北师大图形的相似.docx

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北师大图形的相似

图形的相似

（一）

一、强调：

①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；

②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；

③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形．

（2）对于成比例线段：

1、两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；

2、线段的比是一个没有单位的正数；

3、四条线段a,b,c,d成比例，记作

或a:

b=c:

d；

4、若四条线段满足

，则有ad=bc

二、例题讲解

例1（补充：

选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）

例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？

（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？

（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？

小结：

上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的

的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．

例3（补充）已知：

一张地图的比例尺是1:

32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？

分析：

根据比例尺=

，可求出北京到上海的实际距离．

三、课堂练习

1．下列说法正确的是（）

A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.

B．商店新买来的一副三角板是相似的.

C．所有的课本都是相似的.

D．国旗的五角星都是相似的.

2．在比例尺是1:

8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？

5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？

图形的相似

（二）

（1）相似多边形的特征：

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．

（2）相似比：

相似多边形对应边的比称为相似比．

问题：

相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？

一、例题讲解

例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）

A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似

C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似

例2、（补充）

已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:

B1C1:

C1D1:

D1A1=7:

8:

11:

14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．

3．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）

（1）两个半径不相等的圆；

（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．

A．3个B．4个C．5个D．6个

二、课后练习

1．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．

※2．如图，一个矩形ABCD的长AD=acm，宽AB=bcm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:

b的值．

27.2.1相似三角形的判定

（一）

1、如△ABC∽△A′B′C′的相似比

，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是

，它们的关系是互为倒数

2、“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．

3、在△ABC与△A′B′C′中，

如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且

．

我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，

则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且

．

（3）问题：

如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？

课堂练习

1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）

A．两个直角三角形B．两个钝角三角形

C．两个等腰三角形D．两个等边三角形

2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:

EA=2:

3，EF=4，求CD

4．如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:

BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．

27.2.1相似三角形的判定

（二）

【归纳】

三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

三角形相似的判定方法2两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．

※例1、（补充）已知：

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=

，求AD的长．

2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：

△ABC∽△DEF．

3．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：

△ABC∽△AED．

※4．已知：

如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，

求证：

△ADC∽△CDP．

相似三角形的判定（三）

1．三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”

2、如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．

例1（补充）已知：

如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．

2．已知：

如图，∠1=∠2=∠3，求证：

△ABC∽△ADE．

3．下列说法是否正确，并说明理由．

（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；

（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．

课后练习

1．已知：

如图，△ABC的高AD、BE交于点F．

求证：

．

2．已知：

如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．

（1）求证：

AC•BC=BE•CD；

（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．

相似三角形的应用举例

1．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

2．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

（1）视点：

观察者眼睛的位置称为视点；

（2）视线：

由视点出发的线称为视线；

（3）仰角：

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

（4）盲区：

人眼看不到的地方称为盲区．

1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米?

2．小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?

3、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．（设网球是直线运动）

4、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？

相似三角形的性质

归纳小结：

相

似

三

角

形

1、相似三角形的性质：

对应高的比

对应中线的比都等于相似比

对应角平分线的比

2、相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方

已知：

如图,FGHI为矩形，AD⊥BC于D，FG:

GH=1：

2 ， BC＝30cm,AD＝12cm .  

求：

矩形FGNI的周长（面积）

1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求证：

△APE∽△ADQ；

（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？

最大值为多少？

（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？

（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

备选题答案：

（1）证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.

（1）注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及

S△PEF=

，得

S△PEF=

=

.∴当

，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值

.

（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.

位似

1、．难点的突破方法

（1）位似图形：

如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．

（2）掌握位似图形概念，需注意：

①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

②两个位似图形的位似中心只有一个；

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．

（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．

（4）两个位似图形的主要特征是：

每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:

①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；

②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；

③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；

④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形

2．问：

已知：

如图，多边形ABCDE，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？

你能说出画相似图形的一种方法吗？

五、例题讲解

例1（补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．

分析：

位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．

例2把图1中的四边形ABCD缩小到原来的

．

分析：

把原图形缩小到原来的

，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．

作法一：

（1）在四边形ABCD外任取一点O；

（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；

（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，

使得

；

（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．

问：

此题目还可以如何画出图形？

作法二：

（1）在四边形ABCD外任取一点O；

（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；

（3）分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得

；

（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．

作法三：

（1）在四边形ABCD内任取一点O；

（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；

（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，

使得

；

（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．

（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略—

2．画出所给图中的位似中心．

3．已知：

如图，△ABC，画△A′B′C′，

使△A′B′C′∽△ABC，且使相似比为1.5，要求

（1）位似中心在△ABC的外部；

（2）位似中心在△ABC的内部；

（3）位似中心在△ABC的一条边上；

（4）以点C为位似中心．