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题解
第十七届全国青少年信息学奥林匹克联赛复赛试题
(NOIP2011提高组)
Day1
铺地毯
【问题描述】
为了准备一个独特的颁奖典礼,组织者在会场的一片矩形区域(可看做是平面直角坐标系的第一象限)铺上一些矩形地毯。
一共有n张地毯,编号从1到n。
现在将这些地毯按照编号从小到大的顺序平行于坐标轴先后铺设,后铺的地毯覆盖在前面已经铺好的地毯之上。
地毯铺设完成后,组织者想知道覆盖地面某个点的最上面的那张地毯的编号。
注意:
在矩形地毯边界和四个顶点上的点也算被地毯覆盖。
【输入】
输入文件名为carpet.in。
输入共n+2行。
第一行,一个整数n,表示总共有n张地毯。
接下来的n行中,第i+1行表示编号i的地毯的信息,包含四个正整数a,b,g,k,每两个整数之间用一个空格隔开,分别表示铺设地毯的左下角的坐标(a,b)以及地毯在x轴和y轴方向的长度。
第n+2行包含两个正整数x和y,表示所求的地面的点的坐标(x,y)。
【输出】
输出文件名为carpet.out。
输出共1行,一个整数,表示所求的地毯的编号;若此处没有被地毯覆盖则输出-1。
【输入输出样例1】
carpet.in
carpet.out
3
1023
0233
2133
22
3
【输入输出样例说明】
如下图,1号地毯用实线表示,2号地毯用虚线表示,3号用双实线表示,覆盖点(2,2)的最上面一张地毯是3号地毯。
【输入输出样例2】
carpet.in
carpet.out
3
1023
0233
2133
45
-1
【输入输出样例说明】
如上图,1号地毯用实线表示,2号地毯用虚线表示,3号用双实线表示,点(4,5)没有被地毯覆盖,所以输出-1。
【数据范围】
对于30%的数据,有n≤2;
对于50%的数据,0≤a,b,g,k≤100;
对于100%的数据,有0≤n≤10,000,0≤a,b,g,k≤100,000。
【一句话题意】
给定n个按顺序覆盖的矩形,求某个点最上方的矩形编号。
【考察知识点】
枚举
【思路】置答案ans=-1,按顺序枚举所有矩形,如果点在矩形内则更新ans。
注意题中给出的不是对角坐标,实际上是(a,b)与(a+g,b+k)。
还有一种办法可以从n到1枚举矩形,一旦在矩形内就直接输出,可能会快一点。
不过对于这题的范围什么都是浮云。
【时间复杂度】O(n)
代码/标程
programcarpet;
//usessysutils;
type
juxing=record
x1,y1,x2,y2:
longint;
end;
var
i,j,k,l,r,m,n,x,y,s,t,ans:
longint;
a:
array[0..11000]ofjuxing;
t1,t2,t3,t4:
longint;
// time:
double;
procedureinit;
var
i,j,k:
longint;
begin
readln(n);
fillchar(a,sizeof(a),0);
fori:
=1tondo
begin
readln(t1,t2,t3,t4);
a[i].x1:
=t1;
a[i].y1:
=t2;
a[i].x2:
=t1+t3;
a[i].y2:
=t2+t4;
end;
readln(x,y);
end;
functionok(i:
longint):
boolean;
begin
if(a[i].x1<=x)and(x<=a[i].x2)then
if(a[i].y1<=y)and(y<=a[i].y2)then
exit(true);
exit(false);
end;
proceduremain;
var
i,j,k:
longint;
begin
ans:
=-1;
fori:
=1tondo
ifok(i)then
ans:
=i;
end;
procedureprint;
var
i,j,k:
longint;
begin
writeln(ans);
end;
begin
assign(input,'carpet.in');
assign(output,'carpet.out');
reset(input);
rewrite(output);
// time:
=now;
Init;
main;
print;
// writeln((now-time)*24*3600*1000:
0:
0);
close(input);
close(output);
end.
选择客栈
【问题描述】
丽江河边有n家很有特色的客栈,客栈按照其位置顺序从1到n编号。
每家客栈都按照某一种色调进行装饰(总共k种,用整数0~k-1表示),且每家客栈都设有一家咖啡店,每家咖啡店均有各自的最低消费。
两位游客一起去丽江旅游,他们喜欢相同的色调,又想尝试两个不同的客栈,因此决定分别住在色调相同的两家客栈中。
晚上,他们打算选择一家咖啡店喝咖啡,要求咖啡店位于两人住的两家客栈之间(包括他们住的客栈),且咖啡店的最低消费不超过p。
他们想知道总共有多少种选择住宿的方案,保证晚上可以找到一家最低消费不超过p元的咖啡店小聚。
【输入】
输入文件hotel.in,共n+1行。
第一行三个整数n,k,p,每两个整数之间用一个空格隔开,分别表示客栈的个数,色调的数目和能接受的最低消费的最高值;接下来的n行,第i+1行两个整数,之间用一个空格隔开,分别表示i号客栈的装饰色调和i号客栈的咖啡店的最低消费。
【输出】
输出文件名为hotel.out。
输出只有一行,一个整数,表示可选的住宿方案的总数。
【输入输出样例1】
hotel.in
hotel.out
523
05
13
02
14
15
3
【输入输出样例说明】
客栈编号
①
②
③
④
⑤
色调
0
1
0
1
1
最低消费
5
3
2
4
5
2人要住同样色调的客栈,所有可选的住宿方案包括:
住客栈①③,②④,②⑤,④⑤,但是若选择住4、5号客栈的话,4、5号客栈之间的咖啡店的最低消费是4,而两人能承受的最低消费是3元,所以不满足要求。
因此只有前3种方案可选。
【数据范围】
对于30%的数据,有n≤100;
对于50%的数据,有n≤1,000;
对于100%的数据,有2≤n≤200,000,0 【一句话题意】 合法区间[l,r]定义: l,r的色调相同,且[l,r]之间存在一个最低消费不超过p。 求合法区间总数。 【考察知识点】 二分查找/枚举 【思路】 ①: O(n^3): 看完题目后不知所云,再多看几遍,一个O(n^3)的算法有了一点雏形。 用两层循环枚举区间的左右端点l、r,再用一层循环判断区间内是否有可行的咖啡店,累计即可。 这个算法思维难度和编程难度都非常低,但是只能过30%的数据,可以作为对拍程序备份。 ②: O(nk) 再仔细思考,发现题中合法区间的限制条件其实很强。 首先区间端点的色调必须相同,其次区间内必须要存在一个咖啡店最低消费不超过P。 因此,如果我们用一层循环枚举左端点,并很快找到右端点的可行数,那么题目就能解决了。 这里置答案为变量ans,千万注意类型要为int64,如果为ans: longint,超级大杯具! ! ! 这里首先要用到区间部分和优化。 设sum[i,j]为前i个客栈中,色调为j的客栈总数,那么: sum[i,j]=sum[i-1,j] (color[i]<>j) sum[i,j]=sum[i-1,j]+1 (color[i]=j) 这里要用O(NK)的复杂度,是算法的瓶颈所在,不过对于题中的数据范围已经足够了。 并且具体实现可以先用数组赋值sum[i]=sum[i-1],然后再为sum[i,color[i]]+1,应该会快很多。 我们还需要解决的问题就是,已知了L,如何快速找到R的可行范围? 再次注意区间内必须要存在一个咖啡店最低消费不超过P。 因此,如果L就是一个最低消费不超过P的咖啡店,那么R可以取到[L+1,n]中所有色调为color[L]的客栈,即ans=ans+sum[n,color[L]]-sum[L,color[L]];如果L是一个最低消费超过P的咖啡店,那么我们要找到一个T∈[L+1,n],且咖啡店T的最低消费不超过P,那么R就可以取到[T,n]中所有色调为color[L]的客栈,即ans=ans+sum[n,color[L]]-sum[T-1,color[L]] 。 问题是我们如何找到这个T,其实很简单,二分查找即可。 再次预设一个数组,保存所有最低消费不超过P的咖啡店序号,二分查找L即可。 注意这里L一定不存在这个数组中,因此找到的应该是最靠近L且大于L的序号,细节处理很重要。 找不到返回-1,不用累加ans就是了。 ③: O(n) 这应该是最优算法了,无论从空间、时间、编程复杂度方面来说。 记f(i)为第1~i的客栈中,编号最大的最低消费小于p的旅馆编号;r(i)为1~i-1号旅馆中,编号最大的与第i号旅馆色调相同的旅馆编号,count1(i)为第1~i-1号旅馆中与第i号旅馆色调相同旅馆数目,count2(i)为第1~i-1号旅馆中与第i号旅馆色调相同,且到第i号旅馆的路上存在最低消费不大于p的旅馆的旅馆数目。 (I)若f(i) (II)若f(i)>=r(i),那么第1~r(i)号旅馆中,所有与第i号旅馆色调相同的旅馆到第i号旅馆的路上必然存在一个旅馆的最低消费不大于p。 故此时count2(i)=count1(i)。 从1到n扫描一次即可,时间复杂度O(n)。 具体实现时可以将数组压缩,空间复杂度O(k)。 【时间复杂度】最低O(n) 代码/标程 programhotel; type kezhan=record color,cost: longint; end; var i,j,k,l,r,m,n,x,y,s,t: longint; a: array[-10..200100]ofkezhan; sum: array[-10..200100,-10..60]oflongint; colorsum,mincost: longint; cafe: array[-10..200100]oflongint; v: array[-10..200100]ofboolean; ans: int64; procedureinit; var i,j,k: longint; begin readln(n,colorsum,mincost); fillchar(a,sizeof(a),0); fori: =1tondo readln(a[i].color,a[i].cost); end; functionfind(x: longint): longint; var i,j,k,mid: longint; begin l: =1; r: =s; find: =-1; repeat mid: =(l+r)shr1; ifx<=cafe[mid]then begin r: =mid-1; find: =cafe[mid]; end else l: =mid+1; untill>r; end; proceduremain; var i,j,k: longint; begin fori: =0tocolorsum-1do sum[0,i]: =0; fori: =1tondo begin sum[i]: =sum[i-1]; sum[i,a[i].color]: =sum[i-1,a[i].color]+1; end; s: =0; fillchar(cafe,sizeof(cafe),0); fillchar(v,sizeof(v),false); fori: =1tondo ifa[i].cost<=mincostthen begin inc(s); cafe[s]: =i; v[i]: =true; end; ans: =0; fori: =1ton-1do//meijudiyigeren begin ifv[i]then begin ans: =ans+(sum[n,a[i].color]-sum[i,a[i].color]); end else begin j: =find(i); ifj=-1thenexit; ans: =ans+(sum[n,a[i].color]-sum[j-1,a[i].color]); end; end; end; procedureprint; var i,j,k: longint; begin writeln(ans); end; begin assign(input,'hotel.in'); assign(output,'hotel.ans'); reset(input); rewrite(output); init; main; print; close(input); close(output); end. mayan 游戏 【问题描述】 Mayanpuzzle是最近流行起来的一个游戏。 游戏界面是一个7行5列的棋盘,上面堆放着一些方块,方块不能悬空堆放,即方块必须放在最下面一行,或者放在其他方块之上。 游戏通关是指在规定的步数内消除所有的方块,消除方块的规则如下: 1、每步移动可以且仅可以沿横向(即向左或向右)拖动某一方块一格: 当拖动这一方块时,如果拖动后到达的位置(以下称目标位置)也有方块,那么这两个方块将交换位置(参见输入输出样例说明中的图6到图7);如果目标位置上没有方块,那么被拖动的方块将从原来的竖列中抽出,并从目标位置上掉落(直到不悬空,参见下面图1和图2); 2、任一时刻,如果在一横行或者竖列上有连续三个或者三个以上相同颜色的方块,则它们将立即被消除(参见图1到图3)。 注意: a)如果同时有多组方块满足消除条件,几组方块会同时被消除(例如下面图4,三个颜色为1的方块和三个颜色为2的方块会同时被消除,最后剩下一个颜色为2的方块)。 b)当出现行和列都满足消除条件且行列共享某个方块时,行和列上满足消除条件的所有方块会被同时消除(例如下面图5所示的情形,5个方块会同时被消除)。 3、方块消除之后,消除位置之上的方块将掉落,掉落后可能会引起新的方块消除。 注意: 掉落的过程中将不会有方块的消除。 上面图1到图3给出了在棋盘上移动一块方块之后棋盘的变化。 棋盘的左下角方块的坐标为(0,0),将位于(3,3)的方块向左移动之后,游戏界面从图1变成图2所示的状态,此时在一竖列上有连续三块颜色为4的方块,满足消除条件,消除连续3块颜色为4的方块后,上方的颜色为3的方块掉落,形成图3所示的局面。 【输入】 输入文件mayan.in,共6行。 第一行为一个正整数n,表示要求游戏通关的步数。 接下来的5行,描述7*5的游戏界面。 每行若干个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,每行以一个0结束,自下向上表示每竖列方块的颜色编号(颜色不多于10种,从1开始顺序编号,相同数字表示相同颜色)。 输入数据保证初始棋盘中没有可以消除的方块。 【输出】 输出文件名为mayan.out。 如果有解决方案,输出n行,每行包含3个整数x,y,g,表示一次移动,每两个整数之间用一个空格隔开,其中(x,y)表示要移动的方块的坐标,g表示移动的方向,1表示向右移动,-1表示向左移动。 注意: 多组解时,按照x为第一关健字,y为第二关健字,1优先于-1,给出一组字典序最小的解。 游戏界面左下角的坐标为(0,0)。 如果没有解决方案,输出一行,包含一个整数-1。 【输入输出样例1】 mayan.in mayan.out 3 10 210 2340 310 24340 211 311 301 【输入输出样例说明】 按箭头方向的顺序分别为图6到图11 样例输入的游戏局面如上面第一个图片所示,依次移动的三步是: (2,1)处的方格向右移动,(3,1)处的方格向右移动,(3,0)处的方格向右移动,最后可以将棋盘上所有方块消除。 【数据范围】 对于30%的数据,初始棋盘上的方块都在棋盘的最下面一行; 对于100%的数据,0 【一句话题意】 给定一个存在重力的矩阵,每次只能向左或右交换方块,连续3个或以上的方块群会被消除。 求操作次数为N时的操作步骤。 【考察知识点】 DFS 【思路】 第三题竟然是iPhone上MayanPuzzle游戏的完全复制。 对于这种完全裸搜索,固定搜索顺序,掐死搜索深度,基本无任何剪枝。 注意注意,第一页描述这题每个测试点时间限制是3S。 首先马上确定这是搜索题目,抛弃所有动规贪心等等。 然后锁定DFS,因为题中已经限定搜索深度。 设过程down(i),表示将第i列的所有方块下沉。 设函数clear,分行列清空后返回是否可以清空,这里用到连续区间指针l、r优化,类似前向星分组时的操作。 于是: whilecleardo fori: =1to5do down(i); 注意在此之前如果有方块一交换就往下掉,那么就down交换的那两列。 根据我的CCF测评分数可以看出,爆搜只能过50分,若常数小一点可以过80分。 稍微修改了一下代码,用上两个剪枝,就可以通过了。 下面附加几个剪枝: · 若两种相同颜色的方块进行交换,显然没有意义。 · 某个颜色方块的数量<=2,则很显然不能被消除 · 设个变量掐时,大概快超时的时候直接输出-1 【时间复杂度】 O(k(4*7)^5) mayan 游戏 programmayan; type arr=array[-2..6,-2..8]ofinteger; sdata=record x,y,g: integer; end; vard: arr; step: array[1..5]ofsdata; n,f: integer; procedureinit;//初始化 vari,j: integer; begin fillchar(d,sizeof(d),0); readln(n); fori: =0to4do begin j: =-1; repeatinc(j);read(d[i,j]);untild[i,j]=0;//在此位置,可以修改代码把颜色小于等于2的情况剪掉 end; f: =-1; end; procedureprint;//输出结果 vari: integer; begin iff=1thenfori: =1tondowriteln(step[i].x,'',step[i].y,'',step[i].g) elsewriteln(-1); end; functionok(a: arr): boolean; vari,j: integer;t: boolean; begin t: =true; fori: =0to4do forj: =0to6doifa[i,j]>0then begint: =false;break;end; exit(t); end; procedurecheck(vara: arr);//消除 下落 vars: arr;i,j,k,t: integer; begin repeat t: =0;fillchar(s,sizeof(s),0); fori: =0to4do forj: =0to6doifa[i,j]>0then begin if(a[i,j+2]=a[i,j+1])and(a[i,j+1]=a[i,j])then begint: =1;fork: =0to2dos[i,j+k]: =1;end; if(a[i+2,j]=a[i+1,j])and(a[i+1,j]=a[i,j])then begint: =1;fork: =0to2dos[i+k,j]: =1;end; end; ift=1then begin fori: =0to4do forj: =0to6do ifs[i,j]=1thena[i,j]: =0; fori: =0to4do forj: =5downto0do
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