自考2324离散数学第四章课后答案.docx
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自考2324离散数学第四章课后答案
自考2324离散数学课后答案
4.1习题参考答案
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1、在自然数集N中,下列哪种运算是可结合的()。
a)、a*b=a-b b)a*b=max(a,b)
c)、a*b=a+2b d)a*b=|a-b|
根据结合律的定义在自然数集N中任取a,b,c三数,察看(a。
b)。
c=a。
(b。
c)是否成立?
可以发现只有b、c满足结合律。
晓津观点:
b)满足结合律,分析如下:
a)若有a,b,c∈N,则
(a*b)*c=(a-b)-c
a*(b*c)=a-(b-c)
在自然数集中,两式的值不恒等,因此本运算是不可结合的。
b)同上,(a*b)*c=max(max(a,b),c)即得到a,b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等,因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
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2、设集合A={1,2,3,4,...,10},下面定义的哪种运算,关于集合A是不封闭的?
a)x*y=max(x,y)
b)x*y=min(x,y);
c)x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数;
d)x*y=LCM(x,y)即x,y最小公倍数;
d)是不封闭的。
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3、设S是非空有限集,代数系统<(s),∪,∩>中,(s)上,对∪的幺元为___φ___,零元为___S____,(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。
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4、设p,q,r是实数,*为R上二元运算↓a,b∈R,a*b=pa+qb+r,问*运算是否适合交换律、结合律和幂等律,是否有单位元和零元?
并证明你的结论。
其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位元
晓津补充证明如下:
(1)a*b=pa+qb+r而b*a=pb+qa+r当p,q取值不等时,二式不相等。
因此*运算不满足交换律。
(2)设a,b,c∈R
则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r
而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r
二式不恒等,因此*运算是不满足结合律的。
(3)a*a=pa+qa+r≠a所以运算不满足幂等律。
(4)反证法。
设有单位元e,则应有
a*e=pa+qe+r=a,e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q或e=(a-qa-r)/p当p,q,r,a取值不同时,可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的定理相矛盾。
(5)反证法。
设有零元O,则应有
a*O=pa+qO+r=O,O*a=pO+qa+r=O,同上分析,零元不止一个,因此与零元唯一的定理相矛盾。
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5、设代数系统,其中A={a,b,c},*是A上的一个二元关系。
对于以下定义所确定的运算,试分别讨论它们的交换性、等幂性,以及在A中关于*是否有幺元,如果有幺元,那么A中的每个元素是否有逆元。
(a)
(b)
*
abc
*
abc
a
b
c
abc
bca
cab
a
b
c
abc
bac
ccc
(c)
(d)
*
abc
*
abc
a
b
c
abc
abc
abc
a
b
c
abc
bbc
ccb
(a):
可交换、具有幂等性、有幺元a、c是b的逆元
晓津答案:
可交换,但不具有幂等性。
幺元e=a,表中有a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b.
(b):
可交换、不具有幂等性、有幺元a,
因为a*a=a,b*b=a,所以a有逆元a,b有逆元b.
(c):
不可交换、具有幂等性,无幺元。
(d):
可交换、不具有幂等性、有幺元a,a有逆元a.
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6、定义I+上两个二元运算为:
a*b=a^b
a△b=a.b,a,b∈I+,
证明*对△是不可分配的。
证明:
设a,b,c∈I+
a*(b△c)=a^(b.c)
(a*b)△(a*c)=(a^b).(a^c)=a^(b+c)
可见:
a*(b△c)≠(a*b)△(a*c)
根据:
a*(b△c)≠(a*b)△(a*c)
可知*对△是不可分配的
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7、设Zn={0,1,2,...,n-1},*是Zn上的二元运算,使得a*b=a.b/n的余数。
构造n=4时,运算*的规则表。
并证明对于任意n∈N,*在Zn上是可结合的。
解:
Zn={0,1,2,3}
*
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
晓津证明如下:
(1)我们先证明n=1时,该运算*在Z1上的运算是可结合的:
此时,设有a,b,c∈Z1则有a=0,b=0,c=0
(a*b)*c=(((a.b)Modn).c)Modn=0
a*(b*c)=(a.((b.c)Modn))Modn=0
两式相等,因此当n=1时,*运算是可结合的。
(2)由上可设当n=k时,*运算是可结合的。
(3)设n=k+1时,有:
(a*b)*c=(((a.b)Mod(k+1)).c)Mod(k+1)
=(a.b.cMod(k+1))Mod(k+1)
a*(b*c)=(a.((b.c)Mod(k+1)))Mod(k+1)
=(a.b.cMod(k+1))Mod(k+1)
可见两式是完全相同的结果。
因此有当n=k+1时,*运算满足结合律。
所以对于任意n∈N,*在Zn上是可结合的。
4.2节习题参考答案
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1、对于正整数k,Nk={0,1,2,.....,k-1},设*k是Nk上的一个二元运算,使得a*kb为用k除a.b所得余数,这里a,b∈Nk。
a)当k=4时,试造出*k的运算表。
b)对于任意正整数k,证明
解:
Zn={0,1,2,3}
*
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
(1)我们先证明k=1时,该运算*在Z1上的运算是可结合的:
此时,设有a,b,c∈Z1则有a=0,b=0,c=0
(a*b)*c=(((a.b)Modk).c)Modk=0
a*(b*c)=(a.((b.c)Modk))Modk=0
两式相等,因此当k=1时,*运算是可结合的。
(2)由上可设当k=k时,*运算是可结合的。
(3)设k=k+1时,有:
(a*b)*c=(((a.b)Mod(k+1)).c)Mod(k+1)
=(a.b.cMod(k+1))Mod(k+1)
a*(b*c)=(a.((b.c)Mod(k+1)))Mod(k+1)
=(a.b.cMod(k+1))Mod(k+1)
可见两式是完全相同的结果。
因此有当k=k+1时,*运算满足结合律。
所以对于任意k∈K,*在Zk上是可结合的。
由此可知其是个半群。
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2、设是一个半群a∈S,在S上定义一个二元运算□,使得对于S中任意元素x和y,都有x□y=x*a*y
证明:
二元运算□是可结合的。
根据结合律:
(x□y)□z=x□(y□z)
(x□y)□z=(x*a*y)*a*z
x□(y□z)=x*a*(y*a*z)
由于*满足结合律,故:
(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)
=>(x□y)□z=x□(y□z)
=>二元运算□是可结合的
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3、设G={0,1,2,3},为模4乘法,即 x,y∈G,xy=(xy)mod4。
问:
试证明之。
构成一个半群,证明详见第一题,其具有封闭性、结合性。
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4、在R中定义二元运算。
a。
b=a+b+ab,a,b∈R。
证明:
(1)、由运算。
可知,a。
b∈R,可知其在R上具有封闭性。
(2)、对于任意a,b,c∈R
(a。
b)。
c=(a+b+ab)。
c=a+b+ab+c+ac+bc+abc
a。
(b。
c)=a。
(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc
可见:
(a。
b)。
c=a。
(b。
c)
即。
在R上是可结合的。
(3)因为[0]。
[i]=i,所以[0]是
根据上述
晓津认为题中所给
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5、设V=是个半群,若存在a∈S,使得对任意的x∈S,有u
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