XX届高考数学第一轮立体几何专项复习平面与平面的位置关系.docx
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XX届高考数学第一轮立体几何专项复习平面与平面的位置关系
XX届高考数学第一轮立体几何专项复习:
平面与平面的位置关系
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平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
【课时目标】 1.理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义.2.掌握两个平面平行的判定和性质定理,并能运用其解决一些具体问题.
.平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有________________都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符号表示为________________________.
2.平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,________________________.
符号表示为:
________________⇒a∥b.
3.面面平行的其他性质:
两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于________________,即α∥βa⊂α⇒
________,可用来证明线面平行;
夹在两个平行平面间的平行线段________;
平行于同一平面的两个平面________.
一、填空题
.平面α∥平面β,a⊂α,b⊂β,则直线a、b的位置关系是__________.
2.下列各命题中假命题有________个.
①平行于同一直线的两个平面平行;
②平行于同一平面的两个平面平行;
③一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个相交;
④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行,则α∥β.
3.过正方体ABcD-A1B1c1D1的三个顶点A1、c1、B的平面与底面ABcD所在平面的交线为l,则l与A1c1的位置关系是________.
4.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是________.
①α内有无数条直线平行于β;
②α内不共线三点到β的距离相等;
③l、m是平面α内的直线,且l∥α,m∥β;
④l、m是异面直线且l∥α,m∥α,l∥α,m∥β.
5.已知α∥β且α与β间的距离为d,直线a与α相交于点A、与β相交于B,若AB=233d,则直线a与α所成的角等于________.
6.如图所示,P是三角形ABc所在平面外一点,平面α∥平面ABc,α分别交线段PA、PB、Pc于A′、B′、c′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′c′∶S△ABc=________.
7.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是________.
①a∥cb∥c⇒a∥b; ②a∥γb∥γ⇒a∥b;
③α∥cβ∥c⇒α∥β;
④α∥γβ∥γ⇒α∥β;
⑤α∥ca∥c⇒α∥a;
⑥α∥γa∥γ⇒a∥α.
8.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,c,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,Ac=9,PD=8,则BD的长为________.
9.如图所示,在正方体ABcD—A1B1c1D1中,E、F、G、H分别是棱cc1、c1D1、D1D、cD的中点,N是Bc的中点,点m在四边形EFGH及其内部运动,则m满足________时,有mN∥平面B1BDD1.
二、解答题
0.如图所示,在正方体ABcD-A1B1c1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是Bc、Dc和Sc的中点.求证:
平面EFG∥平面BDD1B1.
11.如图,在三棱柱ABc-A1B1c1中,m是A1c1的中点,平面AB1m∥平面Bc1N,Ac∩平面Bc1N=N.
求证:
N为Ac的中点.
能力提升
2.如图所示,已知正方体ABcD-A1B1c1D1中,面对角线AB1,Bc1上分别有两点E、F,且B1E=c1F.求证:
EF∥平面ABcD.
13.如图所示,B为△AcD所在平面外一点,m,N,G分别为△ABc,△ABD,△BcD的重心.
求证平面mNG∥平面AcD;
求S△mNG∶S△ADc.
.判定平面与平面平行的常用方法有:
利用定义,证明两个平面没有公共点,常用反证法.利用判定定理.利用平行平面的传递性,即α∥β,β∥γ,则α∥γ.
2.平面与平面平行主要有以下性质:
面面平行的性质定理.两个平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面.夹在两个平行平面之间的平行线段相等.
.2.4 平面与平面的位置关系
第1课时 两平面平行的判定及性质
答案
知识梳理
.两条相交直线
a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β⇒α∥β
2.那么所得的两条交线平行 α∥βα∩γ=aβ∩γ=b
3.另一个平面 a∥β 相等 平行
作业设计
.平行或异面 2.2
3.平行
解析 由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的.
4.④ 5.60°
6.4∶25
解析 面α∥面ABc,面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,同理B′c′∥Bc,
易得△ABc∽△A′B′c′,
S△A′B′c′∶S△ABc=2=2=425.
7.②③⑤⑥
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.
8.24或245
解析 当P点在平面α和平面β之间时,由三角形相似可求得BD=24,当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD=245.
9.m∈线段FH
解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1,
HN∩HF=H,BD∩DD1=D,
∴平面NHF∥平面B1BDD1,
故线段FH上任意点m与N连结,
有mN∥平面B1BDD1.
0.
证明 如图所示,连结SB,SD,
∵F、G分别是Dc、Sc的中点,
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,
∴直线FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1,
又∵EG⊂平面EFG,
FG⊂平面EFG,
EG∩FG=G,
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
1.证明 ∵平面AB1m∥平面Bc1N,
平面Acc1A1∩平面AB1m=Am,
平面Bc1N∩平面Acc1A1=c1N,
∴c1N∥Am,又Ac∥A1c1,
∴四边形ANc1m为平行四边形,
∴AN綊c1m=12A1c1=12Ac,
∴N为Ac的中点.
2.证明 方法一 过E、F分别作AB、Bc的垂线,Em、FN分别交AB、Bc于m、N,连结mN.
∵BB1⊥平面ABcD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥Bc,
∴Em∥BB1,FN∥BB1,
∴Em∥FN,
∵AB1=Bc1,B1E=c1F,
∴AE=BF,
又∠B1AB=∠c1Bc=45°,
∴Rt△AmE≌Rt△BNF,
∴Em=FN.
∴四边形mNFE是平行四边形,
∴EF∥mN.
又mN⊂平面ABcD,EF⊄平面ABcD,
∴EF∥平面ABcD.
方法二
过E作EG∥AB交BB1于G,连结GF,
∴B1EB1A=B1GB1B,B1E=c1F,B1A=c1B,∴c1Fc1B=B1GB1B,
∴FG∥B1c1∥Bc.
又∵EG∩FG=G,AB∩Bc=B,
∴平面EFG∥平面ABcD.
又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面ABcD.
3.证明 连结Bm,BN,BG并延长分别交Ac,AD,cD于P,F,H.
∵m,N,G分别为△ABc,△ABD,△BcD的重心,
则有BmmP=BNNF=BGGH=2,
且P,H,F分别为Ac,cD,AD的中点.
连结PF,FH,PH,有mN∥PF.
又PF⊂平面AcD,mN⊄平面AcD,
∴mN∥平面AcD.
同理mG∥平面AcD,mG∩mN=m,
∴平面mNG∥平面AcD.
解 由可知mGPH=BGBH=23,
∴mG=23PH.
又PH=12AD,∴mG=13AD.
同理NG=13Ac,mN=13cD.
∴△mNG∽△AcD,其相似比为1∶3.
∴S△mNG∶S△AcD=1∶9.
第2课时 两平面垂直的判定
【课时目标】 1.掌握二面角、二面角的平面角的概念,会求简单的二面角的大小.2.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理判定两个平面垂直.
.二面角:
一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.______________叫做二面角的棱.________________叫做二面角的面.二面角α的范围为________________.
2.平面与平面的垂直
①定义:
如果两个平面所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直.
②面面垂直的判定定理
文字语言:
如果一个平面经过另一个平面的一条______,那么这两个平面互相垂直.符号表示:
l⊥α ⇒α⊥β.
一、填空题
.下列命题:
①两个相交平面组成的图形叫做二面角;
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直,则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补;
③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是________.
2.若平面α与平面β不垂直,那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条.
3.设有直线m、n和平面α、β,则下列结论中正确的是________.
①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;
②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.
4.过两点与一个已知平面垂直的平面有________个.
5.在边长为1的菱形ABcD中,∠ABc=60°,把菱形沿对角线Ac折起,使折起后BD=32,则二面角B-Ac-D的大小为________.
6.在正四面体P-ABc中,D、E、F分别是AB、Bc、cA的中点,下面四个结论中成立的是________.
①Bc∥面PDF;
②DF⊥面PAE;
③面PDF⊥面ABc;
④面PAE⊥面ABc.
7.过正方形ABcD的顶点A作线段AP⊥平面ABcD,且AP=AB,则平面ABP与平面cDP所成的二面角的度数是________.
8.如图所示,已知PA⊥矩形ABcD所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.
9.已知α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
____________.
二、解答题
0.如图所示,在空间四边形ABcD中,AB=Bc,cD=DA,E、F、G分别为cD、DA和对角线Ac的中点.
求证:
平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示,四棱锥P—ABcD的底面ABcD是边长为1的菱形,∠BcD=60°,E是cD的中点,PA⊥底面ABcD,PA=3.
证明:
平面PBE⊥平面PAB;
求二面角A—BE—P的大小.
能力提升
2.如图,在直三棱柱ABc—A1B1c1中,E、F分别是A1B、A1c的中点,点D在B1c1上,A1D⊥B1c.
求证:
EF∥平面ABc;
平面A1FD⊥平面BB1c1c.
13.如图,在三棱锥P—ABc中,PA⊥底面ABc,PA=AB,∠ABc=60°,∠BcA=90°,点D、E分别在棱PB、Pc上,且DE∥Bc.
求证:
Bc⊥平面PAc.
是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角?
并说明理由.
.证明两个平面垂直的主要途径
利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法:
先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论依据并有利于证明,不能随意添加.
3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的的.
第2课时 两平面垂直的判定
答案
知识梳理
.两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180°
2.①直二面角 ②垂线 l⊂β
作业设计
.②④
解析 ①不符合二面角定义,③从运动的角度演示可知,二面角的平面角不是最小角.
2.0
解析 若存在1条,则α⊥β,与已知矛盾.
3.①③
解析 ②错,当两平面不垂直时,在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直.
4.1或无数
解析 当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直,当两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直.
5.60°
解析
如图所示,由二面角的定义知∠BoD即为二面角的平面角.
∵Do=oB=BD=32,
∴∠BoD=60°.
6.①②④
解析
如图所示,∵Bc∥DF,
∴Bc∥平面PDF.
∴①正确.
由Bc⊥PE,Bc⊥AE,
∴Bc⊥平面PAE.
∴DF⊥平面PAE.
∴②正确.
∴平面ABc⊥平面PAE.
∴④正确.
7.45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体,不难求出二面角的大小为45°.
8.5
解析 由PA⊥面ABcD知面PAD⊥面ABcD,面PAB⊥面ABcD,
又PA⊥AD,PA⊥AB且AD⊥AB,
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角,
∴面DPA⊥面PAB.又Bc⊥面PAB,
∴面PBc⊥面PAB,同理Dc⊥面PDA,
∴面PDc⊥面PDA.
9.①③④⇒②
0.证明 ∵AB=Bc,cD=AD,G是Ac的中点,
∴BG⊥Ac,DG⊥Ac,
∴Ac⊥平面BGD.
又EF∥Ac,∴EF⊥平面BGD.
∵EF⊂平面BEF,∴平面BEF⊥平面BGD.
1.证明 如图所示,连结BD,由ABcD是菱形且∠BcD=60°知,△BcD是等边三角形.
因为E是cD的中点,所以BE⊥cD.
又AB∥cD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABcD,
BE⊂平面ABcD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
又BE⊂平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
解 由知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB=3,
则∠PBA=60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
2.证明 由E、F分别是A1B、A1c的中点知
EF∥Bc.
因为EF⊄平面ABc.
Bc⊂平面ABc.
所以EF∥平面ABc.
由三棱柱ABc—A1B1c1为直三棱柱知
cc1⊥平面A1B1c1.
又A1D⊂平面A1B1c1,故cc1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1c,cc1∩B1c=c,故A1D⊥平面BB1c1c,又A1D⊂平面A1FD,
所以平面A1FD⊥平面BB1c1c.
3.证明 ∵PA⊥底面ABc,
∴PA⊥Bc.
又∠BcA=90°,
∴Ac⊥Bc.又∵Ac∩PA=A,
∴Bc⊥平面PAc.
解 ∵DE∥Bc,又由知,
Bc⊥平面PAc,
∴DE⊥平面PAc.
又∵AE⊂平面PAc,PE⊂平面PAc,
∴DE⊥AE,DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角.
∵PA⊥底面ABc,
∴PA⊥Ac,∴∠PAc=90°.
∴在棱Pc上存在一点E,
使得AE⊥Pc.
这时∠AEP=90°,
故存在点E,使得二面角A—DE—P为直二面角.
第3课时 两平面垂直的性质
【课时目标】 1.理解平面与平面垂直的性质定理.2.能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系.
3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.
.平面与平面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面.
用符号表示为:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒________.
2.两个重要结论:
如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________.
图形表示为:
符号表示为:
α⊥β,A∈α,A∈a,a⊥β⇒________.
已知平面α⊥平面β,a⊄α,a⊥β,那么__________.
一、填空题
.平面α⊥平面β,a⊂α,b⊂β,且b∥α,a⊥b,则a和β的位置关系是________.
2.已知三条不重合的直线m、n、l,两个不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确的命题是________.
3.若平面α与平面β不垂直,那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条.
4.设α-l-β是直二面角,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l都不垂直,那么下列说法正确的序号为________.
①a与b可能垂直,但不可能平行;
②a与b可能垂直,也可能平行;
③a与b不可能垂直,但可能平行;
④a与b不可能垂直,也不可能平行.
5.如图,两个正方形ABcD和ADEF所在平面互相垂直,设m、N分别是BD和AE的中点,那么①AD⊥mN;②mN∥平面cDE;③mN∥cE;④mN、cE异面.
其中结论正确的是________.
6.
如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′、B′,则AB∶A′B′=________.
7.若α⊥β,α∩β=l,点P∈α,PD/∈l,则下列命题中正确的为________.
①过P垂直于l的平面垂直于β;
②过P垂直于l的直线垂直于β;
③过P垂直于α的直线平行于β;
④过P垂直于β的直线在α内.
8.α、β、γ是两两垂直的三个平面,它们交于点o,空间一点P到α、β、γ的距离分别是2cm、3cm、6cm,则点P到o的距离为________cm.
9.在斜三棱柱ABc-A1B1c1中,∠BAc=90°,Bc1⊥Ac,则点c1在底面ABc上的射影H必在________.
二、解答题
0.如图,在三棱锥P-ABc中,PA⊥平面ABc,平面PAB⊥平面PBc.
求证:
Bc⊥AB.
11.如图所示,P是四边形ABcD所在平面外的一点,四边形ABcD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABcD.
若G为AD边的中点,求证:
BG⊥平面PAD;
求证:
AD⊥PB.
能力提升
2.如图所示,四棱锥P—ABcD的底面是边长为a的菱形,∠BcD=120°,平面PcD⊥平面ABcD,Pc=a,PD=2a,E为PA的中点.求证:
平面EDB⊥平面ABcD.
13.如图所示,在多面体P—ABcD中,平面PAD⊥平面ABcD,AB∥Dc,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=45.
设m是Pc上的一点,
求证:
平面mBD⊥平面PAD;
求P点到平面ABcD的距离.
.运用两个平面垂直的性质定理时,一般需要作辅助线,其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线,这样,就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
2.无论从判定还是从性质来看,线线垂直、线面垂直和面面垂直都是密切相关的,面对复杂的空间图形,要善于发现它们之间的内在联系,找出解决问题的切入点,垂直关系的转化为:
第3课时 两平面垂直的性质
答案
知识梳理
.垂直 交线 a⊥β
2.第一个平面内 a⊂α a∥α
作业设计
.a⊥β
2.②④
3.0
解析 若存在1条,则α⊥β,与已知矛盾.
4.③
5.①②③
6.2∶1
解析 如图:
由已知得AA′⊥面β,
∠ABA′=π6,
BB′⊥面α,∠BAB′=π4,
设AB=a,则BA′=32a,BB′=22a,
在Rt△BA′B′中,A′B′=12a,∴ABA′B′=21.
7.①③④
解析 由性质定理知②错误.
8.7
解析 P到o的距离恰好为以2cm,3cm,6cm为长、宽、高的长方体的对角线的长.
9.直线AB上
解析 由Ac⊥Bc1,Ac⊥AB,
得Ac⊥面ABc1,又Ac⊂面ABc,
∴面ABc1⊥面ABc.
∴c1在面ABc上的射影H必在交线AB上.
0.证明 在平面PAB内,作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBc,
且平面PAB∩平面PBc=PB.
∴AD⊥平面PBc.
又Bc⊂平面PBc,
∴AD⊥Bc.
又∵PA⊥平面
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