二次函数及图象练习.docx
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二次函数及图象练习.docx
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二次函数及图象练习
二次函数及图象
(1)
1.二次函数y=-2(x-5)2+3的顶点坐标是_______.
2.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=______.
3.在平面直角坐标系中,把抛物线y=-
x2+1向上平移3个单位,再向左平移1个单位,则所得抛物
线的解析式是_______.
4.当x=______时,二次函数y=x2+2x-2有最小值.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=___.
6.把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_______.
7.如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,-2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为______.
答案:
1.(5,3)2.x2+13.y=-
(x+1)2+44.-15.-26.y=-(x+1)2-27.12
二次函数及图象
(2)
1.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为______.
2.二次函数y=x2-2x+6的最小值是______.
3.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1_____y2(填“>”、“<”或“=”).
4.已知二次函数y=x2+2mx+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是____.
5.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第_____象限.
6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=
x2于点B、C,则BC的长值为_____.
7.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:
①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c<0;④当-1<x<3时,y>0.其中正确的是_____(把正确的序号都填上).
答案:
1.y=-x2+4x-32.53.>4.m≥-25.四6.67.①②③
1.(2013•资阳)在关于x,y的二元一次方程组
中.
(1)若a=3.求方程组的解;
(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值.
2.(2013•邵阳)如图所示,已知抛物线y=-2x2-4x的图象E,将其向右平移两个单位后得到图象F.
(1)求图象F所表示的抛物线的解析式:
(2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧),顶点为点C,点A位于y轴负半轴上,且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍,求AB所在直线的解析式.
3.(2013•泉州)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).
(1)求a的值;
(2)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.
4.(2013•宁波)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.
5.(2013•牡丹江)如图,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,-3)
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
6.(2013•牡丹江)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式.
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.
注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-
.
7.(2013•凉山州)先阅读以下材料,然后解答问题:
材料:
将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,求平移后的抛物线的解析式(平移后抛物线的形状不变).
解:
在抛物线y=-x2+2x+3图象上任取两点A(0,3)、B(1,4),由题意知:
点A向左平移1个单位得到A′(-1,3),再向下平移2个单位得到A″(-1,1);点B向左平移1个单位得到B′(0,4),再向下平移2个单位得到B″(0,2).
设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c.则点A″(-1,1),B″(0,2)在抛物线上.可得:
,解得:
.所以平移后的抛物线的解析式为:
y=-x2+2.
根据以上信息解答下列问题:
将直线y=2x-3向右平移3个单位,再向上平移1个单位,求平移后的直线的解析式.
8.(2013•湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
9.(2013•黑龙江)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两点,交y轴于点E.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点F,连接DE,求△DEF的面积.
10.(2013•贵阳)已知:
直线y=ax+b过抛物线y=-x2-2x+3的顶点P,如图所示.
(1)顶点P的坐标是_____;
(2)若直线y=ax+b经过另一点A(0,11),求出该直线的表达式;
(3)在
(2)的条件下,若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称,求直线y=mx+n与抛物线y=-x2-2x+3的交点坐标.
11.(2013•佛山)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;
(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).
12.(2013•大庆)如图,平面直角坐标系中,以点C(2,
)为圆心,以2为半径的圆与x轴交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A,B,试确定此二次函数的解析式.
13.(2013•北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;
(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.
14.(2013•安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.
15.(2012•自贡)如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.
(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC、CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
16.(2012•淄博)已知:
抛物线y=−
(x+1)2.
(1)写出抛物线的对称轴;
(2)完成下表;
x
…
-7
-3
1
3
…
y
…
-9
-1
…
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象.
17.(2012•徐州)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).
(1)求b、c的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;
(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.
18.(2012•潍坊)许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料,节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋转位置从0度到90度(如图),燃气关闭时,燃气灶旋转的位置为0度,旋转角度越大,燃气流量越大,燃气开到最大时,旋转角度为90度.为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量,在相同条件下,选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时,其火力不能够将水烧开,故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90),记录相关数据得到下表:
旋钮角度(度)
20
50
70
80
90
所用燃气量(升)
73
67
83
97
115
(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?
说明确定是这种函数而不是其它函数的理由,并求出它的解析式;
(2)当旋钮角度为多少时,烧开一壶水所用燃气量最少?
最少是多少?
(3)某家庭使用此款燃气灶,以前习惯把燃气开到最大,现采用最节省燃气的旋钮角度,每月平均能节约燃气10立方米,求该家庭以前每月的平均燃气量.
19.(2012•绥化)如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点,与x轴交于点A(-4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.
20.(2012•邵阳)如图所示,已知抛物线C0的解析式为y=x2-2x
(1)求抛物线C0的顶点坐标;
(2)将抛物线C0每次向右平移2个单位,平移n次,依次得到抛物线C1、C2、C3、…、Cn(n为正整数)
①求抛物线C1与x轴的交点A1、A2的坐标;
②试确定抛物线Cn的解析式.(直接写出答案,不需要解题
21.(2012•日照)如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以
每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.
22.(2012•乐山)已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设方程的两实根分别为x1与x2,求代数式x1•x2-x12-x22的最大值.
23.(2012•佳木斯)如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)写出顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.
24.(2012•黑龙江)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)写出顶点坐标及对称轴;
(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=8,求点B的坐标.
25.(2012•黑河)如图,抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
注:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-
.
26.(2012•杭州)当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?
请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.
27.(2012•广州)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).
(1)当α=60°时,求CE的长;
(2)当60°<α<90°时,
①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
②连接CF,当CE2-CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
28.(2012•佛山)规律是数学研究的重要内容之一.
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题:
(1)写出奇数a用整数n表示的式子;
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;
(3)函数的研究中,应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究:
xi
0
1
2
3
4
5
…
yi
0
1
4
9
16
25
…
yi+1-yi
1
3
5
7
9
11
…
由表看出,当x的取值从0开始每增加1个单位时,y的值依次增加1,3,5…
请回答:
①当x的取值从0开始每增加
个单位时,y的值变化规律是什么?
②当x的取值从0开始每增加
个单位时,y的值变化规律是什么?
29.(2012•佛山)
(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
①y随x变化的部分数值规律如下表:
x
-1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
②有序数对(-1,0)、(1,4)、(3,0)满足y=ax2+bx+c;
③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图).
(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.
30.(2012•德州)如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:
∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?
并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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