706064的初中数学组卷.docx
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706064的初中数学组卷
2014年05月31日706064的初中数学组卷
2014年05月31日706064的初中数学组卷
一.解答题(共21小题)
1.图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是 _________ ;
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积:
方法1:
_________ ;
方法2:
_________ ;
(3)观察图②,请你写出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是 _________ ;
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题:
若m﹣n=﹣5,mn=3,则(m+n)2的值为多少?
2.我们已经知道,完全平方公式可以用几何图形的面积来说明,实际上还有许多代数的恒等式也可以用图形来说明,例如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1所示的面积来说明.
(1)请写出图2所说明的代数恒等式:
_________ .
(2)类似地画出一个长方形,并将其分割使它能说明(在图中作类似的字母标注)这个长方形面积为:
a2+5ab+6b2(3).
3.先阅读后作答:
我们已经知道,根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式,实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明,例如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图1的面积关系来说明.
①根据图2写出一个等式:
_________ ;
②已知等式:
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明.
4.(2009•青岛)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PE∥AB;
(2)设△PEQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S△PEQ=
S△BCD?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;
(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE的面积是否发生变化?
说明理由.
5.(2007•钦州)附加题:
请你把上面的解答再认真地检查一遍,别留下什么遗憾,并估算一下成绩是否达到了80分,如果你的全卷得分低于80分,则本题的得分将计入全卷总分,但计入后全卷总分最多不超过80分;如果你全卷得分已经达到或超过80分,则本题的得分不计入全卷总分.
(1)﹣2的倒数是 _________ ;
(2)如图,AB∥CD,直线EF分别与AB,CD交于点G,H,∠1=50°,求∠2的度数.
6.(2007•福州)如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
(直接回答成立或不成立)
(3)当动点P落在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
7.(2006•汉川市)我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“好线”:
如图①在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连接OA、OC.显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE∥AC交CD于E,则直线AE即为一条“好线”.
(1)试说明直线AE是“好线”的理由;
(2)如图②,AE为一条“好线”,F为AD边上的一点,请作出经过F点的“好线”,并对画图作适当说明(不需要说明理由).
8.(2005•陕西)已知:
直线a∥b,P、Q是直线a上的两点,M、N是直线b上两点.
(1)如图①,线段PM、QN夹在平行直线a和b之间,四边形PMNQ为等腰梯形,其两腰PM=QN.请你参照图①,在图②中画出异于图①的一种图形,使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等;
(2)我们继续探究,发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形,会有两条“曲线段相等”(曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”.把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”).请你在图③中画出一种图形,使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等;
(3)如图④,若梯形PMNQ是一块绿化地,梯形的上底PQ=m,下底MN=n,且m<n.现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里,使得价格相同的花草不相邻.为了节省费用,园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草?
请说明理由.
9.阅读第
(1)题解答过程填理由,并解答第
(2)题
(1)已知:
如图1AB∥CD,P为AB、CD之间一点,求∠B+∠C+∠BPC的大小.
解:
过点P作PM∥AB
∵AB∥CD(已知)
∴PM∥CD _________
∴∠B+∠1=180°
∴∠C+∠2=180°
∵∠BPC=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠BPC=360°
(2)我们生活中经常接触小刀,小刀刀柄外形是一个直角梯形(挖去一个小半圈)如图2,刀片上、下是平行的,转动刀片时会形成∠1和∠2,那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动面改变?
说明理由.
10.如图,∠B、∠D的两边分别平行.
(1)在图1中,∠B与∠D的数量关系是 _________ ;
(2)在图2中,∠B与∠D的数量关系是 _________ ;
(3)用一句话归纳的结论为 _________ ;请选择
(1)
(2)中的一种情况说明理由.
(4)应用:
若两个角的两边两两互相平行,其中一个角的
是另一个角的
,求着两个角的度数.
11.探索研究:
A:
观察如图所示中的各图,寻找对顶角(不含平角):
(1)如图a,图中共有 _________ 对不同对顶角;
(2)如图b,图中共有 _________ 对不同的对顶角;
(3)如图c,图中共有 _________ 对不同的对顶角.
(4)研究
(1)﹣(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可形成 _________ 对对顶角
(5)计算2013条直线相交于一点,则可形成 _________ 对对顶角
B:
(1)3条直线两两相交最多有 _________ 个交点,此时有 _________ 对不同的对顶角
(2)4条直线两两相交最多有 _________ 个交点,此时有 _________ 对不同的对顶角
(3)n条直线两两相交最多有 _________ 个交点,此时有 _________ 对不同的对顶角
(4)计算2013条直线最多有 _________ 个交点,则可形成 _________ 对不同的对顶角,那么2013条直线最多形成 _________ 对不同的对顶角.
12.利用直尺画图
(1)利用图1中的网格,过P点画直线AB的平行线和垂线.
(2)把图
(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形.
(3)在图(3)的网格中画一个三角形:
满足①是直角三角形;②任意两个顶点都不在同一条网格线上;③三角形的顶点都在格点上(即在网格线的交点上).
13.实践与操作:
在课堂上,李老师和同学们探究了与三角形面积相关的问题.如图,已知点A、B同在直线a上,点C1、C2在直线a的同一侧.
(1)过C1画C1M⊥AB,垂足为M,过C2画C2N⊥AB,垂足为N;
(2)用圆规比较C1M、C2N的大小;
(3)试问三角形C1AB面积和三角形C2AB面积是否相等?
为什么?
(4)连接C1C2,问AB与C1C2是否互相平行?
(用直尺和三角板画平行线的方法加以校验)
(5)在与点C1、C2的同一侧,画三角形C3AB,三角形C4AB,并使三角形C3AB、三角形C4AB面积都与三角形C1AB面积相等;通过以上画图,问点C3、C4同在直线C1C2上吗?
(6)当三角形有一个顶点在直线C1C2上运动时,它和点A、B一起构成的三角形面积是否有变化?
14.小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是180°,对于如图1中,AC,BD交于O点,形成的两个三角形中的角存在以下关系:
①∠DOC=∠AOB②∠D+∠C=∠A+∠B.试探究下面问题:
已知∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,
(1)如图2,若AB∥CD,∠D=30°,∠B=40°,则∠E= _________ ;
(2)如图3,若AB不平行CD,∠D=30°,∠B=50°,则∠E= _________ ;
(3)在总结前两问的基础上,借助图3,探究∠E与∠D、∠B之间是否存在某种等量关系?
若存在,请说明理由;若不存在,请举例说明.
15.将一副三角板中的两块三角板重合放置,其中45°和30°的两个角顶点重合在一起.
(1)如图1所示,边OA与OC重合,此时,AB∥CD,则∠BOD= _________ ;
(2)三角板△COD的位置保持不动,将三角板△AOB绕点O顺时针方向旋转,如图2,此时OA∥CD,求出∠BOD的大小;
(3)在图2中,若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转,在转回到图1的过程中,还存在△AOB中的一边与CD平行的情况,请针对其中一种情况,画出图形,并直接写出∠BOD的大小.
16.如图
(1)直线GC∥HD,EF交CG、HD于A、B,三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域,(规定:
直线上各点不属于任何区域).将一个透明的直角三角尺放置在该图中,使得30°角(即∠P)的两边分别经过点A、B,当点P落在某个区域时,连接PA、PB,得到∠PBD、∠PAC两个角.
(1)如图
(1),当点P落在第②区域时,求∠PAC+∠PBD的度数;
(2)如图
(2),当点P落在第③区域时,∠PAC﹣∠PBD= _________ 度
(3)如图(3),当点P落在第①区域时,直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系.
17.如图1,直线AC∥BD,直线AC、BD及直线AB把平面分成
(1)、
(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分.点P是其中的一个动点,连接PA、PB,观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角.规定:
直线AC、BD、AB上的各点不属于
(1)、
(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分中的任何一个部分.
当动点P落在第
(1)部分时,可得:
∠APB=∠PAC+∠PBD,请阅读下面的解答过程,并在相应的括号内填注理由
解:
过点P作EF∥AC,如图2
因为AC∥BD(已知),EF∥AC(所作),
所以EF∥BD _________ .
所以∠BPE=∠PBD _________ .
同理∠APE=∠PAC.
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD _________ ,
即∠APB=∠PAC+∠PBD.
(1)当动点P落在第
(2)部分时,∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的?
请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式,不必说明理由.
(2)当动点P在第(3)部分时,∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的?
请直接写出相应的结论.
(3)当动点P在第(4)部分时,∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的?
请直接写出相应的结论.
18.如图,点A、B分别在直线CM、DN上,CM∥DN.
(1)如图1,连接AB,则∠CAB+∠ABD= _________ ;
(2)如图2,点P1是直线CM、DN内部的一个点,连接AP1、BP1.求证:
∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°;
(3)如图3,点P1、P2是直线CM、DN内部的一个点,连接AP1、P1P2、P2B.试求∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度数;
(4)若按以上规律,猜想并直接写出∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD的度数(不必写出过程).
19.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图1,若AB∥CD,点P在AB、CD内部,∠B=50°,∠D=30°,求∠BPD.
(2)如图2,将点P移到AB、CD外部,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?
请证明你的结论.
(2)如图3,写出∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间的数量关系?
(不需证明).
(3)如图4,求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
20.利用平行线的性质探究:
如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分,规定线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA、PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角.当动点P落在第①部分时,小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时,利用图<1>,过点P作PQ∥BD,得出结论:
∠APB=∠PAC+∠PBD.请你参考小明的方法解决下列问题:
(1)当动点P落在第②部分时,在图<2>中画出图形,写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系;
(2)当动点P落在第③部分时,在图<3>、图<4>中画出图形,探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系,写出结论并选择其中一种情形加以证明.
(1)当动点P落在第②部分时 _________ .
(2)当动点P落在第③部分时(如图<3>) _________ .
当动点P落在第③部分时(如图<4>) _________ .
21.已知直线AB∥CD,直线EF与AB、CD分别相交于点E、F.
(1)如图1,若∠1=60°,求∠2、∠3的度数;
(2)若点P是平面内的一个动点,连结PE、PF,探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系:
①当点P在图2的位置时,可得∠EPF=∠PEB+∠PFD;
请阅读下面的解答过程,并填空(理由或数学式).
解:
如图2,过点P作MN∥AB,
则∠EPM=∠PEB _________
∵AB∥CD(已知),MN∥AB(作图),
∴MN∥CD _________
∴∠MPF=∠PFD _________
∴ _________ =∠PEB+∠PFD(等式的性质)
即∠EPF=∠PEB+∠PFD.
②当点P在图3的位置时,请直接写出∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系:
_________ ;
③当点P在图4的位置时,请直接写出∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系:
_________ .
2014年05月31日706064的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共21小题)
1.图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是 a﹣b ;
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积:
方法1:
(a+b)2﹣4ab ;
方法2:
(a﹣b)2 ;
(3)观察图②,请你写出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是 (a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2 ;
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题:
若m﹣n=﹣5,mn=3,则(m+n)2的值为多少?
考点:
完全平方公式的几何背景.菁优网版权所有
分析:
(1)根据图形可知,阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差,写出即可;
(2)①从整体考虑,用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积;
②从局部考虑,根据正方形的面积公式,小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积;
(3)把已知条件代入进行计算即可求解.
解答:
解:
(1)阴影部分的正方形的边长是:
a﹣b;
(2)方法1:
大正方形的面积减去四个小矩形的面积:
(a+b)2﹣4ab,
方法2:
阴影小正方形的面积:
(a﹣b)2;
(3)(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2;
(4)根据(3)的关系式,(m+n)2=(m﹣n)2+4mn,
∵m﹣n=﹣5,mn=3,
∴(m+n)2=(﹣5)2+4×3=25+12=37.
点评:
本题考查了完全平方公式的几何背景,以及两个公式之间的关系,从整体与局部两种情况分析并写出面积的表达式是解题的关键.
2.我们已经知道,完全平方公式可以用几何图形的面积来说明,实际上还有许多代数的恒等式也可以用图形来说明,例如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1所示的面积来说明.
(1)请写出图2所说明的代数恒等式:
(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2 .
(2)类似地画出一个长方形,并将其分割使它能说明(在图中作类似的字母标注)这个长方形面积为:
a2+5ab+6b2(3).
考点:
完全平方公式的几何背景.菁优网版权所有
专题:
数形结合.
分析:
(1)本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导,要注意图形各部分面积和=整个图形的面积.
(2)可使长方形的长为(a+2b),宽为(a+3b)这样可以得到满足条件的等式.
解答:
解:
(1)(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2.
(2)长方形的边长分别为(a+2b)及(a+3b)
点评:
本题考查完全平方公式的几何背景,难度不大,注意利用几何图形推导代数恒等式,要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系.
3.先阅读后作答:
我们已经知道,根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式,实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明,例如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图1的面积关系来说明.
①根据图2写出一个等式:
(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2 ;
②已知等式:
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,请你画出一个相应的几何图形加以说明.
考点:
完全平方公式的几何背景.菁优网版权所有
专题:
作图题;阅读型.
分析:
①利用长方形的面积公式即可证明.
②画一个长为x+p,宽为x+q的长方形即可.
解答:
解:
①(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2;
②画出的图形如下:
(答案不唯一,只要画图正确即得分)
点评:
本题主要考查了完全平方公式的几何背景,应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义;主要围绕图形面积展开分析.
4.(2009•青岛)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PE∥AB;
(2)设△PEQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S△PEQ=
S△BCD?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;
(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE的面积是否发生变化?
说明理由.
考点:
平行线的判定;根据实际问题列二次函数关系式;三角形的面积;勾股定理;相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
(1)若要PE∥AB,则应有
,故用t表示DE和DP后,代入上式求得t的值;
(2)过B作BM⊥CD,交CD于M,过P作PN⊥EF,交EF于N.由题意知,四边形CDEF是平行四边形,可证得△DEQ∽△BCD,得到
,求得EQ的值,再由△PNQ∽△BMD,得到
,求得PN的值,利用S△PEQ=
EQ•PN得到y与t之间的函数关系式;
(3)利用S△PEQ=
S△BCD建立方程,求得t的值;
(4)易得△PDE≌△FBP,故有S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD,即五边形的面积不变.
解答:
解:
(1)当PE∥AB时,
∴
.
而DE=t,DP=10﹣t,
∴
,
∴
,
∴当
(s),PE∥AB.
(2)∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,
∴EF平行且等于CD,
∴四边形CDEF是平行四边形.
∴∠DEQ=∠C,∠DQE=∠BDC.
∵BC=BD=10,
∴△DEQ∽△BCD.
∴
.
.
∴
.
过B作BM⊥CD,交CD于M,过P作PN⊥EF,交EF于N,
∵BC=BD,BM⊥CD,CD=4cm,
∴CM=
CD=2cm,
∴
cm,
∵EF∥CD,
∴∠BQF=∠BDC,∠BFG=∠BCD,
又∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD,
∴∠BQF=∠BFG,
∵ED∥BC,
∴∠DEQ=∠QFB,
又∵∠EQD=∠BQF,
∴∠DEQ=∠DQE,
∴DE=DQ,
∴ED=DQ=BP=t,
∴PQ=10﹣2t.
又∵△PNQ∽△BMD,
∴
.
∴
.
∴
.
∴S△PEQ=
EQ•PN=
×
×
.
(3)S△BCD=
CD•BM=
×4×4
=8
,
若S△PEQ=
S△BCD,
则有﹣
t2+
t=
×8
,
解得t1=1,t2=4.
(4)在△PDE和△FBP中,
∵DE=BP=t,PD=BF=10﹣t,∠PDE=∠FBP,
∴△PDE≌△FBP(SAS).
∴S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=8
.
∴在运动过程中,五边形PFCDE的面积不变.
点评:
本题利用了平行线的性质,相似三角形和全等三角形的判定和性质,勾股定理,三角形的面积公式求解.综合性较强,难度较大.
5.(2007•钦州)附加题:
请你把上面的解答再认真地检查一遍,别留下什么遗憾,并估算一下成绩是否达到了80分,如果你的全卷得分低于80分,则本题的得分将计入全卷总分,但计入后全卷总分最多不超过80分;如果你全卷得分已经达到或超过80分,则本题的得分不计入全卷总分.
(1)﹣2的倒数是 ﹣
;
(2)如图,AB∥CD,直线EF分别与AB,CD交于点G,H,∠1=50°,求∠2的度数.
考点:
平行线的性质;倒数;对顶角、邻补角.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(1)直接根据倒数的定义计算即可.
(2)利用平行线的性质和对顶角的定义求解.
解答:
解:
(1)﹣2的倒数是﹣
;
(2)∵AB∥CD
∴∠DHE=∠1=50°
∵∠2=∠DHE
∴∠2=∠1=50°
答:
∠2的度数是50°.
点评:
主要考查了倒数的定义和平行线的性质.
倒数的定义:
若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.
两直线平行,同位角相等.
6.(2007•福州)如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)
(
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