高三高考数学国步分项分类题及析答案.docx
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高三高考数学国步分项分类题及析答案
高三高考数学国步分项分类题及析答案
1-1集 合
基础巩固强化
1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=
x,x∈A},则A∩B=( )
A.{1,2,3,4} B.{1,2}
C.{1,3}D.{2,4}
[答案] B
[解析] B={y|y=
x,x∈A}={
,1,
,2},
∴A∩B={1,2}.
2.(2011·成都五校联考)设集合M={y|y=2x,x<0},N={x|y=
},则“x∈M”是“x∈N”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] M=(0,1),N=(0,1],∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件,故选A.
3.(文)(2011·湖北文,1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则∁U(A∪B)=( )
A.{6,8}B.{5,7}
C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8}
[答案] A
[解析] ∵A={1,3,5,7},B={2,4,5},∴A∪B={1,2,3,4,5,7},又U={1,2,3,4,5,6,7,8},
∴∁U(A∪B)={6,8}.
(理)(2011·北京宣武模拟)设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)的元素个数为( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
[答案] C
[解析] U=A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4},
∴∁U(A∩B)={1,2,5},故选C.
4.(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P},若M⊆P,则M中的运算“⊕”是( )
A.加法B.除法
C.乘法D.减法
[答案] C
[解析] 因为M⊆P,所以只有奇数乘以奇数还是奇数,所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算,选C.
5.(文)设集合A={a,b},则满足A∪B={a,b,c,d}的所有集合B的个数是( )
A.1 B.4 C.8 D.16
[答案] B
[解析] 集合B中必有元素c、d,由含元素a、b的个数知,这样的集合B共有22=4个.
(理)已知集合P∩Q={a,b},P∪Q={a、b、c,d},则符合条件的不同集合P,Q有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
[答案] B
[解析] 根据交集、并集的概念知,集合P,Q中都必有元素a,b,然后逐一选择元素c,d与元素a,b构成不同的集合P,Q.
集合P,Q分别为:
①{a,b}和{a、b、c,d};②{a、b、c}和{a,b,d};③{a,b,d}和{a、b、c};④{a、b、c,d}和{a,b},共4对.故选B.
[点评] P={a,b},Q={a、b、c,d}与P={a、b、c,d},Q={a,b}是不同的.
6.集合A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A},则A∩B=( )
A.{0}B.{1}
C.{0,1}D.{-1,0,1}
[答案] B
[解析] ∵cos0=1,cos(-1)=cos1,∴B={1,cos1},
∴A∩B={1}.
7.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则集合M∩N=________.
[答案] {(3,-1)}
[解析] 由于M∩N中元素既属于M又属于N,故其满足
解之得x=3,y=-1.
8.(文)已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是________.
[答案] a≤1
[解析] 因为A∪B=R,画数轴可知,实数a必须在点1上或在1的左边,所以a≤1.
(理)已知集合A={x|log
x≥3},B={x|x≥a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(-∞,c],其中的c=______.
[答案] 0
[解析] A={x|0 },∵A⊆B, ∴a≤0,∴c=0. 9.(2011·台州模拟)设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________. [答案] {1,2,5} [解析] ∵A∩B={2},∴log2(a+3)=2, ∴a=1,∴b=2,∴B={1,2}, ∴A∪B={1,2,5}. 10.(文)已知全集U=R,集合A={x|log2(3-x)≤2},集合B={x| ≥1}. (1)求A、B; (2)求(∁UA)∩B. [解析] (1)由已知得log2(3-x)≤log24, ∴ 解得-1≤x<3, ∴A={x|-1≤x<3}. 由 ≥1,得(x+2)(x-3)≤0,且x+2≠0, 解得-2 ∴B={x|-2 (2)由 (1)可得∁UA={x|x<-1或x≥3}. 故(∁UA)∩B={x|-2 (理)设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅? 若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由. [解析] 假设A∩B≠∅,则方程组 有正整数解,消去y得, ax2-(a+2)x+a+1=0(*) 由Δ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0, 解得- ≤a≤ . 因a为非零整数,∴a=±1, 当a=-1时,代入(*),解得x=0或x=-1, 而x∈N*.故a≠-1. 当a=1时,代入(*),解得x=1或x=2,符合题意. 故存在a=1,使得A∩B≠∅, 此时A∩B={(1,1),(2,3)}. 能力拓展提升 11.(文)定义集合A、B的一种运算: A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中所有元素之和为( ) A.9 B.14 C.18 D.21 [答案] B [解析] A*B中所有元素为2,3,4,5.∴和为14. (理)设A,B是非空集合,定义A×B={x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)},已知A={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则A×B等于( ) A.(2,+∞)B.[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞)D.[0,1]∪(2,+∞) [答案] A [解析] 由题意知,A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2]. 所以A×B=(2,+∞). 12.(文)(2011·北京理,1)已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-1]B.[1,+∞) C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞) [答案] C [解析] P={x|-1≤x≤1},∵P∪M=P,∴M⊆P,即a∈{x|-1≤x≤1},∴-1≤a≤1,故选C. (理)已知集合S={3,a},T={x|x2-3x<0,x∈Z},S∩T={1},P=S∪T,那么集合P的子集个数是( ) A.32B.16 C.8D.4 [答案] C [解析] 因为T={x|0 ∴S={1,3},则P=S∪T={1,2,3}, ∴集合P的子集有23=8个,故选C. 13.(文)集合A={x|log2(x+ )<0},函数y=x-2的单调递增区间是集合B,则在集合A中任取一个元素x,x∈B的概率是________. [答案] [解析] A={x|log2(x+ )<0}={x|- },因为函数y=x-2的单调递增区间是集合B,所以B={x|x<0},所以A∩B=(- ,0). 在集合A中任取一个元素x,若x∈B,则x∈(A∩B),故所求概率P= = . (理)在集合M={0, ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,该集合恰满足条件“对∀x∈A,有 ∈A”的概率是________. [答案] [解析] 集合M的非空子集有25-1=31个,而满足条件“对∀x∈A,有 ∈A”的集合A中的元素为1或 、2,且 、2要同时出现,故这样的集合有3个: {1},{ ,2},{1, ,2}.因此,所求的概率为 . 14.已知集合A={x|(x2+ax+b)(x-1)=0},集合B满足条件: A∩B={1,2},A∩(∁UB)={3},U=R,则a+b等于________. [答案] 1 [解析] 依题意得1∈A,2∈A,3∈A,因此,2和3是方程x2+ax+b=0的两个根, 所以2+3=-a,2×3=b, ∴a=-5,b=6. ∴a+b=1. 15.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来; (3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围. [解析] 集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合. (1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解,得 ∴a> , 即实数a的取值范围是( ,+∞). (2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x= ; 当a≠0时,应有Δ=0, ∴a= ,此时方程有两个相等的实数根,A中只有一个元素 , ∴当a=0或a= 时,A中只有一个元素,分别是 和 . (3)A中至多有一个元素,包括A是空集和A中只有一个元素两种情况,根据 (1), (2)的结果,得a=0或a≥ ,即a的取值范围是{a|a=0或a≥ }. 16.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}. (1)问是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A是B的子集? 若存在,求a;若不存在,说明理由; (2)若A是B的子集成立,求出对应的实数对(a,b)? [解析] (1)A={4+a,a-4},要使得对任意实数b,都有A⊆B,只能是A⊆{1,2},但A中两元素之差(4+a)-(a-4)=8≠2-1,故这样的实数a不存在. (2)若A是B的子集成立, 则必有|b-1|=8或|b-2|=8, 解得b=-7,9,-6,10. 当b=-7时,a=-3; 当b=9时,a=5; 当b=-6时,a=-2; 当b=10时,a=6. 即对应的实数对(a,b)为(-3,-7),(5,9),(-2,-6),(6,10). 1.全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,4},则下面结论错误的是( ) A.M∩N={2}B.∁UM={3,4} C.M∪N={1,2,4}D.M∩∁UN={1,2,3} [答案] D [解析] ∵∁UN={1,3},∴M∩∁UN={1},故D错,由交、并、补运算的定义知A、B、C均正确. 2.(2011·马鞍山期末)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合M={2,3,5},N={4,5},则∁U(M∪N)等于( ) A.{1,3,5}B.{2,4,6} C.{1,5}D.{1,6} [答案] D [解析] 由已知得M∪N={2,3,4,5},则∁U(M∪N)={1,6}.故选D. 3.(2011·山东文,1)设集合M={x|(x+3)(x-2)<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=( ) A.[1,2)B.[1,2] C.(2,3]D.[2,3] [答案] A [解析] 由(x+3)(x-2)<0知-3 4.已知集合M={y|y=x2},N={y|y2=x,x≥0},则M∩N=( ) A.{(0,0),(1,1)}B.{0,1} C.[0,+∞)D.[0,1] [答案] C [解析] M={y|y≥0},N=R,则M∩N=[0,+∞),选C. [点评] 本题极易出现的错误是: 误以为M∩N中的元素是两抛物线y2=x与y=x2的交点,错选A.避免此类错误的关键是,先看集合M,N的代表元素是什么,以确定集合M∩N中元素的属性.若代表元素为(x,y),则应选A. 5.设集合A={x|y= },B={y|y=2x,x>1},则A∩B为( ) A.[0,3]B.(2,3] C.[3,+∞)D.[1,3] [答案] B [解析] 由3x-x2≥0得,0≤x≤3, ∴A=[0,3], ∵x>1,∴y=2x>2,∴B=(2,+∞), ∴A∩B=(2,3]. 6.已知集合M={(x,y)|y-1=k(x-1),x,y∈R},集合N={(x,y)|x2+y2-2y=0,x,y∈R},那么M∩N中( ) A.有两个元素 B.有一个元素 C.一个元素也没有 D.必含无数个元素 [答案] A [解析] y-1=k(x-1)表示经过定点(1,1),斜率为k的直线,不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x=1. x2+y2-2y=0,可化为x2+(y-1)2=1,表示圆心在(0,1)半径等于1的圆,又(1,1)是圆上的点, ∴直线与圆有两个交点,故选A. 7.已知集合A={0,2,a2},B={1,a},若A∪B={0,1,2,4},则实数a的值为________. [答案] 2 [解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4或a2=4,若a=4,则a2=16,但16∉A∪B, ∴a2=4,∴a=±2,又-2∉A∪B,∴a=2. 考虑到教师工作繁忙,备课批改作业辅导学生占用大量时间,为节省教师找题选题的时间,也考虑到不同地区用题难易的差别,本书教师用书中提供了部分备选题,供教师在备课时,根据自己所教班的实际情况选用.
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