中考数学 几何图形的折叠和动点问题.docx
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中考数学几何图形的折叠和动点问题
2020中考数学几何图形的折叠与动点问题(含答案)
1.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=9,点E在BC上,CE=4,点F是AD
上的一个动点,若把△BEF沿EF折叠,点B落在点B′处,当点B′恰好落在矩形
ABCD的一边上,则AF的长为________.
第1题图
3或
11
3
2.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,点P是边BC上的动点,现将纸片
折叠,使点A与点P重合,折痕与矩形边的交点分别为E、F,要使折痕始终与
边AB、AD有交点,则BP的取值范围是________.
第2题图
6-25≤BP≤4
3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=6,E,F分别是线段AD、BC上的点,连接EF,使四边形ABFE为正方形,若点G是AD上的动点,连接FG,将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上,对应点为P,则线段AP的长为__________.
第3题图
4或4-22
4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),AB与CD不平行,AB=CD=5,BC=12,点E是BC上的动点,将∠B沿着AE折叠,使点B落在直线AD上的点B′处,DB′=1,直线BB′与直线DC交于点H,则DH=________.
第4题图
55
或
1113
5.如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=8,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时,EN的长为________.
第5题图
355539
或
1113
6.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,点P是对角线BD上一动点,将纸片折叠,使点C与点P重合,折痕为EF,折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点),当△PDF为直角三角形时,FC的长为________.
第6题图
248
或
73
7.如图,正方形的边长为4,E是BC的中点,点P是射线AD上一动点,过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似,则PA=________.
第7题图
2或5
8.如图,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E是AD中点,点P在射线BD上运动,
若△BEP为等腰三角形,则线段BP的长度等于____________.
第8题图
565
2或或
35
9.如图,在ABCD中,∠B=30°,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作
AC的垂线分别交边AD、BC于点E、F;点M是边AB的一个三等分点.则△AOE
与△BMF的面积比为__________.
第9题图
3∶4或3∶8
10.如图,在ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,E为斜边AB的中点,
点P是射线BC上的一个动点,连接AP、PE,将△AEP沿着边PE折叠,折叠
1
后得到△EPA′,若△EPA′与△ABC的另一个交点为F,当EF=AB时,则BP的
4
长为________.
第10题图
2或23
11.已知△ABC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,交BC于点E,连接ED,若ED=EC.
(1)求证:
AB=AC;
(2)①若AB=4,BC=23,则CD=________;
②当∠A=________时,四边形ODEB是菱形.
第1题图
1.
(1)证明:
∵ED=EC,∴∠EDC=∠C,
∵∠EDC+∠ADE=180°,∠B+∠ADE=180°,∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
3
(2)解:
①;
2
如解图,连接BD,
第1题解图
∵AB为∵O的直径,∵BD∵AC,
设CD=a,由
(1)知AC=AB=4,则AD=4-a,
在Rt∵ABD中,由勾股定理可得BD2=AB2-AD2=42-(4-a)2,在Rt∵CBD中,由勾股定理可得BD2=BC2-CD2=(23)2-a2,
∵42-(4-a)
2
=(23)2-a
33
2,解得a=,即CD=.
22
∵60°.
如解图,连接OD、OE,
∵四边形ODEB是菱形,∵OB=BE,
又∵OB=OE,∵∵OBE是等边三角形,∵∵OBE=60°,
1
∵OD∵BE,∵∵BOD=120°,∵∵A=∵BOD=60°.
2
12.如图,在ABCD中,AD=4,AB=5,延长AD到点E,连接EC,过点B作BF∥CE交AD于点F,交CD的延长线于点G.
(1)求证:
四边形BCEF是平行四边形;
(2)①当DF=______时,四边形BCEF是正方形;
GF
②当=________时,四边形BCEF是菱形.
GD
第2题图
13.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴EF∥BC.∵BF∥CE,∴四边形BCEF是平行四边形;
(2)解:
①1;
∵四边形BCEF是正方形,
∵BF=BC=AD=4,∵FBC=∵AFB=90°,
∵AF=AB2
-BF2
=5
2
-42
=3.
∵AD=4,∵DF=AD-AF=4-3=1.
4
∵.∵四边形BCEF是菱形,
5
∵BF=BC=AD=4.
∵四边形ABCD是平行四边形,∵CD∵AB,
GDGFGFBF4
∵=,即==.
ABBFGDAB5
14.如图,AB是半圆O的直径,射线AM⊥AB,点P在AM上,连接OP交半圆O于点D,PC切半圆O于点C,连接BC.
(1)求证:
BC∥OP;
(2)若半圆O的半径等于2,填空:
1当AP=________时,四边形OAPC是正方形;
2当AP=________时,四边形BODC是菱形.
第3题图
解:
(1)证明:
连接OC,AC,如解图所示,∵AB是直径,AM⊥AB,
∴BC⊥AC,AP是半⊙O的切线,
2222
又∵PC是半⊙O的切线,∴PA=PC,
又∵OA=OC,∴OP⊥AC,
∴BC∥OP;
(2)①2;②23.
∵若四边形OAPC是正方形,
则OA=AP,∵OA=2,∵AP=2;
∵若四边形BODC是菱形,则CB=BO=OD=DC,∵AB=2OB,∵ACB=90°,
∵AB=2BC,∵∵BAC=30°,∵ABC=60°,
∵BC∵OP,∵∵AOP=∵ABC=60°,
又∵∵OAP=90°,OA=2,
∵∵OPA=30°,∵OP=4,
∵AP=
OPOA42
=23.
第3题解图
15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,线段BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE的延长线上,AF=CE且F不与E重合.
(1)求证:
△EFA≌△ACE;
(2)填空:
①当∠B=_________°时,四边形ACEF是菱形;②当∠B=_________°时,线段AF与AB垂直.
第4题图
(1)证明:
如解图,
第4题解图
∵ED是BC的垂直平分线,∴EB=EC,ED⊥BC,
∴∠3=∠4,
∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,
∵∠2与∠4互余,∠1与∠3互余,∴∠1=∠2=∠5,
∴AE=CE.
又∵AF=CE,∴AE=AF,∴∠5=∠F,
在△EFA和△ACE中,
AF=AE=EC,∠1=∠2=∠5=∠F,∴△EFA≌△ACE.
(2)解:
①30;②45.
∵∵四边形ACEF是菱形,∵AC=CE,
∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线,
∵CE=AE=BE,∵AE=AC=CE,
∵∵ACE是等边三角形,∵∵1=60°,则∵B=30°,
∵当∵B=30°时,四边形ACEF是菱形;
∵由
(1)知∵EFA∵∵ACE,
∵∵AEC=∵EAF,∵AF∥CE,
∵AF∵AB,∵CE∵AB,
∵CE=EB,∵∵3=∵4=45°,
∵当∵B=45°时,线段AF与AB垂直.
16.如图,AB是⊙O的直径,E是⊙O外一点,过点E作⊙O的两条切线ED,EB,切点分别为点D,B.连接AD并延长交BE延长线于点C,连接OE.
(1)试判断OE与AC的关系,并说明理由;
(2)填空:
①当∠BAC=_________°时,四边形ODEB为正方形;
1
AD
②当∠BAC=30°时,的值为________.
DE
第5题图
5.解:
(1)OE∥AC,OE=AC.
2
理由:
连接OD,如解图,
第5题解图
∵DE,BE是⊙O的切线,∴OD⊥DE,AB⊥BC,
∴∠ODE=∠ABC=90°,∵OD=OB,OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL),
∴∠1=∠2.
∵∠BOD=∠A+∠3,OA=OD,∴∠A=∠3,
∴∠2=∠A,∴OE∥AC;
∵OA=OB,∴EC=EB,
1
3
∴OE是△ABC的中位线,∴OE=AC.
2
(2)①45;②3.
∵要使四边形ODEB是正方形,由ED=EB,∵ODE=∵ABC=90°,只需∵DOB
=90°,∵∵A=45°;∵过O作OH∵AD于H,∵∵A=30°,OA=OD,∵∵3=∵A
=30°,∵OD=
3
3
AD,∵∵ODE=90°,∵1=∵3=30°,∵OD=3DE,∵AD
3
=
3
DE,∵
AD
DE
=3.
17.如图,将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到CD,连接BC,∠ACB=30°,AB=1,CC=x.
11111
(1)若点O与点C重合,求证:
AD为⊙O的切线;
111
(2)①当x=________时,四边形ABCD是菱形;
11
②当x=________时,△BDD为等边三角形.
1
第6题图
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=90°,
∵把△ACD沿CA方向平移得到CD,
111
∴∠ADO=∠D=90°,∴AD⊥OD,
11111
∴AD为⊙O的切线;
11
(2)解:
①1;②2.
∵如解图∵,连接AD,当x=1时,四边形ABCD是菱形;
111
第6题解图∵
理由:
由平移得:
AB=DC,且AB∵DC,∵四边形ABCD是平行四边形,
111111
∵∵ACB=30°,∵∵CAB=60°,
∵AB=1,∵AC=2,
∵x=1,∵AC=1,∵AB=AC,
11
∵∵ACB是等边三角形,∵AB=BC,
11
∵四边
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