全国大学数学建模一等奖徐志城陈柏良肖峰C题1.docx
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全国大学数学建模一等奖徐志城陈柏良肖峰C题1
古塔变形的研究与分析
摘要
古塔长时间受自重,气温风力等影响,有时候还会受到地震,飓风的影响,使古塔产生各种形变,如倾斜、弯曲、扭曲,为了保护古塔,文物部门定期对古塔进行测量,了解古塔的变化情况,及时地修复古塔。
针对问题一:
在模型一中采用平均值的方法给出了古塔每层中心坐标计算公式,运用matlab软件求得古塔每层的中心坐标。
为减少与古塔每层实际中心坐标之间的误差,在模型二中引入权重因子,得到了计算古塔每层中心坐标的通用公式。
两种方法得到的结果见表一,表二,表三,表四表九,表十,表十一,表十二。
针对问题二:
首先画出塔的空间结构,进而列出倾斜量的表达式,再用matlab软件求解得1986年、1996年、2009年、2011年总倾斜量分别为0.7447,0.7529,0.762,0.7638,总倾斜度分别为-0.0279,-0.0282,-0.0286,-0.0286。
其次,把四次测量的每一层的8个点分成三组并求每组的平均值,记为A,B,C点并求出这三点在相邻年份的沉降量,再用挠度公式求得挠度值,并用maltab画出古塔中心的位置变化情况然后与原始数据进行对比分析可得:
弯曲程度最大是在2009年第十三层挠度值取得最大值为0.074429,弯曲程度最小在2009年第三层挠度值取得最小值为0.000151。
最后,用matlab画出由数据拟合的投影图,拟合四个函数并对其分别求其导数,导数越大越扭曲,由求导结果可知:
1986年第十三层导数最大,即这层扭曲程度最大为1.4795,1996年第一层扭曲程度最小为-0.1099。
针对问题三:
分析古塔的变形趋势。
要求有一定的预测性,亦即可在模型二的结果上可以选择第一层、第八层、塔尖的数据进行灰色预测,通过对预测结果进行合理性的分析可以得到古塔的变形为:
中心位置趋向于西偏北,中心高度呈下降趋势,弯曲发展方向主要为北,扭曲程度越来越大。
关键词:
matlabexcel挠度倾斜
一、问题重述
某古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用,偶然还要受地震、飓风的影响,会产生各种变形,诸如倾斜、弯曲、扭曲等。
为保护古塔,文物部门需适时对古塔进行观测,了解各种变形量,以制定必要的保护措施。
此古塔已有上千年历史,是我国重点保护文物。
管理部门委托测绘公司先后于1986年、1996年、2009年和2011年对该塔进行了4次观测。
本文根据附件1提供的4次观测数据,讨论以下问题:
1.给出古塔各层中心位置的通用方法,列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3.分析该塔的变形趋势。
二、问题分析
针对问题一
确定古塔各层的中心坐标,模型一中先用matlab画出第一层的图形,得到了一个平面八边形,再用matlab画出古塔总体图形,中心坐标为各层顶点坐标的平均值。
这样的做法存在一定的误差,为了使误差更小,引入权重建立模型二。
在八边形内任取一点,分别与八边形的八个顶点相连接,得到八个三角形,用matlab求出各三角形的面积,继而求出各三角形的权重。
因为每个顶点在相邻两个三角形的公共边上,故讨论顺时针、逆时针两个方向,求出各权重与相应的点坐标的积,求两个方向相应值的平均值,得出中心坐标。
针对问题二
分析古塔的倾斜情况,先用画图工具画出塔的立体图,确定南北倾斜量、东西倾斜量、总倾斜量、南北倾斜度、东西倾斜度、总倾斜度的表达式。
再用matlab算出各倾斜量、倾斜度。
分析古塔的弯曲情况,本文将挠度值作为弯曲程度的度量值。
把每层的八个顶点任意分成三组
,并求出每组的平均值。
用同样的方法求出后三次测量古塔的每组数据的平均值,求出每相邻两个年份的沉降量。
利用挠度公式求出挠度值,并用matlab画出古塔中心位置与表格中的数据比较分析,得出弯曲结果。
分析古塔的扭曲情况,用matlab画出由数据拟合的投影图,拟合四个函数并对其分别求其导数,导数越大扭曲程度越大。
针对问题三
分析古塔的变形趋势,用模型二所求的值进行选择性的数据进行灰色预测,并对所预测出的值进行分析即得到该塔的变形趋势。
三、模型假设
1.四次的观测数据都是准确有效的;
2.假设每层都是处于同一平面;
3.假设古塔扭曲方向相同。
四、符号说明
:
求平均值所得的中心位置点;
:
八边形定点
与点
构成三角形的权重;
(
,
以下
相同)
:
八边形顶点
与点
构成三角形的面积;
:
八个三角形的面积总和;
:
逆时针方向求出的中心坐标;
:
顺时针方向求出的中心坐标;
:
顶点为
时的横坐标;
:
顶点为
时的纵坐标;
:
顶点为
时的竖坐标;
:
顶点为
时的横坐标;
:
顶点为
时的纵坐标;
:
顶点为
时的竖坐标;
:
最后求得的中心坐标;
:
南北倾斜量;
:
东西倾斜量;
:
总倾斜量;
:
南北倾斜度;
:
东西倾斜度;
:
总倾斜度;
:
古塔的中心位置;
:
点A在1986年到1996年的沉降量;
:
点B在1986到1996的沉降量;
:
点C在1986到1996的沉降量;
:
点A和点B之间的距离;
:
点B和点C之间的距离。
五、模型的建立与求解
问题一
根据题目所给数据,用MATLAB画出1986年第一层的平面图,如图一
(1)所示
图一
(1)图一
(2)
用matlab画出总体的图形图一
(2)(见附录一)。
图一
(1)、
(2)塔层形状为八边形。
模型一:
用excel确定1986年,1996年,2009年和2011年古塔各顶点坐标的平均值为各层的中心坐标,如表一、二、三、四
表一表二
1996年中心位置
层
x
y
z
1
566.665
522.7102
0.8915
2
566.7205
522.6674
3.6573
3
566.7751
522.6256
6.3754
4
566.8183
522.5922
8.5376
5
566.8649
522.5563
10.858
6
566.9118
522.521
13.1148
7
566.9506
522.5042
14.9161
8
566.9884
522.4881
16.6727
9
567.0265
522.4714
18.4241
10
567.062
522.4572
20.0838
11
567.1102
522.4173
22.2177
12
567.1578
522.3775
24.3537
13
567.0912
522.734
26.415
塔尖
567.2544
522.2367
27.5599
1986年中心位置
层
x(米)
y(米)
z(米)
1
566.6648
522.7105
0.8937
2
566.7196
522.6684
3.6601
3
566.7735
522.6273
6.3776
4
566.8161
522.5944
8.5391
5
566.8621
522.5591
10.8603
6
566.9084
522.5244
13.1176
7
566.9468
522.5081
14.9184
8
566.9843
522.4924
16.6754
9
567.0218
522.4764
18.4274
10
567.0569
522.4624
20.0861
11
567.1045
522.423
22.2204
12
567.1518
522.3836
24.3559
13
567.085
522.7403
26.4171
塔尖
567.2473
522.2438
27.5616
表三表四
2009年中心位置
层
x
y
z
1
566.7268
522.7015
0.8822
2
566.764
522.6693
3.6545
3
566.8001
522.6384
6.3661
4
566.8293
522.6132
8.5349
5
566.8604
522.5866
10.8547
6
566.9471
522.5342
13.1055
7
566.8213
522.6239
7.233
8
566.8213
522.6239
7.233
9
567.0816
522.4466
18.4219
10
567.137
522.3937
20.0806
11
567.1799
522.3547
22.2163
12
567.2225
522.316
24.3499
13
567.0301
522.4704
16.0914
塔尖
567.336
522.2148
27.5455
2011年中心位置
层
x
y
z
1
566.727
522.7014
0.8822
2
566.7642
522.669
3.6545
3
566.8004
522.6387
6.3661
4
566.8297
522.6127
8.5349
5
566.861
522.586
10.8547
6
566.9478
522.5335
13.1055
7
566.98
522.5115
7.233
8
567.0313
522.4788
7.233
9
567.0825
522.4457
18.4219
10
567.1381
522.3926
20.0806
11
567.181
522.3535
22.2163
12
567.2238
522.3147
24.3499
13
567.0835
522.4329
16.0914
塔尖
567.3375
522.2135
27.5455
模型二:
显然这样做存在一定的误差,为了减小误差,需要对模型进一步优化。
在八边形内任取一点
(为计算方便,令点
为模型一中的中心位置),并分别与八边形各顶点相连,构成八个三角形,标出八个顶点的序号,标出每个三角形的表示法如图二所示:
图二
用matlab求出每个三角形的面积(见附录二),结果为表五:
表五
1986
层
s12
s23
s34
s45
s56
s67
s78
s81
s总
1
10.496
10.3833
10.3173
10.5813
10.3513
10.3753
10.487
10.3278
83.3193
2
9.7476
9.6128
9.5348
9.7726
9.6212
9.6339
9.6935
9.637
77.2534
3
9.0397
8.8878
8.7962
9.0104
8.9313
8.9334
8.9447
8.981
71.5245
4
8.5011
8.3317
8.2331
8.4283
8.4
8.3955
8.3707
8.4784
67.1388
5
7.9402
7.7558
7.6507
7.822
7.8515
7.8351
7.7774
7.9523
62.585
6
7.4126
7.2134
7.0961
7.2505
7.3402
7.3175
7.2259
7.4549
58.3111
7
6.5791
6.4175
6.2902
6.401
6.5007
6.4584
6.3958
6.5757
51.6184
8
5.8172
5.6894
5.5528
5.6241
5.7341
5.6734
5.6351
5.7705
45.4966
9
5.1006
5.0032
4.8639
4.8979
5.015
4.9414
4.926
5.0214
39.7694
10
4.4714
4.3989
4.2534
4.252
4.3789
4.2951
4.2956
4.3602
34.7055
11
3.8819
3.7999
3.7316
3.7082
3.865
3.7562
3.7404
3.8762
30.3594
12
3.3326
3.2446
3.2403
3.2001
3.3834
3.2541
3.2228
3.418
26.2959
13
2.4454
2.5844
2.9908
4.7173
2.9622
2.5918
2.569
20.8609
塔尖
0.000042
4.46E-05
1.73E-05
1.46E-05
0.000119
再次利用excel求出权重
,结果如表六所示:
表六
1986
层
s12权重
s23权重
s34权重
s45权重
s56权重
s67权重
s78权重
s81权重
1
0.125973
0.124621
0.123828
0.126997
0.124237
0.124525
0.125865
0.123954
2
0.126177
0.124432
0.123422
0.126501
0.124541
0.124705
0.125477
0.124745
3
0.126386
0.124262
0.122982
0.125976
0.12487
0.1249
0.125058
0.125565
4
0.12662
0.124097
0.122628
0.125535
0.125114
0.125047
0.124678
0.126282
5
0.126871
0.123924
0.122245
0.124982
0.125453
0.125191
0.124269
0.127064
6
0.127122
0.123705
0.121694
0.124342
0.12588
0.125491
0.12392
0.127847
7
0.127456
0.124326
0.12186
0.124006
0.125938
0.125118
0.123905
0.127391
8
0.12786
0.125051
0.122049
0.123616
0.126034
0.124699
0.123858
0.126834
9
0.128254
0.125805
0.122303
0.123158
0.126102
0.124251
0.123864
0.126263
10
0.128838
0.126749
0.122557
0.122517
0.126173
0.123758
0.123773
0.125634
11
0.127865
0.125164
0.122914
0.122143
0.127308
0.123724
0.123204
0.127677
12
0.126735
0.123388
0.123225
0.121696
0.128666
0.123749
0.122559
0.129982
13
0.117224
0.123887
0.143369
0.226131
0.141998
0.124242
0.123149
塔尖
0.35443
0.376582
0.14557
0.123418
由下图三可知,顶点1在
两个三角形的公共边上,故分别用顺时钟和逆时针两种算法,运用excel求出每个点与权重的乘积并求和,最后取其平均值得出中心坐标。
图三
,
,
。
两种运算结果,见表七,表八:
表七表八
1986逆时针
层
x
y
z
1
566.6642
522.7085
0.8937
2
566.7244
522.6707
3.6601
3
566.7834
522.6338
6.3776
4
566.8296
522.6048
8.5392
5
566.8794
522.5734
10.8603
6
566.931
522.5421
13.1174
7
566.9626
522.5275
14.9184
8
566.9936
522.5133
16.6754
9
567.0249
522.4988
18.4275
10
567.0535
522.4872
20.0861
11
567.1088
522.443
22.2205
12
567.1061
522.3987
24.3559
13
566.9666
522.3778
26.4188
塔尖
567.249
522.2421
27.5603
1986顺时针
层
x
y
z
1
566.6659
522.7086
0.8937
2
566.7207
522.6665
3.6602
3
566.7758
522.6388
6.3777
4
566.8181
522.6113
8.5392
5
566.8638
522.5816
10.8603
6
566.9111
522.5534
13.1176
7
566.9439
522.5337
14.9185
8
566.9757
522.5143
16.6755
9
567.008
522.4949
18.4276
10
567.0369
522.478
20.0886
11
567.0931
522.4409
22.2204
12
567.1493
522.404
24.3558
13
567.3974
522.5133
26.4104
塔尖
567.2445
522.2452
27.5606
最终以模型二的方法计算出1996,1986,2009,2011年古塔各层的中心坐标标如表九、十、十一、十二:
表九表十
1996
层
xg
yg
zg
1
566.6652
522.7083
0.8915
2
566.7238
522.6713
3.6573
3
566.7812
522.6347
6.3754
4
566.8263
522.6059
8.5376
5
566.8743
522.5747
10.7830
6
566.9246
522.5442
13.1147
7
566.9573
522.5267
14.9161
8
566.9890
522.5095
16.6727
9
567.0214
522.4918
18.4242
10
567.0510
522.4769
20.0839
11
567.1069
522.4357
22.2177
12
567.1635
522.3947
24.3536
13
567.3387
522.4388
26.4124
塔尖
567.2520
522.2366
27.5585
1986
层
xg
yg
zg
1
566.665
522.7085
0.8937
2
566.7226
522.6686
3.6601
3
566.7796
522.6363
6.3776
4
566.8239
522.6081
8.5392
5
566.8716
522.5775
10.8603
6
566.9211
522.5478
13.1175
7
566.9533
522.5306
14.9184
8
566.9847
522.5138
16.6755
9
567.0165
522.4969
18.4275
10
567.0452
522.4826
20.0874
11
567.101
522.442
22.2204
12
567.1277
522.4014
24.3558
13
567.182
522.4456
26.4146
塔尖
567.2468
522.2437
27.5604
表十一表十二
2009
层
xg
yg
zg
1
566.7484
522.7000
0.8822
2
566.7821
522.6572
3.6545
3
566.8142
522.6464
6.3661
4
566.8393
522.6268
8.5349
5
566.8657
522.6066
10.8547
6
566.9468
522.5600
13.1052
7
566.9727
522.5463
14.9121
8
567.0162
522.5228
16.6695
9
567.0572
522.5010
18.4214
10
567.1002
522.4647
20.0796
11
567.1258
522.4491
22.2151
12
567.1397
522.4505
24.3480
13
567.1248
522.4948
26.4060
塔尖
567.3360
522.2148
27.5455
2011
层
xg
yg
zg
1
566.7486
522.6999
0.8816
2
566.7824
522.6720
3.6452
3
566.8145
522.6468
6.3634
4
566.8409
522.6243
8.5260
5
566.8688
522.6015
10.8519
6
566.9584
522.5539
13.1020
7
566.9919
522.5314
14.9083
8
567.0447
522.4993
16.6681
9
567.0976
522.4667
18.4109
10
567.1528
522.4132
20.0718
11
567.1953
522.3725
22.2122
12
567.2375
522.3323
24.3417
13
567.2862
522.2867
26.4063
塔尖
567.3375
522.2135
27.5435
显然,优化后的结果更加准确。
问题二
一、分析古塔的倾斜情况:
首先利用画图工具
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全国 大学 数学 建模 一等奖 徐志城陈柏良肖峰
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