高中函数定义域和值域的求法总结.docx
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高中函数定义域和值域的求法总结
高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
例1求函数
的定义域。
解:
要使函数有意义,则必须满足
由①解得
或
。
③
由②解得
或
④
③和④求交集得
且
或x>5。
故所求函数的定义域为
。
例2求函数
的定义域。
解:
要使函数有意义,则必须满足
由①解得
③
由②解得
④
由③和④求公共部分,得
故函数的定义域为
评注:
③和④怎样求公共部分?
你会吗?
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。
(1)已知
的定义域,求
的定义域。
(2)其解法是:
已知
的定义域是[a,b]求
的定义域是解
,即为所求的定义域。
例3已知
的定义域为[-2,2],求
的定义域。
解:
令
,得
,即
,因此
,从而
,故函数的定义域是
。
(2)已知
的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:
已知
的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:
由
,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
例4已知
的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
解:
因为
。
即函数f(x)的定义域是
。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析:
函数的定义域为R,表明
,使一切x∈R都成立,由
项的系数是m,所以应分m=0或
进行讨论。
解:
当m=0时,函数的定义域为R;
当
时,
是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是
综上可知
。
评注:
不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。
例6已知函数
的定义域是R,求实数k的取值范围。
解:
要使函数有意义,则必须
≠0恒成立,因为
的定义域为R,即
无实数
①当k≠0时,
恒成立,解得
;
②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立。
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