同达插班生数学历年真题1.docx
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同达插班生数学历年真题1
同达2016-2017插班生强化班测试(上)
一:
极限及其应用
ln(x2+1)
1.lim
x→+∞
ln(x+1)=[]
A:
0;
B:
1;
C:
2;
D:
3.
2.已知x
=(1+a)n+(1-a)n,则
limxn+1=[]
n
A:
1+a;
B:
1-a;
n→∞xn
C:
1+a;
D:
1.
3.lim[sin
x→∞
11
+2x]x=[]
x
A:
2;
B:
e;
C:
2e;
D:
e2.
1
4.当x→0+时,若lnα(1+x)和(1-cosx)α均是比x高阶的无穷小,则α∈[]
A:
(1,2);
B:
(2,+∞);
1
C:
(,1);2
1
D:
(0,).2
5.x→0+时,与
等价的是?
[]
A:
1-ex;
B:
ln
1+x
;
C:
-1;
D:
1-cos.
6.
当x→∞时,与无穷小量:
-
等价的是:
[]
A:
1-1;B:
1+1;
C:
sin
-sin;
D:
ln
-
ln.
7.下列曲线中有渐近线的是[]
A:
y=x+sinx;
C:
y=x+sin1;
x
8.y=(2x+1)cos1(x>0)
B:
y=x2+sinx;
D:
y=x2+sin1。
x
有斜渐近线:
[]
A:
y=2x;
B:
2x+1;
C:
2x-1;
D:
2x+2.
9.求极限:
lim
x→0
.
xln(1+x)
10.
求极限lim
x→0
e-ecosx
11.
lim
x→0+
12.求极限lim.
x→0
13.求极限lim
1lnsinx
x→0xx
14.极限lim(n-2)2n
n→∞n+1
15.
ex+11
lim()x
x→02
16.考察函数f(x)=
的间断点并判别类型.
17.判断函数f(x)=
sinx间断点的情况.
18.求函数曲线f(x)=xe
-1
x斜渐近线.
二:
导数及其应用
19.设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2)(enx-n),其中n为正整数,则f'(0)=[]
A:
(-1)n-1(n-1)!
;
B:
(-1)n(n-1)!
;
C:
(-1)n-1n!
;
D:
(-1)nn!
.
20.
f(x)=logx(lnx),
f'(e)=[]
A:
0;
B:
1;
C:
e;
D:
1.
e
21.设函数f(x)=⎧lnx,x≥2,
y=f(f(x)),则
=[]
A:
0;
⎨x+1
x<2
B:
1;
C:
1;
e
(x-1)2
x=e
D:
e.
22.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f'(x)=,则y=f(x)有极值点x=[]
A:
0;
B:
1;
C:
2;
D:
3.
-xnxk
23.
x=0
是函数
f(x)=e
∑的:
[]
k=0
A:
极小值点;B:
极大值点;C:
非极值点;D:
是否为极值点与n有关.
24.设区间[a,b]上的非负函数f(x)满足f'(x)<0,f''(x)>0,则下列式中取得最大值的是
A:
f(a+b)(b-a);
2
b
[]
B:
f(b)(b-a);
f(a)+f(b)
C:
⎰af(x)dx;
x
D:
(b-a)。
2
25.设f(x)=limx(1+3t)t,则f'(x)=。
t→0
26.设
y=(x+1)x2-1,则
y'=。
27.函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=。
⎧⎪
28.曲线
x=arctant
上对应于t=1点处的切线方程为.
⎨
⎪⎩y=ln
29.
设连续函数f(x)的一阶导数的图形如右图所示,则f(x)
有个极小值,个极大值.
30.已知曲线y=y(x)满足方程x5+ex-y+y4=3,
求
(1,1)
并写出该点处的切线方程.
31.求
⎧x2xy=⎨
⎩x+1
x>0
x≤0
的极值.
32.若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1,0),求a,b.
33.求方程karctanx-x=0不同实根的个数,其中k为参数.
34.当x>0时,证明不等式:
(1+1
)ln(1+x)>1
成立.
x2
35.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足:
f
(1)=1⎰kxe1-xf(x)dx(0 k0 证明: 至少存在一点ξ∈(0,1),使得: f'(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ). 三: 积分及其应用 n2k-n1 36. f(x)是连续函数,极限lim∑f()⋅ 等于下面的定积分[] n→∞k=1nn A: ⎰-1f(2x-1)dx; B: ⎰0 f(2x-1)dx; C: 2⎰-1f(x)dx; D: ⎰0f(2x-1)dx. 37. f(x)=⎧cosx, x∈[0,π] ,则函数F(x)=⎰f(x)dx[] ⎩2x∈[π,2π]0 A: 连续可导; xsint B: 连续不可导; C: 不连续; D: 不能确定。 38.使不等式⎰1 dt>lnx成立的x的范围是: [] t A: (0,1); π B: (1,); 2 π C: (,π); 2 D: (π,+∞). 39.设axexdx=1,则a=[] 0 A: 0; B: 1; C: 2; D: 3. 40. ⎰ 函数f(x)=x(x-t)e-t2dt,则f'(x)=。 1 41.设可导函数y=y(x)由方程 x+ye-x2dx=xxsin2tdt,则= ⎰0⎰0 x=0 42.设f(x)是周期为4的可导奇函数,且f'(x)=2(x-1), x∈[0,2],则f(7)=。 43. ()fx 设⎰xf(x)dx=arcsinx+c,则: .⎰1dx=。 1dx 44.⎰0ex+e-x= 45.设f(x)是连续函数,满足f(x)=3x2+2f(x)dx,则f(x)。 0 ⎧λe-λx,x>0+∞ 46.设函数f(x)=⎨ ⎩0 ⎧1 x≤0(λ>0),则⎰-∞xf(x)dx=。 xsint2dt,x≠0 47.设函数f(x)=⎪x3⎰0 ⎪⎩ ax=0 连续,求: a. 2 48.求函数f(x)=⎰1 (x2 -t)e-t2dt的单调区间与极值. 49.已知f(x)可导,且f(0)=1,f'(-lnx)=x,求f (1). 50.求不定积分⎰1+ xdx x+1 51.计算: ⎰(1+ex)2dx. 2x2+1 52. 计算定积分⎰1 lnxdx. x2 π 2 53.计算⎰0 xcos xdx 1f(x) xln(t+1) 54.计算⎰0 xdx,其中f(x)=⎰1tdt 55求: lim⎰1(1-)cos(π-x)dx. h→0+-hhh3 +∞arctanx 56.计算反常积分⎰1 dx. x3 57.求反常积分⎰+∞dx. 1x 58.设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域,求D的面积. 59.设位于曲线y=(e≤x<+∞)下方与x轴之间的无界区域为G,求G绕 x(1+ln2x) x轴旋转一周所得空间区域的体积. 60.计算由曲线y=e2x-1,直线y=e4-1以及y轴所围图形的面积;并求出由该图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积. 1 61.设D是由曲线y=x3,直线x=a (a>0)及x轴所围成的平面图形, Vx,Vy分别是D 绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积,若Vy=10Vx,求a的值. 62. 曲线y=1(ex+e-x)与直线x=0,x=t(t>0)及y=0围成一曲边梯形,该曲边梯形绕 2 x轴旋转一周得一旋转体,其体积为V(t),在x=t处的底面积为F(t).计算limV(t). t→+∞F(t) 四: 方程及其应用 63.微分方程y"+y=0的通解为y=[] A: cex+ce-x;B: csinx+ccosx;C: (cx+c)e-x;D: c+ce-x. 12121212 64.二阶线性微分方程: y"+y'=sinx 的特解y*的形式为: [] A: Asinx; B: Axsinx; C: Asinx+Bcosx; D: x(Asinx+Bcosx). 65.微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ>0)的特解形式为[] A: a(eλx+e-λx); B: ax(eλx+e-λx); C: x(aeλx+be-λx); D: x2(aeλx+be-λx) 66.设函数y=y(x)满足方程 y'=2e2x-y,若y (1)=2,则: y (2)= 67.微分方程xy'+y(lnx-lny)=0满足条件y (1)=e3的解为y= 68.微分方程y"+y'-12y=0的通解为 69.求微分方程xy'=y(lnx+lny-1)的通解. 70.求微分方程y"-3y'+2y=6e-x的通解. 71.已知函数f(x)满足方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex. (1)求f(x)的表达式; (2)求曲线y=f(x2)xf(-t2)dt的拐点. 0 72.设f(x)连续,且满足⎰1 f(t)dt=f(x)+1,求f(x). 73. ⎰ 可导函数f(x)满足方程f(x)=-2-xtf(-t)dt+x4+1,求函数f(x). 0 74. ⎰ 设可微函数f(x)满足方程f(x)=ex+exx[f(t)]2dt,求: f(x). 0 75. ⎰ 设ϕ(x)连续,且满足ϕ(x)cos2x+xϕ(t)sin2tdt=x+1,求ϕ(x). 0 ⎧⎪x=x(t) 76.设函数y=y(x)由参数方程⎨t2 确定,其中x(t)是初值问题: ⎧dx-2te-x=0 ⎨ ⎪⎩y=⎰0 d2y 的解,求: dx2. ln(1+u)du ⎩⎪xt=0=0 77.设y=y(x)是区间[-π,π]内过(-π,π)的光滑曲线,当-π y"+y+x=0,求y(x)的表达式 ⎧x=2t+t2 78.设函数y=f(x)由参数方程⎨ ⎩y=ψ(t) (t>-1)所确定,其中ψ(t)具有2阶导数, 且ψ (1)= 5,ψ' (1)=6,已知 2 d2ydx2 =3 4(1+t) 求函数ψ(t). 79: 一平底容器,内侧壁是由曲线x=ϕ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器底面圆的半径为2m,根据设计要求,当以3m3/min的速度向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速度均匀扩大(原容器内无液体),求曲线x=ϕ(y)的方程. 极限及其应用 sinx (2014同济)lim. x→01+sinx-cosx (2014上理)lim (tanx-x)(1-cosx) 2. x→0 2x(sinx-x) (2014海事)lim x→0 ex-esinx . xsinx2 (2014华理)lim(n3-1)ln(1+2n). n→∞ (2015华师大)lim( x→0 1cos2x - sin2xx2) (2015华理)lim x→0 arctanx-sinx . x3 (2015上理)lim x→+∞ π-arctanx 2。 sin2 x (2015上大)lim x→0 ⎰0ln(1+xt)dt. x x3 (2015同济)f(x)连续,且f(x)≠0,求lim ⎰0(x-t)f(t)dt x x. x→0 (2015上理)若lim(x+2a)x=8,则a= x⎰0f(x-t)dt . x→∞x+a tanx1 (2014东华)lim()x2. x→0x 3n (2014海事)设an=2 n+1xn-10 1+xndx,求limna. n→∞n (2014上大)lim(x+ x→+∞ 1 1+x2)x. (2014东华)lim( n→∞ 12 n3+n+1 +22++ n+2n+2 n2 n3+n2+n). (2015东华)a>0,a=1(a+2),a =1(a+).证明{a}收敛,并求极限。 12a n+1 2nan (2015华师大)f(x)在R上连续,0< 证明数列{xn}收敛。 f'(x)< 1 x2,数列{xn}: xn =f(n)(n=1,2,3,)。 (2015上理)若f(x)在x=0处可导,且lim x→0 f(x)-f(ax) x =b(其中a,b为常数,且a≠1), 则f'(0)=. (2015华师大)limn[ 1+1++1] n→∞ (1+n)2 (2+n)2 (n+n)2 (2014同济)lim(+ n→∞n ++ nπ 1+cos). n (2014东华)当x→0时,将α=sinx-1,α=cosx2-1,α=ln(1+x3)按x的无穷小阶 1x23 数由低到高排序正确的是. (2015同济、华师大)已知lim x→0 sin6x+xf(x) x3 =0,求lim x→0 6+f(x) . x2 1 (2014海事)求y=xex2的斜渐近线. 1 (2014华师大)y=ex2⋅arctanx有几条渐近线? 1 (2014同济)曲线y=(2x-1)ex有几条渐近线? (2015华师大)f(x)= lnx x2+x-2 有几条水平渐近线。 (2014海事)求y= x3-x 的可去间断点个数. (2014东华)函数y= sinπx 的可去间断点有x=0. x(x-1)2 ⎧ln(1+x2)-ln2 (2015同济)f(x)=⎪ x3-1 x≠1 ,若f(x)连续,求a. ⎩⎪ax=1 导数及其应用 (2015华师大)f(x)=sin(e-x),则f(0)+f'(0)+f'(0)= (2014复旦) df(x3) x dx 5sinx6 f(0)=0,求f(x). (2014上理)y=+arctan2x,求dy. ⎪⎰ ⎧xtetdt, (2014海事)函数f(x)=⎨0 x>0 求f(x)在x=0处的连续性,可导性. ⎩⎪x2 x≤0 (2014上大)y=x2ex,求y(100)(x). (2015上理)y=abx,其中a,b为常数,则y(n)=(blna)n⋅abx。 x+1 (2015上大)f(x)= (x-1)2 求f(2015)(0). (2015上理)已知方程sin(xy)-e2x+y3=0确定函数y=y(x),求dy。 (2014同济)设方程x2-tan(x-y)=⎰x-ysec2tdt,求dy. 0dx (2015华理)y=x2与y=alnx(a≠0)相切,求a. ⎧x=etsint (2015东华)⎨y=etcost,求其在(0,1)处的法线方程。 (2015上理)f(x)=x2lnx在[1,e]上的最小值为。 (2015华师大)f(x)=ax3+bx2+cx+2在x=0处取得极值,(-1,4)为拐点,求a,b,c。 (2015华师大)f(x)=lnx+,求单调区间、极值、凹凸区间、拐点。 x (2014海事)f(x),g(x)为恒大于零的可导函数, a A: f(x)g(b)>f(b)g(x); f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当 B: f(x)g(a)>f(a)g(x); C: f(x)g(x)>f(b)g(b);D: f(x)g(x)>f(a)g(a). ⎧x2xx>0 ⎩ (2014华师大)求y=⎨x+2,x≤0的极值. (2014东华)关于y=sinx的图像的如下叙述正确的是: A: (0,0)为拐点; π B: (,1)为拐点; π C: (, 2 )为拐点; D: 以上三点均不是拐点. 242 (2014华理)求方程⎰ 1+t4dt+⎰0 e-t2dt=0的根的个数. (2015华师大)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),f'(x)=0有()个解? (2014海洋)f(x)在[0,1]连续,(0,1)内可导,上存在ξ,使f'(ξ)=ξf(ξ). 11(1-x2) f (1)=33e2 0 f(x)dx.证明: 在[0,1] (2014华理)设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f (1).证明: 在(0,1)内至少存在一点 ξ,使f"(ξ)=2f'(ξ). 1-ξ (2015上理)设f(x)在[0,1]上连续,且⎰0f(x)dx=0,证明: 至少存在一点ξ∈(0,1),使 f(1-ξ)=-f(ξ)成立。 (2015海事)f(x)在[0,1]上可导
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- 插班生 数学 历年