高中数学圆锥曲线知识点总结与经典例题.docx
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高中数学圆锥曲线知识点总结与经典例题
圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备:
1.直线方程的形式
2)与直线相关的重要内容
[0,)ky2y1
x2x1
By
C0的距离
d
Ax0By0C
A2B2
k1x
k2x
b1
1夹角为,b2
则tan
k2k1
1k2k1
①倾斜角与斜率ktan
②点P(x0,y0)到直线Ax
③夹角公式:
直线l1:
y
l2:
y
3)弦长公式
直线y
kxb上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离
1
AB
12
y1y2
③
4)两条直线的位置关系
l1:
A1xB1yC10l2:
A2xB2yC20
两平行线距离公式
:
ykxb1
距离d|b1b2|
l1:
AxByC10
距离d
|C1C2|
:
ykxb2
1k2
l2:
AxByC20
A2B2
椭圆、双曲线
、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
l1
l2
定义
1.到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.
(0 1.到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 轨迹条件 点集: ({M|=2a,|F |MF1+|MF2|1F2|<2a}. 点集: {M|=±2a, | | M F2F F1|-|MF2|. 2|>2a}. 点集{M||MF|=点M到直线l的距离}. 图形 方程 标准方程 22 x2y21(ab>0)ab 22 x2y21(a>0,b>0)ab y22px 参数方程 xacosybsin (参数为离心角) xasec ybtan (参数为离心角) 2 x2pt(t为参数)y2pt 范围 ─axa,─byb |x|a,yR x0 中心 原点O(0,0) 原点O(0,0) 顶点 (a,0),(─a,0), (0,b),(0,─b) (a,0),(─a,0) (0,0) 对称轴 x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2b x轴,y轴;实轴长2a,虚轴长2b. x轴 焦点 F1(c,0),F2(─c,0) F1(c,0),F2(─c,0) F(2p,0) 准线 2x=±ac 准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 2 a x=± c 准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧. x=-p 2准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等. 焦距 2c(c=a2b2) 22 2c(c=ab) 离心率 ec(0e1)a ec(e1) a e=1 焦半径 P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支时: P在左支时: |PF1|=a+ex0|PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0|PF2|=a-ex0 |PF|=x0+p 2 备注1】双曲线: ⑶等轴双曲线: 双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2. 备注2】抛物线: 到准线的距离为p. 叫做焦半径). 椭圆典型例题 、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例1: 已知椭圆的焦点是F1(0,-1)、F2(0,1),P是椭圆上一点,并且PF1+PF2=2F1F2,求椭圆的标准方程。 解: 由PF1+PF2=2F1F2=2×2=4,得2a=4.又c=1,所以b2=3. 所以椭圆的标准方程是y+x=1. 43 2.已知椭圆的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且2a=10,求椭圆的标准方程.22解: 由椭圆定义知c=1,∴b=52-1=24.∴椭圆的标准方程为x+y=1. 2524 、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例: 1.椭圆的一个顶点为A2,0,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析: 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解: (1)当A2,0为长轴端点时,a2,b1, 椭圆的标准方程为: 22 x2y21; 41 2)当A2,0为短轴端点时,b2,a4, 22 1; 椭圆的标准方程为: xy 416 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。 x2y2 例.求过点(-3,2)且与椭圆x+y=1有相同焦点的椭圆的标准方程. 94 22 2xy9解: 因为c2=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为a2+a2-5=1.由点(-3,2)在椭圆上知a2+42x2y2 2=1,所以a2=15.所以所求椭圆的标准方程为+=1. a-51510 四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。 由e1,得1k1,即k 294 k,利用条件求k. ∴满足条件的k4或k 4 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例: 1.若△ABC的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程。 解: 顶点C到两个定点A,B的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离,因此顶点C的轨迹为椭圆,并且2a=10,所以a=5,2c=8,所以c=4,所以b2=a2-c2=9,故顶点C的轨 x2y2 方程为x+y=1.又A、B、C三点构成三角形,所以y≠0.所以顶点 259 x2y2x2y2 为2x5+y9=1(y≠0)答案: 2x5+y9=1(y≠0) 22 2.已知椭圆的标准方程是ax2+2y5=1(a>5),它的两焦点分别是F1,的周长. 即a=41,所以△ABF2的周长为4a=441. 因为F1F2=8,即即所以2c=8,即c=4,所以a2=25+16=41, x2y2 3.设F1、F2是椭圆x9+y4=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1: PF2=2: 1,求△PF1F2的面积. 解析: 由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5,∴PF1+PF2=2a=6.又PF1∶PF2=2∶1,∴PF1=4,PF2=2,由22+42=(25)2可知△PF1F2是直角三角形,故△PF1F2的面积为12PF1·PF2=12×2×4=4. 七、直线与椭圆的位置问题 x2211 例已知椭圆xy21,求过点P1,1且被P平分的弦所在的直线方程. 222 分析一: 已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 222 12k2x22k2 2kx 1k2k 2 3 2 0 由韦达定理得x1 2k 22k. x2 2. 21 2k2 ∵P是弦中点,∴ x1x2 1.故得 k 1 2 11 解法二: 设过P,的直线与椭圆交于 22 Ax1,y1、Bx2,y2,则由题意得 所以所求直线方程为2x4y30. 22 ①-②得x1x2 2 2y1 2 y2 0. ⑤ 将③、④代入⑤得 y1 y2 1 1,即直线的斜率为 1 x1 x2 2 2 所求直线方程为2x4y30. 双曲线典型例题、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 c2a2b216,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0). 222 c2a2b216,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),)(4,0). k值,画出其图形,体会一 3)k25,k9,k25时,所给方程没有轨迹. 说明: 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线,称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些下几何图形所带给人们的美感. 、根据已知条件,求双曲线的标准方程。 例2根据下列条件,求双曲线的标准方程. 22 3)与双曲线xy1有相同焦点,且经过点32,2 164 22 解: (1)设双曲线方程为xy1mn P、Q两点在双曲线上, 9mn 22 ∴所求双曲线方程为xy1 169 说明: 采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. 2)∵焦点在x轴上, 2 y1(其中0 6 x2 ∴所求双曲线方程为 12 巧妙的设法. (2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面. 三、求与双曲线有关的角度问题。 2 y1的右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线上的左支上且 16 F1PF2的大小. 分析: 一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形.解: ∵点P在双曲线的左支上 ∴PF1PF26 22 ∴PF12PF222PF1PF236 22 ∴PF12PF22100 ∵F1F224c24a2b12100 F1PF290 说明: (1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化. 点P在 (2)题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为双曲线上”结论如何改变呢? 请读者试探索.四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 2 F1PF2的 例4已知F1、F2是双曲线y21的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF290,求 4 面积. 分析: 利用双曲线的定义及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积. 2 解: ∵P为双曲线y21上的一个点且F1、F2为焦点. 4 ∴PF1PF22a4,F1F22c25 ∵F1PF290 222 ∴在RtPF1F2中,PF12PF22F1F2220 222 ∵PF1PF22PF12PF222PF1PF216 ∴202PF1PF216 ∴PF1PF22 1 ∴SF1PF2PF1PF21 122 说明: 双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用. 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例5已知两点F15,0、F25,0,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹. 分析: 问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹. 解: 根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵c5,a3 ∴b2c2a252324216 22 ∴所求方程xy1为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线. 916 22 例: P是双曲线xy1上一点,F1、F2是双曲线的两个焦点,且PF117,求PF2的值. 643612 分析: 利用双曲线的定义求解. 22 解: 在双曲线xy1中,a8,b6,故c10. 6436 由P是双曲线上一点,得PF1PF216. ∴PF21或PF233. 又PF2ca2,得PF233. 说明: 本题容易忽视PF2ca这一条件,而得出错误的结论PF21或PF233. 六、求与圆有关的双曲线方程。 例6求下列动圆圆心M的轨迹方程: 2 1)与⊙C: x22 2y 2内切,且过点 A2,0 2)与⊙ C1: x2y 12 2 1和⊙C2: x2 y12 4都外切. 3)与⊙ C1: x32 2 y2 9外切,且与⊙ 2 C2: x3 2 y21内切 r2.解 分析: 这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离.如果相切的⊙C1、⊙C2的半径为r1、r2且r1r2,则当它们外切时,O1O2r1r2;当它们内切时,O1O2r1题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程. 解: 设动圆M的半径为r (1)∵⊙C1与⊙M内切,点A在⊙C外 ∴MCr2,MAr,MAMC2∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,且有: 2 2 2 27 a,c 2,b2 c a 2 2 ∴双曲线方程为 2x2 2y2 1x2 7 2)∵⊙M与⊙C1、⊙C2都外切 ∴MC1r1,MC2r2, MC2MC11 ∴所求的双曲线的方程为: 3)∵⊙M与⊙C1外切,且与⊙C2内切 ∴MC1r3,MC2r1,MC1MC24 a2,c3,b2c2a25 ∴所求双曲线方程为: 22xy 45 说明: (1)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法. (2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小,提高了解题的速度与质量.(3)通过以上题目的分析,我们体会到了,灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标. 抛物线典型例题 一、求抛物线的标准方程。 例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. 22 (1)x4y (2)xay(a0) 分析: (1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程. (2)先把方程化为标准方程形式,再对a进行讨论,确定是哪一种后,求p及焦点坐标与准线方程. 解: (1)p2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是: y1 、求直线与抛物线相结合的问题 分析: 由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求k. ykx222 解法一: 设A(x1,y1)、B(x2,y2),则由: 2可得: kx(4k8)x40. y28x ∵直线与抛物线相交,k0且0,则k1. ∵AB中点横坐标为: x1x24k82, 解得: k2或k 2 1(舍去). k2 故所求直线方程为: y2x2. 解法二: 设A(x1,y1)、B(x2,y2) ,则有 2y1 8x1 2y2 8x2. 两式作差解: (y1 y2)(y1y2) 8(x1 x2) ,即y1 x1 y2 8. x2 y1y2 x1x24y1 y2kx1 2kx2 2 k(x1 x2) 44k4, k8故k4k4 2或k1( 舍去) . 则所求直线方程为: y2x2. 三、求直线中的参数问题 35,求k值. 9时,求P点坐标.P点坐标. 例3 (1)设抛物线y24x被直线y2xk截得的弦长为 (2)以 (1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为分析: (1)题可利用弦长公式求k, (2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求 解: (1)由y4x得: 4x2(4k4)xk20y2xk AB35,5(12k)35,即k4 四、与抛物线有关的最值问题 例4定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动,求AB的中点到y轴的距离的最小值,并 求出此时AB中点的坐标. 解: 如图,设F是y2 x的焦点, A、B两点到准线的垂线分别是 AC、BD,又M到准线的垂线为MN, C、D和N是垂足,则 MN 1 12(ACBD) 12(AF 设M点的横坐标为 x, 纵坐标为 1 y,MNx,则 31 x 24 等式成立的条件是 5时, 4 当x y1y2 AB过点F. P21 4 (y1 y2)2 2y1 2y2 2y1y2 2x22, y1 y2 2, 所以 M(45,22),此时M到y轴的距离的最小值为 例已知点M(3,2),F为抛物线y22x的焦点,点 P在该抛物线上移动,当PMPF 取最小值时, 点P的坐标为 分析: 本题若建立目标函数来求 题不难解决. 解: 如图, 由定义知PF PE,故PM 取等号时, M、 所以P点坐标为 PM PF P、E三点共线,∴ (2,2). PF 的最小值是困难的,若巧妙地利用抛物线定义,结合图形则问 PF PM P点纵坐标为 ME MN 1 3. 2 2,代入方程,求出其横坐标为2,
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