学习导数的心得体会.docx
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学习导数的心得体会
学习导数的心得体会
篇一:
第三章导数学习体会
第三章《导数》学习体会
一、教材分析
(一)内容安排
本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分。
导数的初步知识。
关键是导数概念的建立。
这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景,引出导数的概念,给出按定义求导数的方法,说明导数的几何意义。
然后讲述初等函数的求导方法,先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则,再进一步给出指数函数和对数函数的导数。
这部分的末尾安排了两篇阅读材料,一篇是结合导数概念的“变化率举例”,另一篇是介绍导数应用的“近似计算”。
导数的应用。
这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上,给出判定可导函数增减性的方法。
然后讨论函数的极值,由极值的意义,结合图象,得到利用导数判别可导函数极值的方法。
最后在可以确定函数极值的前提下,给出求可导函数的最大值与最小值的方法。
(二)教学目标
根据《大纲》的规定,本章的教学目标是:
1.了解导数概念的某些实际背景(例如瞬时速度,加速度,光滑曲线的切线的斜率等);
掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。
2.熟记基本导数公式。
[c’=o,(c为常数),(xn)’=n(xn-1),(sinx)’=cosx,(cosx)’=-sinx]
3.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
4.了解复合函数的求导法则,会求简单函数的导数。
5.会求指数函数和对数函数的导数。
(熟记ex,ax,lnx,logax的导数公式)
6.会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取极值的必
要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般是指单峰函数)的最大值与最小值。
7.过介绍微积分建立的时代背景和过程,了解微积分的科学价值,文化价值和基本思想。
(三)、重点与难点
从教学角度考虑本章的重点之一是:
根据导数定义求简单函数导数的方法。
一方面,按导数的定义求导数可以帮助学生进一步理解导数的概念;另一方面,像两个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导法则等,都是由导数的定义导出的,要掌握这些法则,须在理解的基础上熟记基本导数公式,从而会求简单初等函数的导数。
从学生掌握知识的角度考虑本章的重点之二是:
掌握利用导数判别可导函数极值的方法。
教材关于导数的应用,主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大(小)值的判定,其中最关键的是可导函数极值的判别定。
通过判定可导函数的极值,可以使学生加深对可导函数单调性与其导数的关系的了解;并且,掌握了可导函数极值的判别法之后,再学习可导函数的最大值与最小值的判定方法,就不成问题了。
难点之一:
对导数概念的理解。
一方面,导数的概念建立在极限的思想上,因此它比较抽象;另一方面,导数概念的定义方法学生不太熟悉。
教学中,应结合光滑曲线的斜率,非匀速直线运动的瞬时速度等实际背景,从物理和几何两方面入手引导学生逐步理解导数的概念。
难点之二:
求实际问题(包括科技、经济、社会中的)的最大值与最小值。
在掌握可导函数极值的判别法之外,判定可导函数的最值并不困难,但对一些实际问题,往往会遇到障碍。
这里关键是能从实际问题的不同情景出发,建立与之相应的函数关系(即建模)
本章共编了9小节,教学课时约需18节(仅供参考)
3.1导数的概念约3课时
3.2几种常见函数的导数约1课时
3.3函数的和、差、积、商的导数约2课时
3.4复合函数的导数约2课时
3.5对数函数与指数函数的导数约2课时
3.6函数的单调性约1课时
3.7函数的极值约2课时
3.8函数的最大值与最小值约1课时
3.9微积分建立的时代背景和历史意义约1课时
本章小结与复习约2课时
二、教材主要特点
(一)、加强知识发生过程的学习
学生开始接触的知识,关键是对导数的基本概念、性质等有一个初步的认识,进而达到能够运用由其内容反映出来的数学思想和方法的目点。
为此,适当介绍有关概念、性质的来龙去脉,对学生了解、把握它们是十分必要的。
本章的主要概念是导数,教科书在讲述导数的概念时,首先用比较多的篇幅介绍了导数产生的几何背景——光滑曲线的切线的斜率,以及物理背景——瞬时速度,由此引出函数在一点的导数的定义。
接下来,又阐述了导数的几何意义,这样处理,符合学生的认识规律,有利于学生正确理解和掌握导数的意义。
函数的单调性、可导函数的极值与函数的最大值与最小值是导数应用的具体内容,为了使学生能够正确地运用相应的方法,教科书首先从几何直观上让学生了解这此概念,进而引出它们与导数的关系,从而获得解决问题的方法,这样处理,符合知识的发生和发展过程及学生的认识规律,有利于学生正确理解和运用相应的方法。
而整章从介绍光滑曲线的斜率,以及物理背景——瞬时速度(知识的发生),到导数的概念和基本函数的导数及有关求导法则(知识的发展)直到最后导数的应用,更是遵循了微积分建立的历史过程。
(二)、降低理论要求,重视数学应用
学习导数,要着眼于用导数的知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作中的问题。
高中阶段,在导数概念的严谨性、知识的系统性上多花时间与精力,既没有必要也不可能收到明显的效果。
因此,与以往高中教材中的导数部分比较,本章在数学应用的内容上适当加强了,而在理论要求上则有所降低。
本章导数的初步知识中介绍了一此导数公式与求导法则,教材侧重的是公式在求导中的应用,而淡化(或删除了)公式与法则的理论推导。
例如,在导数公式中,函数xm的导数公式只给了m是正整数情况下的证明,函数sinx、cosx的导数公式则没有给出证明;(对数函数与指数函数的导数公式没有给出证明,是因为超出了目前的学习范围),在两个函数四则运算的求导法则中,没有给出商的求导法则的证明,没有给出复合函数求导法则的证明(最近册去)这些都表明皆在降低理论要求
本章开篇,就用了一个“当容积相同时,圆柱形罐的尺寸怎样,其表面积最小”的实际问题作引言,这是导数应用的问题。
在建立导数的概念时,又先由两个具体问题作辅垫,突出了导数与实际问题及有关知识的联系,体现了它的应用价值,这样也可以激发学生学习导数知识的兴趣,培养应用知识的意识,有助于激发学生的创新意识。
在具体应用部分,教材重点配备了一些联系实际(科技、经济、社会)的例题与习题(3.8例2、例3,小结复习中例2、习题3.8:
3、4、5,复习参考题中a组14、15,B组6等。
)
三、教学中应注意的问题
(一)突出教学重点,把握教学要求
为了提高教学效率,在每个知识的教学中,一定要抓住重点,并把握好教学要求的深度和广度。
1.3.1导数概念中,学习导数概念的实际背景时,侧重点应放在瞬时速度的讲授上,而将光滑曲线的切线的斜率作为辅导材料。
这是因为所汲及地物理背景比较贴近学生的生活经验,学生容易理解。
可关于曲线的切线,在对极限的思想还不熟悉的时候,要学生体会“PQ是曲线的割线,当点Q沿着曲线无限接近于点P时,如果割线PQ有一个极限位置,则直线叫做曲线在点P处的切线”这个定义,比较困难。
在导数的定义中,应抓住增量?
x,?
y的意义,增量?
x可正可负,它只是一个改变量。
强调定义式f'(x0)?
limf(x0?
?
x)?
y?
lim的意义和特征。
?
x?
0?
x?
x?
0?
x
2.对于导数公式和两个函数的和、差、积、商的求导法则,不需要补充介绍其证明,但要熟记公式和法则,关键是能让学生运用它正确地求简单的初等函数的导数,简单的初等函数把握在习题、复习题的形式为宜,避免过于复杂的运算。
3.复合函数的导数,只需要掌握它的法则,在这里一定要控制好习题的难度(一般可控制在幂函数中的复合,和正弦函数、余弦函数构成的复合函数中,复合的次数一般可控制在两次以内)。
4.导数应用部分,重点让学生掌握求简单函数极值和单调区间的方法;根据函数图象,利用直观的方法让学生理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的量值与导数的关系。
5.了解通过介绍微积分建立的时代背景和历史意义。
(二)注意知识的纵横联系,交叉综合。
学习导数的知识,从纵向看,要与前一章的“极限”知识特别是高一所学的函数知识相联系,从横向看,要重视与物理知识和实际知识的联系。
在本章之前,学生已经学过一些函数的知识。
高一所学的一次、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是研究导数的具体函数,简单的初等函数也由它们复合而成,是学习导数的基础。
而函数的单调性和最大值、最小值问题前面已有涉及,但使用的是初等方法,能解决的是几类典型的问题,而求导的方法更具有一般意义,让学生加以对比可以对学生导数的必要性有更深的认识
此外,我们所学的导数是用极限方法定义的,因此,本章与前一章“极限”联系也十分密切。
微积分从它的产生到发展,与物理有着密不可分的联系。
教学中,一方面,借助实际问题的物理背景,可以帮助学生理解导数的有关概念;另一方面,本章所学的导数的应用,不少是物理的实际问题。
(三)重视对知识应用意识的培养
导数非常明显的特征就是和实际问题联系的紧密性和它的应用性。
应用意识的培养一方面可以通过解决大量的实际问题来实现,另一方面也可以通过介绍微积分建煌时代背景和历史意义,使学生明白数学源于生活实际,又应用于生活实际,同时培养学生探索和创新的精神。
篇二:
20XX-20XX学年度第一学期第三章导数学习体会
《导数》学习体会
赫章县民族中学:
项维
(一)突出教学重点,把握教学要求
为了提高教学效率,在每个知识的教学中,一定要抓住重点,并把握好教学要求的深度和广度。
1.3.1导数概念中,学习导数概念的实际背景时,侧重点应放在瞬时速度的讲授上,而将光滑曲线的切线的斜率作为辅导材料。
这是因为所汲及地物理背景比较贴近学生的生活经验,学生容易理解。
可关于曲线的切线,在对极限的思想还不熟悉的时候,要学生体会“PQ是曲线的割线,当点Q沿着曲线无限接近于点P时,如果割线PQ有一个极限位置,则直线叫做曲线在点P处的切线”这个定义,比较困难。
在导数的定义中,应抓住增量?
x,?
y的意义,增量?
x可正可负,它?
y?
lim只是一个改变量。
强调定义式f'(x0)?
?
limx?
0?
x?
0?
xf(x0?
?
x)
?
x的意义和
特征。
2.对于导数公式和两个函数的和、差、积、商的求导法则,不需要补充介绍其证明,但要熟记公式和法则,关键是能让学生运用它正确地求简单的初等函数的导数,简单的初等函数把握在习题、复习题的形式为宜,避免过于复杂的运算。
3.复合函数的导数,只需要掌握它的法则,在这里一定要控制好习题的难度(一般可控制在幂函数中的复合,和正弦函数、余弦函数构成的复合函数中,复合的次数一般可控制在两次以内)。
4.导数应用部分,重点让学生掌握求简单函数极值和单调区间的方法;根据函数图象,利用直观的方法让学生理解、体会函数的单调性、函数的极值、函数的量值与导数的关系。
5.了解通过介绍微积分建立的时代背景和历史意义。
(二)注意知识的纵横联系,交叉综合。
学习导数的知识,从纵向看,要与“极限”知识特别是高一所学的函数知识相联系,从横向看,要重视与物理知识和实际知识的联系。
在本章之前,学生已经学过一些函数的知识。
高一所学的一次、二次函数、分式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是研究导数的具体函数,简单的初等函数也由它们复合而成,是学习导数的基础。
而函数的单调性和最大值、最小值问题前面已有涉及,但使用的是初等方法,能解决的是几类典型的问题,而求导的方法更具有一般意义,让学生加以对比可以对学生导数的必要性有更深的认识
此外,我们所学的导数是用极限方法定义的,因此,本章与前一章“极限”联系也十分密切。
微积分从它的产生到发展,与物理
有着密不可分的联系。
教学中,一方面,借助实际问题的物理背景,可以帮助学生理解导数的有关概念;另一方面,本章所学的导数的应用,不少是物理的实际问题。
(三)重视对知识应用意识的培养
导数非常明显的特征就是和实际问题联系的紧密性和它的应用性。
应用意识的培养一方面可以通过解决大量的实际问题来实现,另一方面也可以通过介绍微积分建煌时代背景和历史意义,使学生明白数学源于生活实际,又应用于生活实际,同时培养学生探索和创新的精神。
篇三:
导数学习
第十章导数及其应用
一、知识导学
10.1导数及其运算
1.瞬时变化率:
设函数y?
f(x)在x0附近有定义,当自变量在x?
x0附近改变量为?
x时,函数值相应地改变?
y?
f(x0?
?
x)?
f(x),如果当?
x趋近于0时,平均变化率?
y?
x
f(x0?
?
x)?
f(x0)
?
x
?
趋近于一个常数c(也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝
对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数c称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率。
2.导数:
当?
x趋近于零时,
f(x0?
?
x)?
f(x0)
?
x
趋近于常数c。
可用符号“?
”记作:
当?
x?
0时,
f(x0?
?
x)?
f(x0)
?
x
?
c或记作lim
f(x0?
?
x)?
f(x0)
?
x
?
x?
0
?
c,符号“?
”
读作“趋近于”。
函数在x0的瞬时变化率,通常称作f(x)在x?
x0处的导数,并记作f?
(x0)。
3.导函数:
如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导。
这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f?
(x)。
于是,在区间(a,b)内,
f?
(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y?
f(x)的导函数。
记为f?
(x)或y?
(或y?
。
x)
4.导数的四则运算法则:
1)函数和(或差)的求导法则:
设f(x),g(x)是可导的,则
(f(x)?
g(x))?
?
f?
(x)?
g?
(x)即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差)。
2)函数积的求导法则:
设f(x),g(x)是可导的,则
[f(x)g(x)]?
?
f?
(x)g(x)?
f(x)g?
(x)即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数
乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3)函数的商的求导法则:
设f(x),g(x)是可导的,g(x)?
0,则
?
?
f(x)?
g(x)f?
(x)?
f(x)g?
(x)
?
?
?
2
g(x)?
g(x)?
5.复合函数的导数:
设函数u?
?
(x)在点x处有导数u?
?
?
?
(x),函数y?
f(u)在点x的x
?
?
f?
(u),则复合函数y?
f[?
(x)]在点x处有导数,且对应点u处有导数yu?
?
u?
.y?
?
yu
xx
6.几种常见函数的导数:
n
?
?
nxn?
1(n?
Q)
(1)c?
?
0(c为常数)
(2)(x)
(3)(sinx)?
?
cosx(4)(cosx)?
?
?
sinx(5)(lnx)?
?
1x
(6)(log
a
x)?
?
1x
log
a
e
(7)(ex)?
?
ex(8)(ax)?
?
axlna二、疑难知识导析
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
?
?
u?
?
yu2.运用复合函数的求导法则y?
xx,应注意以下几点
(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.
(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后,
常出现如下错误,如(cos2x)?
?
?
sin2x实际上应是?
2sin2x。
(3)求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如
y?
1(1?
3x)
4
选成y?
1u
,u?
v,v?
1?
w,w?
3x计算起来就复杂了。
4
3.导数的几何意义与物理意义
导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时速度。
对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够的重视。
4.f?
(x0)与f?
(x)的关系
f?
(x0)表示f(x)在x?
x0处的导数,即f?
(x0)是函数在某一点的导数;f?
(x)表示函数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数,此时f?
(x)是在(a,b)上x的函数,即f?
(x)是在(a,b)内任一点的导数。
5.导数与连续的关系
若函数y?
f(x)在x0处可导,则此函数在点x0处连续,但逆命题不成立,即函数
y?
f(x)在点x0处连续,未必在x0点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条
件,而不是充分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函数y?
f(x)在x?
x0处的导数,表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率,因
此,曲线y?
f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得:
(1)求出函数y?
f(x)在点x?
x0处的导数,即曲线y?
f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为:
y?
y0?
f?
(x0)(x?
x0),如果曲线y?
f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为x?
x0.三、经典例题导讲
[例1]已知y?
(1?
cos2x)2,则y?
?
错因:
复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:
y?
?
?
2sin2x(1?
cos2x).
?
u?
?
yu?
2u(1?
cos2x)?
?
2u?
(?
sin2x)?
(2x)?
正解:
设y?
u2,u?
1?
cos2x,则y?
xx
?
2u?
(?
sin2x)?
2?
?
4sin2x(1?
cos2x)?
y?
?
?
4sin2x(1?
cos2x).
?
12
(x?
1)(x?
1)?
?
2
[例2]已知函数f(x)?
?
判断f(x)在x=1处是否可导?
1?
(x?
1)(x?
1)?
?
2
1
[(1?
?
x)?
1]?
2
12
错解:
?
lim2
?
x?
0
(1?
1)
2
?
1,?
f?
(1)?
1。
?
x
分析:
分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导.
1
[(1?
?
x)?
1]?
?
x
2
1解:
lim
?
x?
0
?
y
?
?
x
?
lim
?
x?
0
?
(1?
1)
?
1
2
∴f(x)在x=1处不可导.
?
注:
?
x?
0,指?
x逐渐减小趋近于0;?
x?
0,指?
x逐渐增大趋近于0。
f(x0?
?
x)?
f(x0)
?
x
?
点评:
函数在某一点的导数,是一个极限值,即lim
?
x?
0
+
-
,△x→0,包括
△x→0,与△x→0,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.[例3]求y?
2x2?
3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。
错因:
直接将P,Q看作曲线上的点用导数求解。
分析:
点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y?
在x?
1处的函数值;
点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线.
解:
?
y?
2x?
3,?
y?
?
4x.?
y?
2
x?
1?
4
即过点P的切线的斜率为4,故切线为:
y?
4x?
1.
设过点Q的切线的切点为T(x0,y0),则切线的斜率为4x0,又kPQ?
2
y0?
9x0?
2
,
故
2x0?
6x0?
2
?
4x0,?
2x0?
8x0?
6?
0.?
x0?
1,3。
2
即切线QT的斜率为4或12,从而过点Q的切线为:
y50px”width=“450px”alt=“学习导数的心得体会”title=“学习导数的心得体会”/>
?
4x?
1,y?
12x?
15
点评:
要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.
[例4]求证:
函数y?
x?
的切线方程.
1x
图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0
分析:
由导数的几何意义知,要证函数y?
x?
1x
的图象上各点处切线的斜率都小于1,只
要证它的导函数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解.
解:
(1)y?
x?
1x
?
y?
?
1?
1x
2
?
1,即对函数y?
x?
1x
1x
定义域内的任一x,其导数值
都小于1,于是由导数的几何意义可知,函数y?
x?
1x
2
图象上各点处切线的斜率都小于1.
(2)令1?
?
0,得x?
?
1,当x?
1时,y?
1?
1x
11
?
2;当x?
?
1时,y?
?
2,
?
曲线y?
x?
的斜率为0的切线有两条,其切点分别为(1,2)与(?
1,?
2),切线方程分别
为y?
2或y?
?
。
点评:
在已知曲线y?
f(x)切线斜率为k的情况下,要求其切线方程,需要求出切点,而切点的横坐标就是y?
f(x)的导数值为k时的解,即方程f?
(x)?
k的解,将方程求出了切点坐标即可写出切线方程,要f?
(x)?
k的解代入y?
f(x)就可得切点的纵坐标,
注意的是方程f?
(x)?
k有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条.
[例5]已知a?
0,函数f(x)?
x3?
a,x?
?
0,?
?
?
,设x1?
0,记曲线y?
f(x)在点m(x1,f(x1))处的切线为l.
(1)求l的方程;
(2)设l与x轴交点为(x2,0),求证:
1
1
1
①x2?
a3;②若x1?
a3,则a3?
x2?
x1
分析:
本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程.解:
(1)f(x)?
lim
/
?
y?
x
?
x?
0
?
lim
(x?
?
x)?
a?
x?
a
33
?
x?
0
?
x
2
3
?
lim
?
x?
0
3x?
x?
3x(?
x)?
(?
x)
?
x
2
2
?
lim[3x
?
x?
0
?
3x?
x?
(?
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3x
22
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32
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