圆与中考.docx

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圆与中考

第十章圆与中考

中考要求及命题趋势

1、理解圆的基本概念与性质。

2、求线段与角和弧的度数。

3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。

4、直线和圆的位置关系。

5、圆的切线的性质和判定。

6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。

7、圆和圆的五种位置关系。

8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式。

两圆相切、相交的性质。

9、掌握弧长、扇形面积计算公式。

10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。

11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。

2009年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。

三角函数的小综合题为考查重点；直线和圆的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。

对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点。

应试对策

圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。

一般圆主要和前面的相似三角形，和前面大的知识点接触。

就是说几何所有的东西都是通的，你学后面的就自然牵扯到前面的，前面的忘掉了，简单的东西忘掉了，后面要用就不会用了，所以几何前面学到的知识、常用知识，后面随时都在用。

直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了。

圆这一章，特别是有关圆的性质这两个单元，重要的概念、定理先掌握了，你首先要掌握这些，题目就是定理的简单应用，所以概念和定理没有掌握就谈不到应用，所以你首先应该掌握。

掌握之后，再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了。

你说你已经把一些这个单元的基本定理都掌握了，那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路，这样你把这些都掌握了，解决一些中等难题。

都是哪些思路呢？

我暂认为你基本知识掌握了，那么，在圆的有关性质这一章，你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢？

第一，这两章有三条常用辅助线，一章是圆心距，第二章是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离，这是一条常用的辅助线。

有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、常与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。

第一讲圆的有关性质

【回顾与思考】

〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质

〖大纲要求〗

1.正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；

2.熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。

一个

圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；

1,熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：

同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；

2.掌握和圆有关的角：

圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

3.掌握圆内接四边形的性质定理：

它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；

4.注意：

（1）垂径定理及其推论是指：

一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”

③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；

（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。

〖考查重点与常见题型〗

1.判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：

下列语句中，正确的有（）

（A）相等的圆心角所对的弧相等（B）平分弦的直径垂直于弦

（C）长度相等的两条弧是等弧（D）弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

2.论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。

此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。

【例题经典】

有关弦、半径、圆心到弦的距离之间的计算

例1如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

【分析】在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（

）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．

圆心角、弧、弦和垂径定理的应用

例2如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出

与

的数量关系，并给予证明．

【点评】该题是一道变式题，主要考查圆心角、弧和垂径定理的综合应用.

圆周角定理的应用

例3、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是（）

A、60°B、45°C、30°D、15°

答案：

A

例4已知：

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R．

（1）求证：

AB·AC=AD·AE；

（2）求证：

AB·AC·BC=4RS．

【解析】

（1）本题要证明的结论是“等积式”，通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．

（2）利用

（1）的结论和三角形的面积公式．

第二讲与圆有关的位置关系

【回顾与思考】

与圆有关的位置关系

直线和圆的位置关系

知识点：

直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理

大纲要求：

1．掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；

2．掌握判定直线和圆相切的三种方法并能应用它们解决有关问题：

（1）直线和圆有唯一公共点；

（2）d=R；（3）切线的判定定理（应用判定定理是满足一是过半径外端，二是与这半径垂直的二个条件才可判定是圆的切线）

3．掌握圆的切线性质并能综合运用切线判定定理和性质定理解决有关问题：

（1）切线与圆只有一个公共点；

（2）圆心到切线距离等于半径；（3）圆的切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；（6）切线长定理；（7）弦切角定理及其推论。

4，掌握三角形外切圆及圆外切四边形的性质及应用；

5．注意：

（1）当已知圆的切线时，切点的位置一般是确定的，在写条件时应说明直线和圆相切于哪一点，辅助线是作出过确定的半径；当证明直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径；即为“连半径证垂直得切线”；若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即为:

“作垂直证半径得切线”。

（2）见到切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。

（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。

考查重点与常用题型：

1．判断基求概念，基本定理等的证误。

在中考题中常以选择填空的形式考查形式对基本概念基求定理的正确理解，如：

已知命题：

（1）三点确定一个圆；

（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）对角线垂直且相等的四边形是正万形；（4）正多边形都是中心对称图形；（5）对角线相等的梯形是等腰梯形，其中错误的命题有（）

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

2．证明直线是圆的切线。

证明直线是圆的切线在各省市中考题中多见，重点考查切线的判断定理及其它圆的一些知识。

证明直线是圆的切线可通过两种途径证明。

3．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。

此种结论的证明重点考查了金等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识。

【例题经典】

直线与圆位置关系的判定

例1

（1）已知⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O有交点，则下列结论中正确的是（）

A．d=rB．d≤rC．d≥rD．d>r

【分析】此题解题关键是明白直线与圆的交点个数同直线与圆位置关系的联系，进而判断d与r的关系．

（2）已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径R=_____时，AB与⊙O相切．

【分析】此题关键是求出圆心C到直线AB的距离d．也就是求出Rt△ABC斜边上的高，常用方法是面积相等法．

第三讲圆的切线的性质和判定

【回顾与思考】

现实情境

【例题经典】

关于三角形内切圆的问题

例1如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）

A．130°B．100°C．50°D．65°

【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．

圆的切线性质的应用

例2已知：

如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连结AC．

（1）求证：

△ABC∽△POA；

（2）若AB=2，PA=

，求BC的长．（结果保留根号）

圆的切线的判定

例3已知：

如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA⊥AB，弦BC∥OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．

【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目．解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．

第四讲圆与圆的位置关系

知识点：

圆和圆的位置关系、两圆的连心线的性质、两圆的公切线

大纲要求：

1．了解两圆公切线的求法，掌握圆和圆的位置关系;

2．了解两圆位置关系与公共点个数、外公切线条数、内公切线条数以及d、R、r之间的关系;

3．掌握相交两圆的性质和相切两圆的性质;

4．注意

（1）圆与圆的五种位置关系相交和相切是重点；

（2）在解题中把两个圆中有关问题利用圆的性质和直线圆的位置关系的定理和性质转化为一般圆的问题；（3）涉及相交两圆的问题常可作出公共弦，利用圆周角定理及其推论或连心线垂直乎分公共弦。

公共弦可沟通两个圆的角之间关系，有了连心线，公共弦不仅可取应用相交两圆的性质定理且还能沟通两圆半径、公切线等之间的关系；（4）涉及相切两圆问题主要可从以下几个方面考虑；①过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理或切线长定理；②作出连心线，利用连心线过切点的性质；③利用两圆的圆心距等于两圆半径之和或之差；④当两圆外切时，利用连心线、外公切线及过公切线切点的两条毕径组成的直角梯形，将有关圆的间题转化为直线形间题，把梯形问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形来解决有关两圆公切线等问题。

考查重点与常甩题型：

1．判断基本概念、基本定理等的正误。

在中考题申常以选择题或填空题的

形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：

已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（）

（A）外离（B）外切（C）相交（D）内切

2．考查两圆位置关系中的相交及相切的性质，可以以各种题型形式出现，多见于选择题或填空题，有时在证明、计算及综合题申也常有出现。

【例题经典】

两圆位置关系的识别

例2

（1）已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）

A．内切B．相交C．外离D．外切

（2）如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）

A．相离B．外切C．内切D．相交

（3）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和5，圆心距O1O2=3，则这两圆的位置关系是（）

A．相离B．外切C．相交D．内切

（4）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为（）

A．10cmB．6cmC．10cm或6cmD．以上答案均不对

【分析】此例中4个题所考查的知识点都是：

两圆的位置关系的判定．解决问题的关键是弄清圆心距、两圆半径与两圆位置关系之间的联系．

例3如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°．

（1）求∠APB的度数；

（2）当OA=3时，求AP的长．

【点评】本题用到的知识点较多，主要知识点有：

①圆的切线的性质；②等腰三角形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等．

第五讲圆的有关计算

【回顾与思考】

知识点：

正多边形和圆、正多边形的有关计算、等分圆周、圆周长、弧长、圆的面积、扇形的面积、弓形的面积、面积变换

大纲要求：

1．了解用量角器等分圆周的方法，会用直尺和圆规画圆内接正方形和正多边形；

2．掌握正多边形的定义和有关概念、判定和性质；

3．熟练地将正多边形的边长、半径、边心距和中心角有关计算转变为解直角三角形问题来解诀；

4．熟练地运用圆周长、弧长公式、圆的扇形弓形面积公式进行有关计算；

5．明确图形构成，灵活运用、转化思想，提高解决综合图形面积的计算能力；

6．注意

（1）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，反之也成立；

（2）证多边形是轴对称图形，且正n边形有n条对称轴；（3）正多边形不一起是中心对称图形，有奇数条边的正多边形没有对称中心，有偶数条边的正多边形有对称中心就是它的中心；（4）解诀正多边形问题经常需要作出它的外接圆，可转化成解直角三角形问题。

考查重点与常见题型

求解线段的长及线段的比，角的大小，三角函数的值及阴影部分的面积等。

此类问题问题在近三年的中考题中也是多见，求线段的长及比，角的大小等多数是利用恰当地设未知数、列方程的思想方法来加以解决。

求阴影部分的面积除考查了扇形等图形面积的求法，还重点考查学生灵活应用知识的能力，求阴影部分的面积多半用两种方法解决:

一种是将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积的和或差；一种是恰当地引辅助线，将所求阴影部分的面积转化为所学过的易求图形的面积。

【例题经典】

有关弧长公式的应用

例1如图，Rt△ABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求

的长度．

【分析】求弧长时，只要分别求出圆心角和半径，特别是求半径时，要综合应用所学知识解题，如此题求半径时，就用到了相似．

有关阴影部分面积的求法

例2如图，以BC为直径，在半径为2圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（）

A．

-1B．

-2C．

-1D．

-2

【分析】有关此类不规则图形的面积问题，一般采用“割补法”化为几个已学过的规则图形求解．

求曲面上最短距离

例3如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是（）

A．2

B．4

C．4

D．5

【分析】在曲面上不好研究最短距离问题，可以通过展开图把曲面问题转化成平面问题，利用“两点之间，线段最短”来解决问题．