC=BD,AD⊥AC于A,BC⊥BD于B,求证:
AD=BC
分析:
欲证AD=BC,先证分别含有AD,BC的三角形全等,有几种方案:
△ADC与△BCD,△AOD与△BOC,△ABD与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。
证明:
分别延长DA,CB,它们的延长交于E点,E
∵AD⊥ACBC⊥BD(已知)
∴∠CAE=∠DBE=90°(垂直的定义)
在△DBE与△CAE中AB
E
E(公共角)
O
∵
DBE
已证
)
CAE(
C
BD
已知
D
AC(
)
图7
1
∴△DBE≌△CAE(AAS)
∴ED=ECEB=EA(全等三角形对应边相等)
∴ED-EA=EC-EB
即:
AD=BC。
(当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。
)
二、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
例如:
如图9-1:
在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BD的延长于E。
求证:
BD=2CE
分析:
要证BD=2CE,想到要构造线段
2CE,同时CE与
∠ABC的平分线垂直,想到要将其延长。
F
证明:
分别延长BA,CE交于点F。
A
E
∵BE⊥CF(已知)
D
∴∠BEF=∠BEC=90°(垂直的定义)
1
2
C
在△BEF与△BEC中,
B
图9
1
1
12(已知)
∵BEBE(公共边)
BEFBEC(已证)
∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE=FE=1CF(全等三角形对应边相等)
2
∵∠BAC=90°BE⊥CF(已知)
∴∠BAC=∠CAF=90°∠1+∠BDA=90°∠1+∠BFC=90°∴∠BDA=∠BFC
在△ABD与△ACF中
BACCAF(已证)
BDABFC(已证)
AB=AC(已知)
∴△ABD≌△ACF(AAS)∴BD=CF(全等三角形对应边相等)∴BD=2CE
四、取线段中点构造全等三有形。
例如:
如图11-1:
AB=DC,∠A=∠D求证:
∠ABC=∠DCB。
分析:
由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中点N,连接NB,NC,再由SAS公理有△ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。
下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有△NBM≌△NCM,所以∠NBC=∠NCB。
问题得证。
证明:
取AD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NC。
则AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN
AN
辅助线的作法
)
A
N
D
DN(
中
∵
A
已知
)
D(
AB
已知
)
DC(
∴△ABN≌△DCN(SAS)
B
M
C
图11
1
∴∠ABN=∠DCN
NB=NC(全等三角形对应边、
角相等)
在△NBM与△NCM中
NB
=
已证
)
NC(
∵BM=CM(辅助线的作法)
NM
=
公共边
)
NM(
∴△NMB≌△NCM,(SSS)∴∠NBC=∠NCB
(全等三角形对应角相等)∴∠
NBC+∠
ABN
=∠NCB+∠DCN
即∠ABC=∠DCB。
2
巧求三角形中线段的比值
例1.如图1,在△ABC中,BD:
DC=1:
3,AE:
ED=2:
3,求
AF:
FC。
解:
过点D作DG//AC,交BF于点G
所以DG:
FC=BD:
BC
因为BD:
DC=1:
3所以BD:
BC=1:
4
即DG:
FC=1:
4,FC=4DG
因为DG:
AF=DE:
AE又因为AE:
ED=2:
3
所以DG:
AF=3:
2
即所以AF:
FC=:
4DG=1:
6
例2.如图2,BC=CD,AF=FC,求EF:
FD
解:
过点C作CG//DE交AB于点G,则有EF:
GC=AF:
AC
因为AF=FC所以AF:
AC=1:
2
即EF:
GC=1:
2,
因为CG:
DE=BC:
BD又因为BC=CD
所以BC:
BD=1:
2CG:
DE=1:
2即DE=2GC
因为FD=ED-EF=所以EF:
FD=
小结:
以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现
的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。
请再看两例,让我们感受其中的奥妙!
例3.如图3,BD:
DC=1:
3,AE:
EB=2:
3,求AF:
FD。
解:
过点B作BG//AD,交CE延长线于点G。
所以DF:
BG=CD:
CB
因为BD:
DC=1:
3所以CD:
CB=3:
4
3
即DF:
BG=3:
4,
因为AF:
BG=AE:
EB又因为AE:
EB=2:
3
所以AF:
BG=2:
3即
所以AF:
DF=
例4.如图4,BD:
DC=1:
3,AF=FD,求EF:
FC。
解:
过点D作DG//CE,交AB于点G
所以EF:
DG=AF:
AD
因为AF=FD
所以AF:
AD=1:
2
图4
即EF:
DG=1:
2
因为DG:
CE=BD:
BC,又因为BD:
CD=1:
3,所以BD:
BC=1:
4
即DG:
CE=1:
4,CE=4DG
因为FC=CE-EF=
所以EF:
FC=
=1:
7
练习:
1.如图5,BD=DC,AE:
ED=1:
5,求AF:
FB。
2.如图6,AD:
DB=1:
3,AE:
EC=3:
1,求BF:
FC。
答案:
1、1:
10;
2.9
:
1
4
二由角平分线想到的辅助线
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
角平分线具有两条性质:
a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相
等。
对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线;
②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。
通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下
考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
(一)、截取构全等
例1.如图1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,
A
CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:
BC=AB+CD。
E
分析:
此题中就涉及到角平分线,可以利
用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分
B
F
线来构造轴对称图形,同时此题也是证明线段
图1-2
的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题
中常用到的方法是延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等,进而达到所证明的目的。
例2.已知:
如图1-3,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求证DC⊥AC
分析:
此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段
相等。
其它问题自已证明。
A
C
E
5
D
B
D
C
图1-3
例3.已知:
如图1-4,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:
AB-
AC=CD
分析:
此题的条件中还有角的平分线,在证明
A
中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的
和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的,在长的
E
线段上截取短的线段,来证明。
试试看可否把短的
延长来证明呢?
C
B
D
图1-4
(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明
问题。
A
例1.如图2-1,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证:
∠ADC+∠B=180
D
分析:
可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC
F
E
与∠B之和为平角。
B
C
图2-1
例2.如图2-2,在△ABC中,∠A=90
,AB=AC,∠ABD=∠CBD。
求证:
BC=AB+AD
A
分析:
过D作DE⊥BC于E,则AD=DE=CE,则构造出
D
全等三角形,从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题,
从中利用了相当于截取的方法。
B
C
E
图2-2
例3.已知如图2-3,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证:
∠BAC
的平分线也经过点P。
A
分析:
连接AP,证AP平分∠BAC即可,也就是证P到AB、
AC的距离相等。
N
M
D
F
B
P
C
6图2-3
(三):
作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,
垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三
角形的三线合一的性质。
(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一
边相交)。
例1.已知:
如图3-1,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是
1
求证:
DH=(AB-AC)
2
分析:
延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
B
例2.已知:
如图3-2,AB=AC,∠BAC=90,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:
BD=2CE。
分析:
给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的
B
垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。
BC中点。
A
DC
E
H
图示3-1F
A
E
D
C
图3-2
例3.已知:
如图3-3在△ABC中,AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线,
过顶点B作BFAD,交AD的延长线于F,连结FC并延长
A
交AE于M。
M
求证:
AM=ME。
BD
CE
分析:
由AD、AE是∠BAC内外角平分线,可得EA
F
N图3-3
⊥AF,从而有BF//AE,所以想到利用比例线段证相等。
例4.已知:
如图3-4,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD交AD延长线于M。
求证:
AM=1(AB+AC)
2
分析:
题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换,作△AB
1
D关于AD的对称△AED,然后只需证DM=EC,另外2
1
由求证的结果AM=(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可
2
A
E
F
D
n
C
B
M
图3-4
7
尝试作△ACM关于CM的对称△FCM,然后只需证DF=CF即可。
三由线段和差想到的辅助线
线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:
1、截长:
在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等
于另一条;
2、补短:
将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线
段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。
注意:
利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。
例1.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE。
AD
例3已知:
如图,等腰三角形
ABC中,AB=AC,
E
C
A=108°,BD平分
ABC。
求证:
BC=AB+DC。
B
A
D
BC
例4如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线,DM⊥AB
1A
于M,且AM=MB。
求证:
CD=2DB。
M
CDB
8
1.如图,AB∥CD,AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE,求证:
AD=AB+CD。
DC
E
AB
2.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C
在AE的异侧,
BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。
求证:
BD=DE+CE
9
四由中点想到的辅助线
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
(一)、由中点应想到利用三角形的中位线
例2.如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、
CD的延长线分别交EF的延长线G、H。
求证:
∠BGE=∠CHE。
证明:
连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,
∵ME是BCD的中位线,
∴MECD,∴∠MEF=∠CHE,
∵MF是ABD的中位线,
∴MFAB,∴∠MFE=∠BGE,
∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,
从而∠BGE=∠CHE。
(二)、由中线应想到延长中线
例3.图4,已知ABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。
解:
延长AD到E,使DE=AD,则AE=2AD=2×2=4。
在ACD和EBD中,
∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD,
∴ΔACD≌ΔEBD,∴AC=BE,
从而BE=AC=3。
在
2
2
2
2
2
ABE中,因AE+BE=4+3=25=AB,故∠E=90°,
10
∴BD===,故BC=2BD=2。
例4.如图5,已知ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。
求证:
ABC是等腰三角形。
证明:
延长AD到E,使DE=AD。
仿例3可证:
BED≌ΔCAD,
故EB=AC,∠E=∠2,
又∠1=∠2,∴∠1=∠E,
∴AB=EB,从而AB=AC,即ABC是等腰三角形。
(三)、直角三角形斜边中线的性质
例5.如图6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:
AC=BD。
证明:
取AB的中点E,连结DE、CE,则DE、CE分别为RtABD,RtABC
斜边AB上的中线,故DE=CE=AB,因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC,
∴∠CDE=∠1,∠DCE=∠2,
∴∠1=∠2,
在ADE和BCE中,
∵DE=CE,∠1=∠2,AE=BE,
∴ΔADE≌ΔBCE,∴AD=BC,从而梯形ABCD是等腰梯形,因此AC=BD。
(四)、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线
例6.如图7,ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。
求证:
BD=2CE。
证明:
延长BA,CE交于点F,在BEF和BEC中,
∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,
∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。
11
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。
在ABD和ACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。
注:
此例中BE是等腰BCF的底边CF的中线。
(五)中线延长
口诀:
三角形中有中线,延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线,常延长加倍此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形。
1如图,AB=CD,E为BC的中点,∠BAC=∠BCA,求证:
AD=2AE。
A
BECD
3如图,AB=AC,AD=AE,M为BE中点,∠BAC=∠DAE=90°。
求证:
AM⊥DC。
A
D
BMC
E
DD
D
D
5.已知:
如图AD为△ABC的中线,AE=EF,求证:
BF=AC
A
E
F
BDC
12
五全等三角形辅助线
(一)、倍长中线(线段)造全等
1:
(“希望杯”试题)已知,如图△
ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是____
_____.
A
BDC
2:
如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较B
E+CF与EF的大小.
A
E
F
BDC
3:
如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
A
BDEC
中考应用
例题:
以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt
ABD和等腰Rt
ACE,
BADCAE90,
,、
、
DE的位
连接DEM
N分别是BCDE的中点.探究:
AM与
置关系及数量关系.
(1)如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是
,
线段AM与DE的数量关系是;
13
(2)将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,
如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
(二)、截长补短
1.如图,
ABC
中,AB=2AC,AD平分
BAC
,且
AD=BD,求证:
CD⊥AC
A
C
B
D
2:
如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+
AD
BD
E
B
C
ABC内,
0
400
3:
如图,已知在
BAC60,C
,P,Q分别在BC,CA
A
上,并且AP,BQ分别是
BAC,
ABC的角平分线。
求证:
BQ+A
Q=AB+BP
B
Q
P
14
C
4:
如图,在四边形
ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分
ABC,求证:
AC180
0
A
D
BC
5
(三)、借助角平分线造全等
1:
如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE
=OD
A
E
O
2:
(06郑州市中考题)如图,△ABC中,AB
D
C
D平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF
的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE
的长.
A
E
G
BC
F
D
15
3.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一
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