金学案高中数学北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第2课时 演绎推理.docx
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金学案高中数学北师大版选修12精品学案第三章推理与证明第2课时演绎推理
第2课时 演绎推理
1.了解演绎推理的概念.
2.了解演绎推理的推理方式.
3.正确运用演绎推理解决问题.
重点:
理解演绎推理的推理方式,从而掌握演绎推理的概念.
难点:
如何在实际问题中用演绎推理证明数学问题.
某珠宝店失窃,甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审.四人的口供如下:
甲:
案犯是丙.
乙:
丁是罪犯.
丙:
如果我作案,那么丁是主犯.
丁:
作案的不是我.
四个口供中只有一个是假的.如果上述断定为真,那么说假话的谁?
作案的是谁?
问题1:
什么是演绎推理?
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为 演绎推理 .
问题2:
演绎推理的一般模式
(1) 大前提 ——已知的一般原理;
(2) 小前提 ——所研究的特殊情况;
(3) 结论 ——根据一般原理,对特殊情况作出判断.
问题3:
试分析演绎推理结论的可靠性
演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理,从一般性的原理出发,通过三段论的模式,推出某个特殊情况下的结论,因而只要 大前提 、 小前提 、 推理形式 都正确,结论就一定正确,即演绎推理得出的结论是可靠的.
问题4:
合情推理与演绎推理之间的区别和联系是什么?
区别:
(1) 归纳 和 类比 是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由 部分 到 整体 、 个别 到 一般 的推理,类比是由 特殊 到 特殊 的推理;而演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理.
(2)从推理所得结论来看,合情推理的结论 不一定 正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提,小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论 一定 正确.
联系:
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要是靠合情推理,二者是统一的.
自然科学史上第一个思想体系的例子是欧几里得(Euclid,公元前325—公元前265)几何学.古希腊的数学家欧几里得是以他的《几何原本》而著称于世的.欧几里得是第一个将亚里士多德演绎法(用三段论形式表述的演绎法)用于构建实际知识体系的人,欧几里得的几何学正是一门严密的演绎体系,他从为数不多的公理出发推导出众多的定理,再用这些定理去解决实际问题.比起欧几里得几何学中的几何知识,它所蕴含的方法论意义更重大.欧几里得的几何学是人类知识史上的一座丰碑,它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式.
1.演绎推理是以( )为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法.
A.一般的原理 B.特定的命题
C.一般的命题D.定理、公式
【答案】A
2.由①正方形的对角线互相平分,②平行四边形的对角线互相平分,③正方形是平行四边形,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是( ).
A.正方形的对角线相等
B.平行四边形的对角线相等
C.正方形是平行四边形
D.其他
【答案】A
3.设m为实数,求证:
方程x2-2mx+m-1=0有两个相异的实根.
利用三段论证明时,
大前提:
;
小前提:
;
结论:
.
【答案】如果一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,那么方程有两个相异的实根
一元二次方程x2-2mx+m-1=0的判别式Δ=4m2-4(m-1)=(2m-1)2+3>0
方程x2-2mx+m-1=0有两个相异的实根.
4.写出用三段论证明f(x)=x3+sinx(x∈R)为奇函数的步骤.
【解析】大前提:
满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数;
小前提:
f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x);
结论:
f(x)=x3+sinx是奇函数.
演绎推理的基本形式
将下列演绎推理写成三段论的形式:
(1)一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除,所以75是奇数;
(2)三角形的内角和为180°,Rt△ABC的内角和为180°;
(3)菱形的对角线互相平分;
(4)通项公式为an=3n+2的数列{an}是等差数列.
【方法指导】分别找到每个推理中的大前提、小前提、结论即可.
【解析】
(1)一切奇数都不能被2整除,(大前提)
75不能被2整除,(小前提)
75是奇数.(结论)
(2)三角形的内角和为180°,(大前提)
Rt△ABC是三角形,(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形的对角线互相平分,(大前提)
菱形是平行四边形,(小前提)
菱形的对角线互相平分.(结论)
(4)在数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为常数,则{an}为等差数列,(大前提)
通项公式an=3n+2,当n≥2时,an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(常数),(小前提)
通项公式为an=3n+2的数列是等差数列.(结论)
【小结】在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断.这与平时我们解答问题中的思考是一样的,即先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义.
应用三段论证明数列问题
已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n(n∈N+),求证:
数列{an}成等差数列.
【方法指导】求出an,an-1,利用等差数列的定义进行判断. 【解析】(大前提)当n≥2时,如果数列{an}满足an-an-1=d(常数),那么数列{an}成等差数列.
(小前提)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;
当n=1时,a1=S1=3-2=1,亦满足an=6n-5.
所以an=6n-5.当n≥2时,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数).
(结论)数列{an}成等差数列.
【小结】用演绎推理解决问题的常规模式是“三段论”,“三段论”是演绎推理的一般模式,因此,必须牢记.
演绎推理的应用
有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出如下变换公式:
X=
将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q;如5→=3,即e变成c.
(1)按上述规定,将明文good译成的密文是什么?
(2)按上述规定,若将某明文译成的密文是shxc,那么原来的明文是什么?
【方法指导】利用题目的条件,一步步地破译每一个数.再把每一个字母连接起来,那破译就成功了.
【解析】
(1)g→7→=4→d,o→15→=8→h,d→4→+13=15→o,则明文good的密文为dhho.
(2)逆变换公式为
x=
则有s→19→2×19-26=12→l,h→8→2×8-1=15→o,
x→24→2×24-26=22→v,c→3→2×3-1=5→e,故密文shxc的明文为love.
【小结】本题是一个密码翻译的问题,通过本题的学习,初步了解密码的设置与破译问题.
将下面的演绎推理写成三段论的形式:
(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1),曲线C:
+y2=1是椭圆,所以曲线C的离心率e的取值范围为(0,1).
(2)等比数列的公比都不为零,数列{2n}(n∈N+)是等比数列,所以数列{2n}的公比不为零.
【解析】大前提:
所有椭圆的离心率e的取值范围为(0,1);
小前提:
曲线C:
+y2=1是椭圆;
结论:
曲线C的离心率e的取值范围为(0,1).
(2)大前提:
等比数列的公比都不为零;
小前提:
数列{2n}(n∈N+)是等比数列;
结论:
数列{2n}的公比不为零.
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N+).求证:
(1)数列{}是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
【解析】
(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn(n∈N+),
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),
∴nSn+1=2(n+1)Sn,
∴=2·(n∈N+),
∴数列{}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)由
(1)知=4(n≥2,n∈N+),
∴Sn+1=4(n+1)·=4an(n≥2,n∈N+).
又a2=3S1=3,∴S2=a1+a2=4=4a1,
因此对于任意正整数,都有Sn+1=4an.
若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,…,xn,总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f(),则称函数f(x)为D上的凸函数,现已知f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,则△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是 .
【解析】由[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f(),(大前提)
因为f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数,(小前提)
得f(A)+f(B)+f(C)≤3f(),(结论)
即sinA+sinB+sinC≤3sin=,
因此,sinA+sinB+sinC的最大值是.
【答案】
1.推理“①正方形是平行四边形;②梯形不是平行四边形;③所以梯形不是正方形”中的小前提是( ).
A.① B.② C.③ D.①和②
【答案】B
2.若两个向量a,b共线,则一定存在λ∈R使a=λb,因为0与任何向量共线,因此对于任何一个向量a,一定有λ∈R使a=λ0.对以上三段论,下列说法正确的是( ).
A.推理完全正确B.大前提不正确
C.小前提不正确D.推理形式不正确
【解析】若两个向量a,b共线,则一定存在λ∈R使a=λb,应加上条件“b≠0”.
【答案】B
3.把“函数y=x2+x+1的图像是一条抛物线”写成三段论的形式,即大前提:
二次函数的图像是一条抛物线;
小前提:
;
结论:
函数y=x2+x+1的图像是一条抛物线.
【答案】函数y=x2+x+1是二次函数
4.用三段论表述下列命题.
(1)正方形的对角线互相垂直;
(2)满足2a2=a1+a3的三个数a1,a2,a3成等差数列.
【解析】
(1)菱形的对角线互相垂直,(大前提)
正方形是菱形,(小前提)
正方形的对角线互相垂直.(结论)
(2)如果一个数列从第二项起,后一项与前一项的差都相等,则这个数列是等差数列,(大前提)
满足2a2=a1+a3的三个数a1,a2,a3显然有a2-a1=a3-a2,(小前提)
满足2a2=a1+a3的三个数a1,a2,a3成等差数列.(结论)
(2014年·新课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
【解析】由题意可推断:
甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过A城市,由此可知,乙去过A城市.
【答案】A
1.用三段论证明函数y=x3是增函数的小前提是( ).
A.增函数的定义
B.函数y=x3满足增函数的定义
C.若x1 D.若x1>x2,则f(x1)>f(x2) 【答案】B 2.下列几种推理过程是演绎推理的是( ). A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质 C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人 D.在数列{an}中,a1=1,an=(an-1+)(n≥2),由此推出数列{an}的通项公式 【解析】B是类比推理,C、D是归纳推理. 【答案】A 3.定义“等和数列”: 在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为 . 【解析】a1+a2=a2+a3=a3+a4=…=a2n-1+a2n(n∈N+),可见a18=a16=…=a2=5-a1=3. 【答案】3 4.求证: 函数f(x)=为奇函数. 【解析】大前提: 如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),那么函数f(x)为奇函数. 小前提: 显然,函数f(x)的定义域关于原点对称. 当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-x=-(x-x2)=-f(x), 当x<0时,-x>0,f(-x)=-x-x2=-(x2+x)=-f(x), 即f(-x)=-f(x). 结论: 所以函数f(x)为奇函数. 5.在R上定义运算: xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)<1对任意实数x成立,则( ).
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