双曲线常见题型与典型方法归纳.docx
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双曲线常见题型与典型方法归纳
双曲线常见题型与典型方法归纳
考点一双曲线标准方程及性质
1.双曲线的定义
第一定义:
平面内与两个定点Fi,F2距离的差的绝对值等于2a(2a<|F〔F2|)的点的轨迹。
(1)距离之差的绝对值.
(2)当|MFi|—|MF2|=2a时,曲线仅表示焦点F2所对应的一支;
当|MFi|—|MF2|=—2a时,曲线仅表示焦点Fi所对应的一支;
当2a=|FiF2|时,轨迹是同一直线上以Fi、F2为端点向外的两条射线;当2a>|FiF2|时,动点轨迹不存在
【典例】到两定点Fi(-3,0XF2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹()
A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线
第二定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数(e〉i)的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质
标准万程
22
与—与=i(a》0,b》0)ab
22
与—与=i(aa。
"。
)ab
图形
Mj/..IK
y
性
质
焦点
Fi(-c,0),F2(c,0)
Fi(0,—c),F2(O,c)
焦距
|FiF2|=2ca2+b2=c2
范围
|x|芝a,ywR
|yMa,x^R
对称
关于x轴,y轴和原点对称
顶点
(-a,0)。
(a,0)
(0,-a)(0,a)
轴
实轴长2a,虚轴长2b
离心率
c一一,
e=—(e》i)(离心率越大,开口越大)a
准线
2
+a
x=士—
c
2
+ay=±—
c
通径
2b2d-
a
2b2d-
a
渐近线
.by=±—x
a
.ay=之一x
b
焦半径
P|PF1|=^_ex°
|PF21=a_ex0
P伞器尸十警
PF2|=-a+ex0
P在下支
P在上支
PF1|=—a—ey°
PF2|=a—ey°
PF1|=a+ey°
PF2|=4ey°
注意:
等轴双曲线
(1)定义:
实轴长与虚轴长相等的双曲线
(2)方程:
x2—y2=a2或y2—x2=a2
(3)离心率e=J2渐近线y=±x
(4)方法:
若已知等轴双曲线经过
-定点,则方程可设为x2
2
-y=*..(,=0)
【典例】已知等轴双曲线经过点
(J5,一1),求此双曲线方程
3双曲线中常用结论
2a2
(1)两准线间的距离:
竺-
(2)焦点到渐近线的距离为
b(3)通径的长是竺
c
a
考点二双曲线标准方程
-求双曲线标准方程的方法
(1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a、b、c即可求得方程;
(2)待定系数法,其步骤是①定位:
确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上;
2设方程:
根据焦点的位置设出相应的双曲线方程;
3定值:
根据题目条件确定相关的系数。
注:
若双曲线过两点,可设双曲线方程为:
mx2+ny2=1(mn<0)。
方法一:
运用定义
2222
【典例1】已知动圆M与圆C「(x+4)+y=2外切,与圆C2:
(x—4)+y=2内切,求动圆圆心M的轨
迹方程。
【典例2】已知Fi(-4,0),F2(4,0),动点P分别满足下列条件,求点P的轨迹方程:
(1)||PFi|—|PF2||=2,
(2)|PFi|—|PF2|=2
【典例3】动点M到定点F(4,0)的距离和直线x=9的距离的比为4,贝UM的轨迹方程
43
1
【典例4】已知AABC中,C(-2,0),B(2,0),n国—@=—A,求顶点A的轨迹方程
2
练习1已知双曲线的实轴长为8,直线MN过焦点F1交双曲线的同一分支与M,N且MN=7,则AMNF2的
周长(F2为另一个焦点)为()A.28B.30C.24D.20
2.双曲线y——旦—=1的焦距是()A.4B.2控C.8D.与m有关
m2124—m2
方法二:
运用待定系数法
步骤①定位②设方程③定值
【典例1】求下列双曲线的标准方程;
(1)焦点是F〔(—3,0),渐近线的方程是75x—2y=0
(2)渐进线是y=±x,经过点(3,2)
(2)实轴长为4,虚轴长为2(3)准线方程为x=4,离心率为2
(4)焦点为(4,0),(-4,0),经过(2,0)
(5)双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=2x,焦距为4,则双曲线的标准方程为。
考点三双曲线的几何性质
题型一几何性质简单应用22
xy
【典例1】双曲线一一—=1,求(0)圆早图
(1)焦点,焦距
(2)实轴的长,虚轴的长,(3)离心率,412
左右准线方程,(4)渐进线的方程(5)焦点到渐近线的距离(6)焦点到准线的距离;(7)P在右支上,则P到左焦点的距离的最小值是—.
22
练习
(1)双曲线普一普=1,离心率是,渐近线方程是。
22
xy
⑵双曲线———=1(a,bA0)的左右顶点为A1,A,虚轴下上骊点为B1,B2,左右焦点为F1,F2.右以AAzab
为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D(从第一象限按逆时针顺序)则
(I)双曲线的离心率e=;
(口)菱形F1B1F2B2的面积S与矩形ABCD的面积&的比值咨
S2
题型二求与离心率及渐近线有关问题
【典例1】离心率
2222
(1)双曲线—一七=1的准线经过椭圆—+^=1(b>0)的焦点,贝Ub=()A.3B.际C.v'3D.厄
224b2
22
一…xV
(2)设Fi和F2为双曲线-y—J=1(a》0,ba0)的两个焦点,若F〔,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶
ab
点,则双曲线的离心率为()A.-B.2C.5D.3
22?
222
(3)已知a>b>0,e〔,⑦分别为圆锥曲线-2+&=1和-2-%=1的离心率,贝Ulgei+lge2()
abab
A.大于0且小于1B.大于1C.小于0D.等于1
22
练习
(1)已知目、R分别是双曲线与—与=1(a》0,b》0)的左、右焦点,过F/乍垂直于-轴的直线交ab
双曲线于A、B两点,若AABF2为锐角三角形,则双曲线的离心率的范围是()
A.(1,1+72)B.(1+T2,E)C.(1—72,1+72)D.(V2,V2十1)
1-
(2)在正二角形ABC中,D^AB,EwAC,向量DE=—BC,则以B、C为焦点,且过D、E的双曲线2
的离心率为()A.学B.J3—1C.^2-1D.J3+1
=1,(aAb>0)的离心率为里3,则双曲线
2
【典例2】渐近线
22
(1)设双曲线与-。
=1(a>0,b》0)的虚轴长为2,焦距为2J3,则双曲线的渐近线方程为
a2b2
笔-[=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的上端点,直线F1B与C的两条渐
ab
近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与-轴交与点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是(
x2,,,一,,,一,,
—一=1有共同渐近线,且经过点
9
离是
方法归纳I:
1渐进线方程为y=±Hx的双曲线方程可设为
m
22
2与双曲线与_匕=1共渐近线的双曲线方程可设为ab
【典例3】(渐近线夹角问题)
(1)若双曲线的两条渐近线夹角是2a,求它的离心率e;
(2)若双曲线的离心率是e,求它的两条渐近线夹角余弦值。
题型三焦点三角形
方法:
解决焦点三角形时,①要利用正弦定理、余弦定理、双曲线的第一定义,②关键是配凑出||PF1|-|PF2||的形式,③注意点P在双曲线的哪一支上.
22
例已知双曲线方程为亳_%=i(aA0,b>0),左右两焦点分别为R,F2,在焦点△PFiF2中,
ab
设P(x°,y。
)为椭圆上一点,PFj=ri,PF21=「2,NFiPF2=8
222、2
则结论
(1)正乂:
「|—r2=2a
(2)余弦定理:
(2c)=r1+r2—ZrQcosH=(r1—r2)+2r1r2-2r1r2cose
(3)面积S々F1F2=【r^sin^=cy°=b?
—
2tan-
2
222
F〔、F2,p是两曲线的一个焦点,则
【典例1】椭圆三七=1和双曲线号—y2=1的公共焦点为
练习中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2jT3,椭圆的长半
轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3:
7。
(1)求这两曲线方程;
(2)若P为这两曲线的一个交点,
求cosNF〔PF2的值。
题型四求最值
22
【典例1】辽宁)已知F是双曲线4—匕=1的左焦点,定点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|412
的最小值为。
【典例2】P为双曲线
22
—-—=1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x—5)2+y2=1
916
上的点,则|PM|—|PN|的最大值为
,-,,一.11一
A的坐标为(一,3)
2
22
练习已知F是双曲线工—匕=1的右焦点,点M是双曲线右支上的动点,点
927
、1.
求|MA|+—|MF|的最小值为及对应的点M的坐标。
2
考点四直线与双曲线的位置关系
一位置关系判断
1判断
直线与双曲线相交u△>0;直线与双曲线相切u△=0;直线与双曲线相离u△<0
注意:
直线与双曲线有一个公共点时,它们不一定相切,也可能相交(即直线与双曲线的渐近线平行)2
【典例】已知双曲线方程为x2_七=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则L的条数共有4
()A.4条B.3条C.2条D.1条
练习:
已知不论m取何实数,直线y=kx+m与双曲线x2-2y2=1总有公共点,试求实数k的取值范围.
2
【典例1】
(1)求直线y=x+1被双曲线x2=1截得的弦长;
4
的实轴长为()(A)J2(B)242(C)4(D)8
2
练习过双曲线土-y2=1的左焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=2J2,则满足条件的直线2
有几条()A.1条B.2条C.3条D.4
二常用方法1设而不求法——韦达定理
【典例】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(J7,0),直线y=x-1与其相交于M、N两点,MN中点的
2
横坐标为-一,求此双曲线的方程
3
2点差法
适用条件:
与弦的中点及斜率有关22
【典例】已知双曲线与—土=1(aA0,bA0),被方向向量为R=(6,6)的直线截得的弦的中点为(4,1),ab
求该双曲线的离心率
练习求过定点(0,1)的直线被双曲线x2-匕=1截得的弦中点轨迹方程
4
三综合应用
【典例1】不论k取值何值,直线y=k(x—2)+b与曲线x2—y2=1总有公共点,贝U实数b的取值范围是()
(A)(-.3,.3)(B)"3,、3](C)(-2,2)(D)[-2,2]
2
土=1的右焦点,斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则b2
A.e>.2B.1
的方程
2
【典例4】过点M(3,_1)且被点M平分的双曲线号-y2=1的弦所在直线方程为
【典例5】已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点Fi,F2的距离之和为定值,且co^F1PF^-1
3
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(0,—1),若斜率为k(k用)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使|MA|=|MB|,试求k的取值范围.
22
练习1设双曲线C1的方程为与_土=1(aA0,bA0),A、B为其左、右两个顶点,P是双曲线C1上的任ab
意一点,弓IQB±PB,QA±PA,AQ与BQ交于点Q.
(1)求Q点的轨迹方程;
(2)设
(1)中所求轨迹为C2,若Ci、C2的离心率分别为e〔、e2,当e1NJ2时,e2的取值范围
练习2直线l:
y=kx+1与双曲线C:
2x2-y2=1的右支交于不同的两点AB.
k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
(I)求实数k的取值范围;(□)是否存在实数若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
考点五易错点
一忽视焦点位置产生的混淆
1.
例右双曲线的渐近线万程是y=±—x,焦距为10,求双曲线标准万程
2
二忽视判别式产生的混淆
例若双曲线的方程为2x2-y2=2与点P(1,1),则以P为中点的弦是否存在
三忽视双曲线两支距离的最小值
例设Fi,F2是双曲线—=1的左右焦点。
P在双曲线上。
若点P到焦点Fi的距离为9,求它到F2距离1620
四忽视等价条件
例已知双曲线x2-y2=4与直线l:
y=k(x-1)试讨论k的取值范围使l与双曲线有唯一公共点
考点一双曲线标准方程及性质
1.双曲线的定义
答案D
考点二双曲线标准方程
【典例1】解答:
设动圆M的半径为r则由已知|MC1|=r+J2,|MC2|=r—J^,EMGI—|MC2|=2j2。
又Ci(-4,0),C2(4,0),...|CiC2|=8,•二2/2<|C1C2|o
第一定义:
【典例】
题型一几何性质简单应用
【典例1】(7)答案a+c练习
(1)
―?
51
e(1,e)解出e=;
2
....51...S2、5
⑵(i)答案e=^^;(n)答案7=—z一
题型二求与离心率及渐近线有关问题【典例1】离心率
一+=|g^^<暗=|g1=°,加什’gee
(1)C
(2)B(3)C
a2—b[解析]lge1+lge2=lg—
a
【典例2】渐近线
22
ac、a.
打),令y=0,得x=c(1+;j)
bb
a2=2b2=2c2—2a2,即3a2=2c2,所以e=^。
故选B
2
练习答案8
2a,求它的离心率e;
a=cosa离心率e=^^或。
csin:
cos:
e,求它的两条渐近线夹角余弦值。
(2)不妨设F"2分别为左右焦点,P是第一象限的一个交点,则
|PEl+®l=14,|5|_^|=6,所以1吓|=1。
,建基|=4仅|作|=2后
cosF1PF2=
题型四求最值
【典例1】解设双曲线的右焦点为E,则|PF|—|PE|=4,|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|,当AP、E
共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,|PF|+|PA|的最小值为9。
【典例2】解
(PM)max=|PFi+Ri=PF/
(PN)minPF2-&PF?
1
•■(PM|-PN^ax=2a+3=9
4一…11113…一
练习解|MA|+—|MF|=|MA|+—ed=|MA|+d芝一—一=4,此时M(2^3,3)2222
考点四直线与双曲线的位置关系
一位置关系判断
1判断
【典例】B
练习:
已知不论b取何实数,直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点,试求实数k的取值范围
j=kx+b'2^24ooo
[解析]:
联立方程组S-2y=1消去y得(2k2-l)x2+4kbx+(2b2+l)=0,
当1-2k2=0,即k=±兰2时,若b=0,则居8;若b#0—x-+2b*,不合题意.
一2-■-22b
当1_2k2A0即k尹士笠时依题意有^=(4kb)2-4(2k2-I)(2b2+1)>0,二2k2<2b2+1对所有实数b恒成立,'一2
\2k2<(2b2+1)min「・2k2<1,得一号〈kw*.
2
x2一匕=1
4
y=x1
3.弦长公式
222
【典例1】
(1)解析:
由
2
x<*=一,x 为x1,x2,则有3 得4xTx+D-4=0得3x—2x—5=0(*)设万程(*)的解 /曰d=21为—x2|=2;,(x1x2)2—4x1x2=、2..: ;=;,2 2=m(ma0),抛物线的准线为x=—4,由AB=4J3,则 常用方法 2点差法 y=kx1 2y2 x-—=12\2 它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P(x,y),由、4得(4—k)x—2成一5=0 k x=rv 1k1144 x==(xiX2)=;^~^,y=匚(少y2)=二(冷X2)1y=FT7 24—k224—k,L4—k 22 得4x-y+y=0(y或y>0) 22 4X1-y〔=4 AXxx\D,、,.,\D/、,、八i』v2“2_』 方法二(点差法): 设弦的两个端点坐标为A(X,y1),B(X2,y2),弦中点为P(X,y),则、4X2—y2―4得: yy2%x? )y_4x ,/、/、/、/、一—=;,22 4(X1+X2)(X1—X2)=(y〔+y2)(y〔—y2),X切y〔y? 即Xy—1即4x—y+y=O 22 (图象的一部分)即4x-y+y=o(y<—4或y〉0) 三综合应用 【典例1】答案B【典例2】答案D【典例3】答案x—y+1=0【典例4】答案3x+4y—5=0 【典例5】[解析]: (1).x2—y2=1,..c=展.设|PF1|+|PF2|=2a(常数a>0),2a>2c=2^2, 2|PF1||PF2| a>滋由余弦定理有cosZF1PF2=|PF1|2;旨京F1F2|2顼冲|+吁2|)2"|冲|吁2|瑚1巳|22|PF1||PF2| 2a2—4|PF1|+|PF2|oc =所肝厂1.・|PF1||PF2|<(匡曾曰)2=a2,当且仅当|PF1|=|PF21时,|PF1||PF2|取得最大 一2・_2. 2a—4―、2a—41…o 值a2.此时cosZF1PF2取得最小值a2—1,由题意a2—1=—3,解得a2=3,x22 二b2=a2y2=3-2=1P点的轨迹方程为耳+y=1. f2 ⑵设l: y=kx+m(k甫),则由,{3y一1 ■-A(-a,0),B(a,0),QB_PB,QA_PA 11 PA_QA,QB_PB,.|RA||PQ|,|RB||PQ|,|RA|=|RB|,R点在W由上 22 22 0,即x°=—x…… (2),把 (2)代入 (1)得: : oy=—1".y°=—……⑶ a-x2y e〔一Z.e2<1——12—— (、2)-1 练习2解(I)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得 (k2—2)x2十2kx十2=0.••…① 依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故 '2. k2—2=0, .22 A=(2k)-8(k—2)a0, v2kk2—2 解得k的取值范围是-22. (n)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由①式得 (Xi—C)(X2—c)V1V2=0. 则由FA±FB得: '1八2〃yV2 即(Xi—c)(X2-c)+(kxi+1)(饥+1)=0. 6整理碍(k+1)XiX2+(k-c)(Xi+X2)+c+1=0.……③把②式及c=——代入③式化简得 2 5k226k-6=0. 解得k=—6*6或k=6-指至(-2,-72)(舍去). 55 可知k=—仕: 使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点. 5 考点五易错点 一忽视焦点位置产生的混淆 解易错点: 忽视焦点位置讨论正确答案土-匕=1或上―土=1 205520 二忽视判别式产生的混淆 解用点差法解得方程为2x-y-1=0但由方程组{jL1;消去V得2x2-4y+3=0'/△=-8<0无解.•.这样的弦不存在 三忽视双曲线两支距离的最小值 错解PF〔||PF2=8|PF〔|9PF2=17或PF2=1 正解双曲线右支上到左焦点最短的距离的点是右顶点,距离为 a+c=10A|PF1|=9P点在左支上 ••-PF2=17 四忽视等价条件 „y=k(xT),,-9999 解由方程组J'2,消去y得(1_k2)x2+2k2x-k2-4=0 x-y=42 当1-k=0即k=±1时,直线l与渐近线平行,它们相交但只有一个交点 当1—k2,0即k#兰 2、3 1时,由△=4k4+4(1—k2)(k2+4)=0解得k=±—— 3 16
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