与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析.docx
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与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
与平行四边形有关得常用辅助线作法归类解析
本文结合例题归纳六类与平行四边形有关得常见辅助线,供同学们借鉴:
第一类:
连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1,在平行四边形中,点在对角线上,且,请您以为一个端点,与图中已标明字母得某一点连成一条新线段,猜想并证明它与图中已有得某一条线段相等(只需证明一条线段即可)
⑴连结 ⑵
⑶证明:
连结,设交于点O
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴即
∴四边形为平行四边形 ∴
第二类:
平移对角线,把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2,在平行四边形中,对角线与相交于点O,如果,
,那么得取值范围就是()
A B C D
解:
将线段沿方向平移,使得,,则有四边形为平行四边形,∵在中,,,
∴,即解得 故选A
第三类:
过一边两端点作对边得垂线,把平行四边形转化为矩形与直角三角形问题。
例3已知:
如左下图3,四边形为平行四边形
求证:
证明:
过分别作于点,得延长线于点F
∴
则
∵四边形为平行四边形 ∴∥且,
∴ ∵
∴ ∴
∴
第四类:
延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
例4:
已知:
如右上图4,在正方形中,分别就是、得中点,与交于点,求证:
证明:
延长交得延长线于点
∵四边形为正方形
∴∥且,,
∴又∵, ∴≌
∴∵ ∴
∵ ∴≌ ∴
∵ ∴ ∴,则
∴
第五类:
延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5,在平行四边形中,点为边上任一点,请您在该图基础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解:
延长与得延长线相交于,则有
∽,∽,∽
第六类:
把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线
例6已知:
如右上图6,在平行四边形中,,,
交于,求
解:
连结交于点,连结
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴∥且 ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴
综上所述,平行四边形中常添加辅助线就是:
连对角线,平移对角线,延长一边中点与顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形,为证明解决问题创造条件。
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形问题巧转换,变为△与□。
平移腰,移对角,两腰延长作出高。
如果出现腰中点,细心连上中位线。
上述方法不奏效,过腰中点全等造。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
梯形得辅助线
口诀:
梯形问题巧转换,变为△与□。
平移腰,移对角,两腰延长作出高。
如果出现腰中点,细心连上中位线。
上述方法不奏效,过腰中点全等造。
通常情况下,通过做辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,就是解梯形问题得基本思路。
至于选取哪种方法,要结合题目图形与已知条件。
常见得几种辅助线得作法如下:
作法
图形
平移腰,转化为三角形、平行四边形。
平移对角线。
转化为三角形、平行四边形。
延长两腰,转化为三角形。
作高,转化为直角三角形与矩形。
中位线与腰中点连线。
(一)、平移
1、平移一腰:
例1、如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17、求CD得长、
解:
过点D作DE∥BC交AB于点E、
又AB∥CD,所以四边形BCDE就是平行四边形、
所以DE=BC=17,CD=BE、
在Rt△DAE中,由勾股定理,得
AE2=DE2-AD2,即AE2=172-152=64、
所以AE=8、
所以BE=AB-AE=16-8=8、
即CD=8、
例2如图,梯形ABCD得上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC得取值范围。
解:
过点B作BM//AD交CD于点M,
在△BCM中,BM=AD=4,
CM=CD-DM=CD-AB=8-3=5,
所以BC得取值范围就是:
5-4<BC<5+4,即1 2、平移两腰: 例3如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别就是AD、BC得中点,连接EF,求EF得长。 解: 过点E分别作AB、CD得平行线,交BC于点G、H,可得 ∠EGH+∠EHG=∠B+∠C=90° 则△EGH就是直角三角形 因为E、F分别就是AD、BC得中点,容易证得F就是GH得中点 所以 3、平移对角线: 例4、已知: 梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD得面积. 解: 如图,作DE∥AC,交BC得延长线于E点. ∵AD∥BC ∴四边形ACED就是平行四边形 ∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4 ∵在△DBE中,BD=3,DE=4,BE=5 ∴∠BDE=90°. 作DH⊥BC于H,则 . 例5如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD=,求证: AC⊥BD。 解: 过点C作BD得平行线交AD得延长线于点E, 易得四边形BCED就是平行四边形, 则DE=BC,CE=BD=, 所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。 在等腰梯形ABCD中,AC=BD=, 所以在△ACE中,, 从而AC⊥CE,于就是AC⊥BD。 例6如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AC=15cm,BD=20cm,高DH=12cm,求梯形ABCD得面积。 解: 过点D作DE//AC,交BC得延长线于点E, 则四边形ACED就是平行四边形, 即。 所以 由勾股定理得 (cm) (cm) 所以,即梯形ABCD得面积就是150cm2。 (二)、延长 即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形。 例7如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=2,BC=5,求CD得长。 解: 延长BA、CD交于点E。 在△BCE中,∠B=50°,∠C=80°。 所以∠E=50°,从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC-ED=5-2=3 例8、如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC、判断四边形ABCD得形状,并证明您得结论、 解: 四边形ABCD就是等腰梯形、 证明: 延长AD、BC相交于点E,如图所示、 ∵AC=BD,AD=BC,AB=BA, ∴△DAB≌△CBA、 ∴∠DAB=∠CBA、 ∴EA=EB、 又AD=BC,∴DE=CE,∠EDC=∠ECD、 而∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD=180°, ∴∠EDC=∠EAB,∴DC∥AB、 又AD不平行于BC, ∴四边形ABCD就是等腰梯形、 (三)、作对角线 即通过作对角线,使梯形转化为三角形。 例9如图6,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD于点E,求证: AD=DE。 解: 连结BD, 由AD//BC,得∠ADB=∠DBE; 由BC=CD,得∠DBC=∠BDC。 所以∠ADB=∠BDE。 又∠BAD=∠DEB=90°,BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BED, 得AD=DE。 (四)、作梯形得高 1、作一条高 例10如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证: 四边形ABFE就是等腰梯形。 证: 过点D作DG⊥AB于点G, 则易知四边形DGBC就是矩形,所以DC=BG。 因为AB=2DC,所以AG=GB。 从而DA=DB,于就是∠DAB=∠DBA。 又EF//AB,所以四边形ABFE就是等腰梯形。 2、作两条高 例11、在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,∠ABC=60°,AD=3cm,BC=5cm, 求: (1)腰AB得长; (2)梯形ABCD得面积. 解: 作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,又∵AD∥BC, ∴四边形AEFD就是矩形, EF=AD=3cm ∵AB=DC ∵在Rt△ABE中,∠B=60°,BE=1cm ∴AB=2BE=2cm, ∴ 例12如图,在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证: BD>AC。 证: 作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,则易知AE=DF。 在Rt△ABE与Rt△DCF中, 因为AB>CD,AE=DF。 所以由勾股定理得BE>CF。 即BF>CE。 在Rt△BDF与Rt△CAE中 由勾股定理得BD>AC (五)、作中位线 1、已知梯形一腰中点,作梯形得中位线。 例13如图,在梯形ABCD中,AB//DC,O就是BC得中点,∠AOD=90°,求证: AB+CD=AD。 证: 取AD得中点E,连接OE,则易知OE就是梯形ABCD得中位线,从而OE=(AB+CD)① 在△AOD中,∠AOD=90°,AE=DE 所以ﻩ② 由①、②得AB+CD=AD。 2、已知梯形两条对角线得中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,使问题转化为三角形中位线。 例14如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别就是BD、AC得中点,求证: (1)EF//AD; (2)。 证: 连接DF,并延长交BC于点G,易证△AFD≌△CFG 则AD=CG,DF=GF 由于DE=BE,所以EF就是△BDG得中位线 从而EF//BG,且 因为AD//BG, 所以EF//AD,EF 3、在梯形中出现一腰上得中点时,过这点构造出两个全等得三角形达到解题得目得。 例15、在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=900,E就是DC上得中点,连接AE与BE,求∠AEB=2∠CBE。 解: 分别延长AE与BC,并交于F点 ∵∠BAD=900且AD∥BC ∴∠FBA=1800-∠BAD=900 又∵AD∥BC ∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC (对顶角相等) DE=EC (E点就是CD得中点) ∴△ADE≌△FCE (AAS) ∴AE=FE 在△ABF中∠FBA=900ﻩ且AE=FE ∴ BE=FE(直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半) ∴在△FEB中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE 例16、已知: 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,E就是CD中点,试问: 线段AE与BE之间有怎样得大小关系? 解: AE=BE,理由如下: 延长AE,与BC延长线交于点F. ∵DE=CE,∠AED=∠CEF, ∠DAE=∠F ∴△ADE≌△FCE ∴AE=EF ∵AB⊥BC,∴BE=AE. 例17、已知: 梯形ABCD中,AD//BC,E为DC中点,EF⊥AB于F点,AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD得面积. 解: 如图,过E点作MN∥AB,分别交AD得延长线于M点,交BC于N点. ∵DE=EC,AD∥BC ∴△DEM≌△CNE 四边形ABNM就是平行四边形 ∵EF⊥AB, ∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2. 【模拟试题】(答题时间: 40分钟) 1、若等腰梯形得锐角就是60°,它得两底分别为11cm,35cm,则它得腰长为__________cm、 2、如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,则此等腰梯形得周长为() A、19B、 20C、21D、22 3、如图所示,AB∥CD,AE⊥DC,AE=12,BD=20,AC=15,则梯形ABCD得面积为( ) A、130ﻩB、 140ﻩC、150D、160 *4、如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,对角线AC与BD互相垂直,且AD=30,BC=70,求BD得长、 5、如图所示,已知等腰梯形得锐角等于60°,它得两底分别为15cm与49cm,求它得腰长、 6、如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E,求DE得长、 7、如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD+DC=8,求AB得长、 **8、如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC, (1)若E就是AB得中点,且AD+BC=CD,则DE与CE有何位置关系? (2)E就是∠ADC与∠BCD得角平分线得交点,则DE与CE有何位置关系?
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