人教版七年级数学上《角的比较与运算》拓展训练.docx
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人教版七年级数学上《角的比较与运算》拓展训练
《角的比较与运算》拓展训练
一、选择题
1.如图,已知∠AON=15°,∠BON=40°,OA是∠BOC的平分线,OD⊥OB,则( )
A.射线OC的方向为东偏北25°
B.射线OC的方向为北偏东25
C.射线OD的方向为西偏南45°
D.射线OD的方向为南偏西50°
2.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向,同时轮船B在南偏东15°的方向,则∠AOB的大小为( )
A.69°B.111°C.159°D.141°
3.如图,三个营地中∠ACB=60°,在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,要到C地去,先沿北偏东70°方向到达B地,然后再沿北偏西20°方向到达目的地C,此时小霞在营地A的( )
A.北偏东20°方向上B.北偏东30°方向上
C.北偏东40°方向上D.北偏西30°方向上
4.已知∠AOB=70°,∠BOC=30°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,则∠MON的度数等于( )
A.50°B.20°C.20°或50°D.40°或50°
5.如图,∠AOB是直角,OA平分∠COD,OE平分∠BOD,若∠BOE=23°,则∠BOC的度数是( )
A.113°B.134°C.136°D.144°
6.如图,OB平分∠AOD,OC平分∠BOD,∠AOC=45°,则∠BOC=( )
A.5°B.10°C.15°D.20°
7.如图,两块直角三角板的直顶角O重合在一起,若∠BOC=
∠AOD,则∠BOC的度数为( )
A.30°B.45°C.54°D.60°
8.已知∠AOB=60°,其角平分线为OM,∠BOC=20°,其角平分线为ON,则∠MON的大小为( )
A.20°B.40°C.20°或40°D.30°或10°
9.若∠AOB=90°,∠BOC=40°,则∠AOC的度数为( )
A.50°B.50°或120°C.50°或130°D.130°
10.已知射线OC在∠AOB的内部,下列关系式
①∠AOC=∠BOC;②∠AOC+∠BOC=∠AOB;③∠AOB=2∠AOC;④∠BOC=
∠AOB.其中,能说明OC为∠AOB的平分线的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
11.如图,已知∠AOD=150°,OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线,若∠BOC=20°,∠AOB=10°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,当∠BOC在∠AOD内绕着点O以3°/秒的速度逆时针旋转t秒时,当∠AOM:
∠DON=3:
4时,则t= .
12.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西65°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的大小为 度.
13.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起,其中A、B、D三点在同一直线上,BM为∠CBE的平分线,BN为∠DBE的平分线,则∠MBN的度数为 .
14.如图1所示∠AOB的纸片,OC平分∠AOB,如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB(OA与OB重合),从O点引一条射线OE,使∠BOE=
∠EOC,再沿OE把角剪开,若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°,则∠AOB= °.
15.如图所示,点C,O,D在同一条直线上,∠AOC=40°,∠BOD=50°,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,则∠MON= .
三、解答题
16.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?
从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢?
17.已知∠AOB是一个直角,作射线OC,再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE.
(1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数;
(2)如图②,当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时,∠DOE的大小是否发生变化?
若变化,说明理由;若不变,求∠DOE的度数.
18.如图,将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,
(1)若∠DCE=35°,求∠ACB的度数;
(2)若∠ACB=140°,求∠DCE的度数;
(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系,并说明理由.
19.一副三角板ABC、DEF,如图
(1)放置,(∠D=30°、∠BAC=45°)
(1)求∠DBA的度数.
(2)若三角板DBE绕B点逆时针旋转,(如图2)在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC,则∠MBN如何变化?
(3)若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图(3)时,其它条件不变,则
(2)的结论是否变化?
20.如图,OC是∠AOB内一条射线,OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线.
(1)如图①,当∠AOB=80°时,则∠DOE的度数为 °;
(2)如图②,当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时,∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系?
并说明理由;
(3)当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时,
(2)中三个角:
∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立?
给出结论并说明理由;
(4)当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时,∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是 .
《角的比较与运算》拓展训练
参考答案与试题解析
一、选择题
1.如图,已知∠AON=15°,∠BON=40°,OA是∠BOC的平分线,OD⊥OB,则( )
A.射线OC的方向为东偏北25°
B.射线OC的方向为北偏东25
C.射线OD的方向为西偏南45°
D.射线OD的方向为南偏西50°
【分析】依据∠AON=15°,∠BON=40°,OA是∠BOC的平分线,可得∠CON=55°+15°=70°,即可得出射线OC表示北偏东70°方向;依据∠DOS=∠BOW=50°,即可得出射线OD的方向为南偏西50°.
【解答】解:
∵∠AON=15°,∠BON=40°,OA是∠BOC的平分线,
∴∠AOC=∠AOB=55°,
∴∠CON=55°+15°=70°,
∴射线OC表示北偏东70°方向,
∵∠BON=40°,
∴∠BOW=50°,
∵OD⊥OB,OS⊥OW,
∴∠DOS=∠BOW=50°,
∴射线OD的方向为南偏西50°,
故选:
D.
【点评】本题主要考查了方向角,用方向角描述方向时,通常以正北或正南方向为角的始边,以对象所处的射线为终边,故描述方向角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西.
2.在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向,同时轮船B在南偏东15°的方向,则∠AOB的大小为( )
A.69°B.111°C.159°D.141°
【分析】根据方向角,可得∠1,∠2,根据角的和差,可得答案.
【解答】解:
如图
,
由题意,得
∠1=54°,∠2=15°.
由余角的性质,得
∠3=90°﹣∠1=90°﹣54°=36°.
由角的和差,得
∠AOB=∠3+∠4+∠2=36°+90°+15°=141°,
故选:
D.
【点评】本题考查了方向角,利用方向角得出∠1,∠2是解题关键.
3.如图,三个营地中∠ACB=60°,在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,要到C地去,先沿北偏东70°方向到达B地,然后再沿北偏西20°方向到达目的地C,此时小霞在营地A的( )
A.北偏东20°方向上B.北偏东30°方向上
C.北偏东40°方向上D.北偏西30°方向上
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求∠ABC的度数,然后根据三角形的内角和求∠CAB的度数,再结合角的和差求出∠NAC的度数即可.
【解答】解:
∵NA∥BE,
∴∠ABC=180°﹣∠NAB﹣∠CBE=90°,
∵∠ACB=60°,
∴∠CAB=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°,
∴∠NAC=∠NAB﹣∠CAB=70°﹣30°=40°.
故选:
C.
【点评】解答此类题需要从运动的角度,根据方位角的度数,再结合三角形的内角和与平行线的性质求解.
4.已知∠AOB=70°,∠BOC=30°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,则∠MON的度数等于( )
A.50°B.20°C.20°或50°D.40°或50°
【分析】根据题意画出图形,利用分类讨论求出即可.
【解答】解:
如图1所示:
∵∠AOB=70°,∠BOC=30°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,
∴∠MON=∠BOM+∠BON=
∠AOB+
∠BOC=
×(70°+30°)=50°,
如图2所示:
∵∠AOB=70°,∠BOC=30°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,
∴∠MON=∠BOM﹣∠BON=
∠AOB﹣
∠BOC=
×(70°﹣30°)=20°.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了角平分线的定义,正确利用分类讨论得出是解题关键.
5.如图,∠AOB是直角,OA平分∠COD,OE平分∠BOD,若∠BOE=23°,则∠BOC的度数是( )
A.113°B.134°C.136°D.144°
【分析】首先根据OE平分∠BOD,∠BOE=23°,求出∠BOD的度数是多少;然后根据∠AOB是直角,求出∠AOD的度数,再根据OA平分∠COD,求出∠COD的度数,据此求出∠BOC的度数是多少即可.
【解答】解:
∵OE平分∠BOD,∠BOE=23°,
∴∠BOD=23°×2=46°;
∵∠AOB是直角,
∴∠AOD=90°﹣46°=44°,
又∵OA平分∠COD,
∴∠COD=2∠AOD=2×44°=88°,
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=46°+88°=134°.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了角的计算,以及角平分线的含义和求法,要熟练掌握.
6.如图,OB平分∠AOD,OC平分∠BOD,∠AOC=45°,则∠BOC=( )
A.5°B.10°C.15°D.20°
【分析】利用角平分线得到∠AOB=∠BOD=2∠BOC,借助图形即可求出∠BOC.
【解答】解:
∵OC平分∠BOD,
∴∠BOD=2∠BOC,
∵OB平分∠AOD,
∴∠AOB=∠BOD=2∠BOC,
∵∠AOC=45°,
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC=45°,
∴∠BOC=
∠AOC=15°,
故选:
C.
【点评】此题是角平分线的定义,解本题的关键是借助图形找到角与角之间的关系,也可以方程的思想解决本题.
7.如图,两块直角三角板的直顶角O重合在一起,若∠BOC=
∠AOD,则∠BOC的度数为( )
A.30°B.45°C.54°D.60°
【分析】此题“两块直角三角板”可知∠DOC=∠BOA=90°,根据同角的余角相等可以证明∠DOB=∠AOC,由题意设∠BOC=x°,则∠AOD=5x°,结合图形列方程即可求解.
【解答】解:
由两块直角三角板的直顶角O重合在一起可知:
∠DOC=∠BOA=90°
∴∠DOB+∠BOC=90°,∠AOC+∠BOC=90°,
∴∠DOB=∠AOC,
设∠BOC=x°,则∠AOD=5x°,
∴∠DOB+∠AOC=∠AOD﹣∠BOC=4x°,
∴∠DOB=2x°,
∴∠DOB+∠BOC=3x°=90°
解得:
x=30
故选:
A.
【点评】此题主要考察有关角的推理和运算,理清图中的角的和差关系,并结合方程求解是解题的关键.
8.已知∠AOB=60°,其角平分线为OM,∠BOC=20°,其角平分线为ON,则∠MON的大小为( )
A.20°B.40°C.20°或40°D.30°或10°
【分析】根据题意,画出图形,分两种情况讨论:
∠BOC在∠AOB内部和外部.
【解答】
解:
∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB=60°,其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°,其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°;
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB=60°,其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°,其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°.
故选:
C.
【点评】本题主要考查平分线的性质,知道∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况是解题的关键.
9.若∠AOB=90°,∠BOC=40°,则∠AOC的度数为( )
A.50°B.50°或120°C.50°或130°D.130°
【分析】根据题意可得此题要分两种情况,一种是OC在∠AOB内部,另一种是在∠AOB外部.
【解答】解:
∵∠AOB=90°,∠BOC=40°,
∴①如图1,
∠AOC=90°+40°=130°,
②如图2,
∠AOC=90°﹣40°=50°,
故选:
C.
【点评】此题主要考查了角的计算,关键是注意此题分两种情况.
10.已知射线OC在∠AOB的内部,下列关系式
①∠AOC=∠BOC;②∠AOC+∠BOC=∠AOB;③∠AOB=2∠AOC;④∠BOC=
∠AOB.其中,能说明OC为∠AOB的平分线的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据OC是∠AOB的角平分线,得出∠AOC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC(或2∠AOC),∠AOC(或∠BOC)=
∠AOB.
【解答】解:
①∵∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,正确;
②∵∠AOC+∠BOC=∠AOB,
∴假如∠AOC=30°,∠BOC=40°,∠AOB=70°,符合上式,但是OC不是∠AOB的角平分线,错误;
③∵∠AOB=2∠BOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,正确;
④∵∠AOC=
∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOC=∠AOC+∠BOC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC平分∠AOB,
即OC是∠AOB的角平分线,正确.
故选:
C.
【点评】本题考查了角平分线的定义,注意:
角平分线的表示方法,①OC是∠AOB的角平分线,②∠AOC=∠BOC,③∠AOB=2∠BOC(或2∠AOC),④∠AOC(或∠BOC)=
∠AOB.
二、填空题
11.如图,已知∠AOD=150°,OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线,若∠BOC=20°,∠AOB=10°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,当∠BOC在∠AOD内绕着点O以3°/秒的速度逆时针旋转t秒时,当∠AOM:
∠DON=3:
4时,则t=
.
【分析】由题意得∠AOM=
(10°+2t+20°),∠DON=
(150°﹣10°﹣2t),由此列出方程求解即可.
【解答】解:
∵射线OB从OA逆时针以3°每秒的旋转t秒,∠BOC=20°,
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=3t°+10°+20°=3t°+30°.
∵射线OM平分∠AOC,
∴∠AOM=
∠AOC=
t°+15°.
∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA,∠AOD=150°,
∴∠BOD=140°﹣3t.
∵射线ON平分∠BOD,
∴∠DON=
∠BOD=70°﹣
t°.
又∵∠AOM:
∠DON=3:
4,
∴(
t+15):
(70﹣
t)=3:
4,
解得t=
.
故答案是:
.
【点评】此题主要考查角平分线的定义,根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化,然后根据已知条件求解.
12.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西65°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的大小为 115 度.
【分析】根据平行线的性质,角的和差,可得答案.
【解答】解:
作CD∥AE∥BF,如图
,
由C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西65°方向,得
∠1=50°,∠4=65°.
由CD∥AE∥BF,得
∠2=∠1=50°,∠3=∠4=65°,
∠ACB=∠2+∠3=50°+65°=115°,
故答案为:
115.
【点评】本题考查了方向角,利用平行线的性质得出得出∠2=50°,∠3=65°是解题关键,又利用了角的和差.
13.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起,其中A、B、D三点在同一直线上,BM为∠CBE的平分线,BN为∠DBE的平分线,则∠MBN的度数为 67.5° .
【分析】先求得∠CBE=75°,再根据BM为∠CBE的平分线,BN为∠DBE的平分线,可得∠MBE=37.5°,∠EBN=30°,进而得出∠MBN=67.5°.
【解答】解:
由题可得,∠ABC=45°,∠DBE=60°,∠ABD=180°,
∴∠CBE=75°,
又∵BM为∠CBE的平分线,BN为∠DBE的平分线,
∴∠MBE=37.5°,∠EBN=30°,
∴∠MBN=67.5°,
故答案为:
67.5°
【点评】本题主要考查了角平分线的定义,利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键.
14.如图1所示∠AOB的纸片,OC平分∠AOB,如图2把∠AOB沿OC对折成∠COB(OA与OB重合),从O点引一条射线OE,使∠BOE=
∠EOC,再沿OE把角剪开,若剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°,则∠AOB= 114 °.
【分析】①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和,记作:
∠AOB=∠AOC+∠BOC.∠AOC是∠AOB和∠BOC的差,记作:
∠AOC=∠AOB﹣∠BOC.
②若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
【解答】解:
∵OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC
又∵剪开后得到的3个角中最大的一个角为76°,
∴2∠COE=76°
∴∠COE=38°
又∵∠BOE=
∠EOC,
∴∠BOE=
×38°=19°
∴∠BOC=∠BOE+∠EOC=19°+38°=57°
则∠AOB=2∠BOC=2×57°=114°
故答案为:
114°
【点评】本题主要考查了角度平分线将角平分后角之间的倍数关系.
15.如图所示,点C,O,D在同一条直线上,∠AOC=40°,∠BOD=50°,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,则∠MON= 135° .
【分析】根据角平分线的定义得到∠MOA=
∠AOC=20°,∠NOB=
∠BOD=25°,结合图形计算即可.
【解答】解:
∵∠AOC=40°,∠BOD=50°,
∴∠AOB=90°,
∵OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
∴∠MOA=
∠AOC=20°,∠NOB=
∠BOD=25°,
∴∠MON=∠MOA+∠AOB+∠NOB=135°,
故答案为:
135°.
【点评】本题考查的是角的计算,掌握角的和差计算、正确认识图形是解题的关键.
三、解答题
16.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?
从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢?
【分析】根据方向角的概念,利用平行线的性质,结合三角形的内角和定理即可求解.
【解答】解:
∵C岛在A岛的北偏东50°方向,
∴∠DAC=50°,
∵C岛在B岛的北偏西40°方向,
∴∠CBE=40°,
∴∠DAC+∠CBE=90°,
∵B岛在A岛的北偏东80°方向,
∴∠DAB=80°,
∴∠CAB=∠DAB﹣∠DAC=80°﹣50°=30°,
∵DA∥EB,
∴∠DAB+∠EBA=180°,
即∠DAC+∠CAB+∠CBA+∠CBE=180°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠ACB=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=90°,
∠ABC=90°﹣30°=60°.
答:
从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60度,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90度.
【点评】本题主要考查了方向角的定义,平行线的性质及三角形的内角和定理,难度适中.正确理解方向角的定义是解题的关键.
17.已知∠AOB是一个直角,作射线OC,再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE.
(1)如图①,当∠BOC=70°时,求∠DOE的度数;
(2)如图②,当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时,∠DOE的大小是否发生变化?
若变化,说明理由;若不变,求∠DOE的度数.
【分析】
(1)根据角平分线的定义,OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,则可求得∠COE、∠COD的值,∠DOE=∠COE+∠COD;
(2)结合角的特点,∠DOE=∠DOC+∠COE,求得结果进行判断和计算.
【解答】解:
(1)∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC,
∴∠COE=
∠COB=35°,∠COD=
∠AOC=10°,
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°;
(2)∠DOE的大小不变等于45°,
理由:
∠DOE=∠DOC+∠COE=
∠COB+
∠AOC
=
(∠COB+∠AOC)
=
∠AOB
=45°.
【点评】此题考查角的计算与角平分线的意义,熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键.
18.如图,将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,
(1)若∠DCE=35°,求∠ACB的度数;
(2)若∠ACB=140°,求∠DCE的度数;
(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系,并说明理由.
【分析】本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数,根据角的和差就可以求出∠ACB,∠DCE的度数;根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系,结合前两问的解决思路得出证明.
【解答】解:
(1)∵∠ECB=90°,∠DCE=35°
∴∠DCB=90°﹣35°=55°
∵∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°.
(2)∵∠ACB=140°,∠ACD=90°
∴∠DCB=140°﹣90°=50°
∵∠ECB=90°
∴∠DCE=90°﹣50°=40°.
(3)猜想得∠ACB+∠DCE=180°(或∠ACB与∠DCE互补)
理由:
∵∠ECB=90°,∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=180°.
【点评】记忆三角板各角的度数,把所求的角转化为已知角的和与差.
19.一副三角板ABC、DEF,如图
(1)放置,(∠D=30°、∠BAC=45°)
(1)求∠DBA的度数.
(2)若三角板DBE绕B点逆时针旋转,(如图2)在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC,则∠MBN如何变化?
(3)若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图(3)时,其它条件不变,则
(2)的结论是否变化?
【分析】
(1)根据角的和差关系即可求解;
(2)设∠ABE=x°,则∠ABD=60﹣x°、∠CBE=45°﹣x°,根据中点的定义以及∠MBN=∠ABM+∠ABE+∠EBN即可求解;
(3)设∠ABE=x°,则∠ABD=60﹣x°、∠CBE=45°﹣x°,根据中点的定义以及∠MBN=∠ABM﹣∠ABE+∠EBN即可求解.
【解答】解:
(1)∠DBA=∠DBC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°;
(2)∠MBN的度数不变化,理由如下:
设∠ABE=x°,则∠ABD=60﹣x°、∠CBE=45°﹣x°,
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