高中数学直线的点斜式方程.docx
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高中数学直线的点斜式方程
3.2直线的方程
3.2.1直线的点斜式方程
【知识提炼】
1.直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知
点P(x0,y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距__b
条件
图示
点斜式
斜截式
方程
k(x-x
)
y=kx+b
y-y0=
形式
0
适用
斜率存在
条件
2.直线在y轴上的截距
定义:
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b.
符号:
可正,可负,也可为零.
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?
提示:
不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线
其方程都不能用点斜式表示.
(2)直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?
提示:
直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,
可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距
离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.
2.过点M(-3,1),斜率为2的直线的方程是()
A.y=2x+7B.y=2x-7
C.y=-2x+7D.y=-2x-7
【解析】选A.由直线的点斜式方程可得:
y-1=2(x+3),即y=2x+7.
3.直线l的点斜式方程是y-2=-2(x+3),则此直线的斜率等于()
A.3B.-3C.2D.-2
【解析】选D.由直线的点斜式方程的形式可知该直线的斜率为-2.
4.一条直线的方程为y=-2x-3,则该直线在y轴上的截距等于.
【解析】由直线的斜截式方程的形式可知直线y=-2x-3在y轴上的截距
等于-3.
答案:
-3
5.直线l过点(1,-2),且直线的倾斜角为60°,则此直线的斜截式方程
为.
【解析】因为该直线的斜率为k=tan60°=,所以直线的点斜式方
程为y-(-2)=(x-1),化为斜截式为y=x--2.
答案:
y=x--2
【知识探究】
知识点1直线的点斜式方程
观察图形,回答下列问题:
问题1:
上图中直线l的斜率如何用点P与点P0表示?
问题2:
要得到直线的点斜式方程应具备什么前提条件?
【总结提升】
1.直线的点斜式方程的前提条件
(1)已知一点P0(x0,y0)和斜率k.
(2)斜率必须存在.
只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.
2.直线的点斜式方程形式的关注点
方程y-y0=k(x-x0)与方程k=不是等价的,前者是整条直线,后者
表示去掉点P0(x0,y0)的一条直线.
3.当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0,y0)的无数条
直线.
知识点2直线的斜截式方程
观察图形,回答下列问题:
问题1:
根据图中的条件,能否写出该直线的方程?
问题2:
直线在y轴上的截距有几种情况?
【总结提升】
点斜式与斜截式的关系
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b).它
们都不能表示斜率不存在的直线.
(2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的形式,它是推导其它
形式的基础.
(3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟
一,而斜截式的形式是惟一的.
(4)直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别和联系
①斜截式方程中,k≠0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不是一次函
数.
②一次函数y=kx+b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.
【知识拓展】
1.截距的理解
(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的.直线与y轴的交点(0,b)
的纵坐标b称为此直线的纵截距,值得强调的是,截距是坐标,它可能是
正数,也可能是负数,还可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非负
数.
(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距.并不是每
条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1没有纵截距,直线y=2没有横截
距.
2.对直线l在y轴上的截距b的两点说明
(1)本质:
直线l与y轴交点的纵坐标.
(2)四种情况:
①当直线l与y轴正半轴相交时,截距b>0;
②当直线l与y轴负半轴相交时,截距b<0;
③当直线l经过原点时,截距b=0;
④当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距.
【题型探究】
类型一求直线的点斜式方程
【典例】1.(2015·杭州高一检测)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线
方程为.
2.直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l
的点斜式方程为.
3.(2015·景德镇高一检测)一直线l1过点A(2,-3),其倾斜角等于直线
l2:
y=的倾斜角的2倍,求这条直线l1的点斜式方程.
【解题探究】1.典例1中平行于y轴的直线的斜率存在吗?
提示:
平行于y轴的直线的斜率不存在,则过点(-5,2)且斜率不存在的
直线方程为x=-5.
2.典例2中逆时针旋转90°后得直线l的倾斜角为多少?
提示:
直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°,逆时针旋转90°后直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率为-1.
3.典例3中直线l2的倾斜角为多少?
直线l1的倾斜角等于多少?
提示:
由点斜式方程可知直线l2的斜率为,所以其倾斜角为30°,
所以直线l1的倾斜角为60°.
【解析】1.因为直线平行于y轴,所以直线斜率不存在,所以方程为x=
-5.
答案:
x=-5
2.直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k′=tan135°=-1,又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3).
答案:
y-4=-(x-3)
3.由点斜式方程可知直线l2的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以
直线l1的倾斜角为60°,其斜率k=tan60°=,由直线方程的点斜式
可得,直线l1的方程为y+3=(x-2).
【方法技巧】求直线的点斜式方程的方法步骤
【拓展延伸】求直线的点斜式方程的注意点
(1)前提条件:
只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
(2)倾斜角为0°,即k=0时,这时直线l与x轴平行或重合,l的方程是y-
y0=0.
(3)倾斜角为90°时,直线无斜率,这时直线l与y轴平行或重合,l的方程
是x-x0=0.
【补偿训练】(2015·福安高一检测)直线l过点P(2,-3)且与过点
M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,求直线l的方程.
【解题指南】先求出过已知两点M,N的直线的斜率,再由已知条件判断
直线l的倾斜角,可得所求直线的方程.
【解析】直线MN的斜率k==0,所以该直线平行于x轴.又直线l
垂直于直线MN,因此直线l的倾斜角为90°,又直线l过点P(2,-3),所以直线l的方程为x-2=0,即x=2.
类型二求直线的斜截式方程
【典例】(2015·常德高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方
程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.
【解题探究】由直线l1的方程y=-2x+3,能得出此直线的斜率为多少吗?
由l2的方程y=4x-2,可知此直线在y轴上的截距为多少?
提示:
直线l1的斜率为-2,直线l2在y轴上的截距为-2.
【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将典例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?
【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l⊥l1,所以l的斜
率k=由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=
-2,由斜截式可得直线l的方程为y=x-2.
2.(变换条件)若将典例中“且与l2在y轴上的截距相同”改为“且与l2在y轴上的截距互为相反数”,又如何求解?
【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x+2.
【方法技巧】求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的
斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,
只需知道参数k,b的值即可.
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数
b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.
【补偿训练】(2015·潍坊高一检测)直线l与直线l1:
y=3x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.
【解题指南】确定l1的斜率和它在y轴上的截距,再求出l的斜率和它在
y轴上的截距,由斜截式写方程.
【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y=-
3x+6.
【延伸探究】
1.(变换条件)若将本题中的“直线l与直线l1:
y=3x+6在y轴上有相同的截距”,改为“截距互为倒数”,其他条件不变,又如何求直线l的方程?
【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所
以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为.由斜截式可得直线l的方程
为y=-3x+.
2.(变换条件)若将本题中“l的斜率与l1的斜率互为相反数”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?
【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,由
题意可得直线l的斜率为-,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l
的方程为y=-x+6.
类型三两直线平行与垂直的应用
【典例】1.(2015·鄂州高一检测)若直线l1:
y=(2a-1)x+3与直线l2:
y=4x-3垂直,则a=.
2.若直线l1:
y=-x+2a与直线l2:
y=(a2-2)x+2平行,则a=.
3.(2015·安阳高一检测)已知直线l过点A(2,-3),若直线l与直线y=
-2x+5平行,求其方程.
【解题探究】1.典例1中直线l1与直线l2垂直可得两直线的斜率有怎样
的关系?
提示:
可得两直线的斜率乘积等于-1.
2.典例2中由两直线平行可得两直线的斜率有怎样的关系?
提示:
可得两直线的斜率相等.
3.典例3中由直线l与直线y=-2x+5平行,可得到什么结论?
提示:
可得两直线斜率相等.
【解析】1.由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4.因为l1⊥l2,所以4(2a-1)=-1,解得a=.故当a=时,直线l1:
y=(2a-1)x+3与直线l2:
y=4x-3垂直.
答案:
2.因为l1∥l2,所以a2-2=-1,且2a≠2,解得a=-1;所以a=-1时两直线平行.
答案:
-1
3.方法一:
因为直线l与y=-2x+5平行.
所以kl=-2,由直线方程的点斜式知y+3=-2(x-2),即l:
2x+y-1=0.
方法二:
因为已知直线方程为y=-2x+5.
又l与其平行,则可设l为y=-2x+b,
因为l过点A,所以有-3=-2×2+b,则b=1,所以l:
y=-2x+1,即2x+y-1=0.
【延伸探究】若把典例3中的平行改为垂直,此时直线l的方程又如何?
【解析】方法一:
因为直线l与y=-2x+5垂直.
所以kl=,由直线方程的点斜式知y+3=(x-2),即l:
x-2y-8=0.
方法二:
因为已知直线方程为y=-2x+5.
又l与其垂直,则可设l为y=x+b,
因为l过点A,所以有-3=×2+b,则b=-4,所以l:
y=x-4,即x-2y-8=0.
【方法技巧】两条直线平行和垂直的判定
已知直线l1:
y=k1x+b1与直线l2:
y=k2x+b2,
(1)若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1≠b2;反之k1=k2
且b1≠b2时,l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2,则k1·k2=-1;
反之k1·k2=-1时,l1⊥l2.
所以有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
【变式训练】已知在△ABC中,A(0,0),B(3,1),C(1,3).
(1)求AB边上的高所在直线的方程.
(2)求BC边上的高所在直线的方程.
(3)求过A与BC平行的直线方程.
【解题指南】先求直线的斜率,再代入点斜式方程求解.
【解析】
(1)直线AB的斜率k1=AB边上的高所在直线斜率为
-3且过点C,所以AB边上的高所在直线方程为y-3=-3(x-1).
(2)直线BC的斜率k2==-1,BC边上的高所在直线的斜率为1且过点
A,所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y=x.
(3)由
(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为-1,其点斜式方程为y=-x.
易错案例求直线的斜截式方程
【典例】(2015·韶关高一检测)已知直线l的斜率为3,且与两坐标轴
围成的三角形的面积为6,则直线l的方程为________.
【失误案例】
【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?
提示:
错误的根本原因是误认为b是边长或是距离,只能取正值,混淆截
距的概念,没有真正理解截距的定义实质.
【自我矫正】由题意设直线方程为y=3x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=
由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6,故
解得b2=36,故b=±6,
所以直线方程为y=3x+6或y=3x-6.
答案:
y=3x+6或y=3x-6
【防范措施】准确理解截距的概念
直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标,可正,可负,可为零,
截距不是距离,若把截距理解为正值,则易漏解.
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