初中变量之间的关系.docx

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初中变量之间的关系

中考变量之间的关系

第一节用表格表示变量之间的关系

知识点一变量、自变量、因变量、常量的定义

一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量成为变量.如果有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，两一个变量也有唯一的一个数值与其对应，那么，通常前一个变量叫自变量，后一个变量叫做因变量.在变化过程中数值始终不变的的那个量叫做常量.

注意：

（1）常亮与变量往往是相对的，相当于某个变化过程.

（2）在某一变化过程中，可能有一个或几个常量，不可能没有变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量.

知识点二自变量与因变量的区别与联系

自变量与因变量共同存在于一个变化过程中，它们既有区别又有联系.

因变量随自变量的变化情况：

自变量

因变量

联系

（1）两个量都是某个变化过程中的量.

（2）两个量由于问题的不同可以互相转化.

区别

先发生变化

后发生变化或随自变量的变化而变化

知识点三从表格中获取信息对变化趋势进行初步预测

借助表格可以表示两个变量之间的关系.

表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中发现因变量随自变量变化存在一定的规律——或者增加或者减少或者呈规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测.

用列表法表示两个变量之间的关系时，表格只能提供自变量与因变量对应的部分数据，不能全面反映两个变量之间的关系，想要知道表格中没有出现的自变量与因变量的对应数据，需要对表格中的数据进行分析，从已知部分数据中观察变量的变化规律并依此估计未在表格中出现的数据.

例题1.某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）

A.y，t和100都是变量B.100和y都是常量

C.y和t是变量D.100和t都是常量

练习1.下表是某报纸公布的世界人口数情况：

年份

1957

1974

1987

1999

2010

人口数

30亿

40亿

50亿

60亿

70亿

上表中的变量是（）

A.仅有一个，是年份B.仅有一个，是人口数 

C.有两个变量，一个是人口数，另一个是年份D.一个变量也没有

练习2.某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，填写下表.

份数/份

1

2

3

4

…

价钱/元

…

在这个问题中，___________是常量；___________是变量.

练习3.王老师开车去加油站加油，发现加油表如图所示.

加油时，单价其数值固定不变，表示“数量”、“金额”的量一直在变化，

数量

2.45　（升）

金额

16.66　（元）

单价

6.80（元/升）

在这三个量中，__________是常量，__________是自变量，__________是因变量.

练习4.在利用太阳能热水器给水加热的过程中，热水器里水的温度随所晒太阳光时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）

A.太阳光的强弱B.热水器里水的温度C.所晒太阳光的时间D.热水器

练习5.一个圆柱的高h为10cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（）

A．r是因变量，V是自变量B．r是自变量，V是因变量

C．r是自变量，h是因变量D．h是自变量，V是因变量

练习6.明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（ ）。

A：

明明B：

爷爷C：

时间D：

电话费

练习7.2012年1—12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是_________，因变量是_________；当自变量等于_________时，因变量的值最小为_________.

例题2.声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称声速）与气温x（℃）的关系如下表所示.

气温x/℃

0

5

10

15

20

声速y/（m/s）

331

334

337

340

343

上表中___________是自变量，__________是因变量.照此规律可以发现，当气温x为__________℃时，声速y达到346m/s.

练习1.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：

x

0

1

2

3

4

5

y

10

10.5

11

11.5

12

12.5

下列说法不正确的是（）

A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm

C.y与x的关系表达式是

D.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm

练习2.某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时，主要依据的是下面表格的数据：

鸡的质量（千克）

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

烤制时间（分）

40

60

80

100

120

140

160

180

 设鸡的质量为 x 千克，烤制时间为 t 分，则当 x ＝3.2千克时， t ＝（　　）

A.140分B.138分C.148分D.160分

练习3.赵先生手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）：

年龄x/岁

0

3

6

9

12

15

18

21

24

身高h/cm

48

100

130

140

150

158

165

170

170.4

下列说法中错误的是（）

A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢

B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了

C.赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm

D.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1cm

练习4.小明和他爸爸做了一个实验，小明由一幢245米高的楼顶随手放下一只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间之间有下面的关系：

下落时间t（s）

1

2

3

4

5

6

下落路程s（m）

5

20

45

80

125

180

下列说法错误的是（）

A.苹果每秒下落的路程不变B.苹果每秒下落的路程越来越长

C.苹果下落的速度越来越快D.可以推测，苹果下落7秒后到达地面

练习5.如图，圆柱的高是3cm，当圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之发生了变化.

（1）在这个变化中，自变量是__________，因变量是__________；

（2）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆柱的体积增加了__________cm3.

练习6.父亲告诉小明：

“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了下面的表格.

距离地面高度（千米）

0

1

2

3

4

5

温度（℃）

20

14

8

2

-4

-10

根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答.

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?

哪个是自变量?

哪个是因变量?

（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的?

（3）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗?

练习7.在烧水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据：

时间/min

0

2

4

6

8

10

12

14

…

温度/℃

30

44

58

72

86

100

100

100

…

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?

哪个是自变量?

哪个是因变量?

（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的?

（3）时间每推移2min，水的温度如何变化?

（4）时间为8min时，水的温度为多少?

你能得出时间为9min时水的温度吗?

（5）根据表格，你认为时间为16min和18min时水的温度分别为多少?

（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水?

练习8.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：

min）之间有如下关系（其中0≤x≤20）：

提出概念所用时间x/min

2

5

7

10

12

13

14

17

20

对概念的接受能力y

47.8

53.5

56.3

59

59.8

59.9

59.8

58.3

55

（注：

接受能力值越大，说明学生的接受能力越强）

（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系?

哪个是自变量?

哪个是因变量?

（2）当提出概念所用时间是10min时，学生的接受能力是多少?

（3）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为多少时，学生的接受能力最强?

（4）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强?

当提出概念所用时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低?

练习9.在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值． 

所挂物体质量x/kg

0

1

2

3

4

5

弹簧长度y/cm

18

20

22

24

26

28

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？

哪个是自变量？

哪个是因变量？

（2）当所挂物体重量为3千克时，弹簧多长？

不挂重物时呢？

（3）若所挂重物为7千克时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？

练习10.金融危机虽然给世界各国带来不小的冲击，但某公司励精图治，决定投资开发新项目，通过考察确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：

所需资金/亿元

1

2

4

6

7

8

预计年利润/千万元

0.2

0.35

0.55

0.7

0.9

1

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?

哪个是自变量?

哪个是因变量?

（2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少?

（3）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要多少资金?

（4）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案?

哪种方案年利润最大?

最大是多少?

第二节用表达式表示变量之间的关系

知识点一用表达式表示两个变量之间的关系

用来表示自变量与因变量之间的关系的数学式子称为表达式，表达式是表示变量之间关系的另一种方法.例如，若正方形的边长为x，面积为y，则

.

这个表达式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是自变量，y是因变量.

提示：

（1）表示两个变量之间关系的表达式的特征：

①表达式是等式；②表达式的左边是因变量，右边是关于自变量的代数式；③表达式中只含有自变量和因变量两个变量，其他是常量.

（2）写变化过程中的两个变量的表达式，实际上是根据题意中的等量关系列出方程，然后两方程变形为表达式的形式.

（3）用表格和表达式表示两个变量之间的关系有各自的优缺点：

①用表格表示变量之间的关系能直接的得到变量之间某些具体的对应值，但不能反映变量的整体情况；②用表达式表示变量之间的关系简洁明了，便于分析计算，但需要通过计算才能得到所需结果.

知识点二根据表达式求值

根据表达式求值实际上就是求代数式的值，比如

，y的值就是

的值.因此我们可以利用代数式的值的方法来求值，即当

时，

.

例题1.有一本书，每20页厚1cm，从第一页到第x页的厚度为y cm，则（   ）

A.

B.

C.

D.

练习1.某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了

，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x（km），邮箱中剩油量为y（L），则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（）

A.

，

B.

，

C.

，

D.

，

练习2.已知圆柱的高为3cm，当圆柱的底面半径r（cm）由小变大时，圆柱的体积V（cm 3）随之变化，则V与r的关系式是（）

A．V=πr2B．V=3πr2C．V=

πr2D．V=9πr2

练习3.一个长方形的周长为30，则长方形的面积y与长方形一边长x满足的函数关系式为（）

A.y＝x（15－x）B.y＝x（30－x）C.y＝x（30－2x）D.y＝x（15＋x）

练习4.百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的基础上加上一定的利润，其数量x与总售价y的对应关系如下表：

数量/x米

1

2

3

4

...

总售价/y元

8+0.3

16+0.6

24+0.9

32+1.2

...

下列用数量x表示售价y的表达式中，正确的是（）

A.y=8x+0.3B.y=（8+0.3）xC.y=8+0.3xD.y=8+0.3+x

例题2.变量y与x之间的关系是

，当自变量

时，因变量y的值是（）

A.-2B.-1C.1D.3

练习1.在关系式

中，当自变量

时，因变量y的值是（）

A.1B.7C.25D.31

练习2.某地海拔高度h与温度T的关系可用T=21-6h来表示（其中温度单位为℃，海拔高度单位为km），则该地区某海拔高度为2000m的山顶上的温度为（）

A．15℃B．9℃C．3℃D．7℃

练习3.一个长方体的体积为12cm 3，当底面积不变，高增大时，长方体的体积发生变化，若底面积不变，高变为原来的3倍，则体积变为（）

A.12cm3B.24cm3C.36cm3D.48cm3

练习4.根据下图所示的程序计算y的值，若输入的x值为

，则输出的结果为（）

A.

B.

C.

D.

练习5.如图，若输入x的值为-5，则输出的结果为（）

A.-6B.-5C.5D.6

练习6.一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每增加1℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R（欧）与温度t（℃）的关系式是（）

A.R=0.008tB.R=2+0.008tC.R=2.008tD.R=2t+0.008

练习7.汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式及自变量的取值范围是（）

A.s＝120－30t（0≤t≤4）B.s＝30t（0≤t≤4）

C.s＝120－30t（t＞0）D.s＝30t（t＝4）

练习8.已知△ABC的底边BC上的高为8cm，当它的底边BC从16cm变化到5cm时，△ABC的面积（）

A.从20cm2变化到64cm2B.从64cm2变化到20cm2

C.从128cm2变化到40cm2D.从40cm2变化到128cm2

练习9.如图，梯形的上底长是5cm，下底长是11cm.当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化. 

（1）在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是____________；  

（2）梯形的面积y（cm 2）与高x（cm）之间的关系式为____________；  

（3）当梯形的高由10cm变化到1cm时，梯形的面积由____________变化到____________.

练习10.圆柱的高是10cm，圆柱底面圆的半径为rcm，圆柱的侧面展开图的面积为Scm2.圆柱侧面展开图的面积S与圆柱底面圆的半径r之间的表达式是____________________.

练习11.夏天高山上的气温从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山脚下的气温是23℃，则气温y（℃）与上升的高度x（m）之间的关系式为__________；当x＝500时，y＝__________；当y＝16时，x＝__________.

练习12.某市的出租车收费按里程计算，3km内（含3km）收费5元，超过3km，每增加1km加收1元，则路程

时，车费y（元）与x（km）之间的关系式是____________________．

练习13.有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下1m，称得它的质量是0.06kg.

（1）写出这种电线长度与质量之间的表达式；

（2）如果一捆电线剪下1m后的质量为bkg，请写出这捆电线的总长度.

练习14.某市出租车车费标准如下：

3km以内（含3km）收费8元；超过3km的部分每千米收费1.6元.

（1）写出应收费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式（其中x≥3）.

（2）小亮乘出租车行驶4km，应付多少元？

（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？

练习15.如图，在三角形ABC中，底边BC=4cm，高AD=3cm，E为AD上一动点，当点E从点D向点A运动时，△BEC的面积发生了变化.

（1）在这个变化过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？

（2）如果设DE的长为x（cm），△BEC的面积为y（cm2），怎样用含x的式子表示y？

练习16.自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm. 

（1）观察图形，填写下表：

链条的节数/节

2

3

4

…

链条的长度/cm

…

（2）如果x节链条的长度为y（cm），那么y与x之间的关系式是什么?

（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少?

练习17.某超市为方便顾客购买，将瓜子放入包装袋内出售，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表（售价中的0.10元是包装袋的费用）：

质量x/kg

售价y/元

1

15.00+0.10

2

30.00+0.10

3

45.00+0.10

4

60.00+0.10

……

……

（1）观察表格，写出y与x之间的关系式.

（2）买8kg这种瓜子需花费多少元?

（3）用100元去买这种瓜子，最多能买多少千克?

练习18.大陆相关部门于2008年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：

每千克售价（元）

38

37

36

35

…

20

每天销量（千克）

50

52

54

66

…

86

 设当单价从38元/千克下调了x元时，销售量为y千克；

（1）写出y与x间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；

（2）如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？

练习19.如图，将长为50cm，宽为10cm的长方形白纸粘合起来，黏合部分宽为2cm.

（1）求5张白纸黏合后的长度；

（2）设x张白纸黏合后的长度为ycm，写出y与x的关系式，并求出当x＝10时，y的值.

练习20.已知：

功率×做功时间=力×位移。

设功率为P（瓦），做功时间为t（秒）。

一辆拖车用9000牛的力把一辆陷在水沟里的汽车拖出6米，所用时间为t秒。

（1）求P关于t的函数关系式；

（2）如果这辆拖车只用6秒，就把这辆陷在水沟里的汽车拖出6米，问拖车的功率是多少千瓦？

（3）如果改用功率为1.44千瓦的拖车用同样的力把这辆陷在水沟里的汽车拖出6米，则需要多少时间（

）？

第三节用图像表示变量之间的关系

知识点一用图像表示变量之间的关系

1.用图像表示变量之间的关系的方法叫图象法，它是表示变量之间关系的第三种方法.

2.用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.

3.要从图像中获取信息，我们必须结合具体情境理解图像上的点所表示的意义.理解图像上的某一点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示那个变量；二要看该点所在的水平方向、竖直方向的位置，这样才能得到该点的准确意义.通常过图像上的一点向横轴做垂线，其垂足表示的数据就是自变量的一个区直，然后过该点再向纵轴做垂线，其垂足表示的数据就是与自变量的值对应的因变量的值.

4.读图像时，应注意横、纵坐标的对应值和图像变化中的两个变量存在的对应关系，善于观察变化的趋势.

5.图像法的特点是形象、只管，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，其不足是由图像法难以得到准确的对应值.

6.描述变量之间关系的方法：

表格、表达式、图象.它们的特点如下：

表达方式

特点

表格

多个变量可以同时出现在一张表格中

表达式

准确的反映了因变量与自变量的数值关系

图象

形象地给出了因变量随自变量的变化趋势

知识点二速度与时间图像解读

横轴表示时间，纵轴表示速度.如图所示，

①从左向右上升的线代表物体从速度0开始加速运动.

②与横轴平行的线代表物体匀速运动.

③从左向右下降且与t轴相交的线代表物体减速运动到停止.

提示：

在速度与时间的图像中反映的是速度与随时间变化的情况，不能误认为真实的行驶轨迹.

知识点三路程与时间图像解读

横轴表示时间，纵轴表示路程.如图所示，

①自左向右上升的线代表物体匀速运动.

②与横轴平行的线代表物体停止运动.

③自左向右下降且与横轴相交的线代表物体反向运动直至回到原地.

曲线型图象表示的变量间关系

例题1.用固定的速度往如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关系的大致图象是 （　　）

A.

B.

C.

D.

练习1.如图是某市2012年某天的气温随时间变化的图象，那么这天（）

A.最高气温是10℃，最低气温是2℃B.最高气温是10℃，最低气温是-2℃

C.最高气温是6℃，最低气温是-2℃D.最高气温是6℃，最低气温是2℃

练习2.如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）

A.凌晨4时气温最低为﹣3℃B.14时气温最高为8℃

C.从0时至14时，气温随时间增长而上升D.从14时至24时，气温随时间增长而下降

练习3.已知某函数的图象如图所示，根据