65 分数的巧算.docx
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65分数的巧算
05分数的巧算
学习目标:
1、复习回顾分数简便运算的方法,运用分数的基本性质、结合四则运算定律进行计算;也可在分数值不变的情况下,将分数分拆,使运算简便。
2、熟练应用裂项法进行分数求和。
3、熟练运用凑整法和约分法进行分数的巧算。
教学重点:
1、能够准确辨认出分数求和的特点,即什么时候运用裂项法进行分数求和。
2、熟练运用凑整法和约分法进行分数的巧算。
教学难点:
能结合题目的特点,灵活运用其对应的方法进行解答.
教学过程:
一、情景体验
1、创设情境
师:
同学们听说过阿凡提吗?
他是个非常聪明的人,有一天,阿凡提骑着自己的小毛驴来到田边。
他四处欣赏着美丽的田园风光。
突然,听到有人叫他,回头一看,原来是两位给地主巴依老爷干活的佃农。
阿凡提忙问:
“两位朋友有什么事吗?
”其中一位农民说:
“阿凡提,我们遇到一个难题,想来请教你。
”然后这位农民就把这个难题的由来讲了一遍。
原来,这两位农民被地主巴依老爷雇佣干活,眼看到发工钱的时候了,地主却打起了坏主意。
他和账房先生一计算,要给这两位农民各20块银元。
地主心里非常不乐意,仿佛拿走他的钱就像割他的肉一样。
于是和老婆一起想出了个主意,要两个农民明天早晨割
亩麦子,一点不能多,一点也不能少。
明早八点之前,巴依老爷要亲自检查。
如果严格按要求完成了任务,就发工钱,而且还给回家的路费。
如果完不成任务,工钱就一分不给。
两位农民没有上过学,自然不知道
亩麦子到底是多少,正在发愁的时候,正好碰见了阿凡提,才有了开头那一幕。
阿凡提听完,笑了笑说:
“两位朋友不用担心,你们只要按我说的去办,保证能拿到工钱,而且还能赚取路费。
”阿凡提讲完,把两位农民叫到眼前。
悄悄地把解难题的办法告诉了两位农民。
两位农民听了以后,非常高兴,对阿凡提千恩万谢。
第二天早晨,巴依老爷和老婆一起来到地里检查两位农民任务完成的情况。
巴依老爷以为两位农民这次肯定一分钱都拿不到,所以脸上带着得意的笑容。
可是走到地边却发现麦子正好割了
亩。
两位农民说:
“老爷,你的任务我们已经按时完成了,你也该给我们工钱了吧!
”巴依老爷没办法,只得叫账房先生给了农民工钱。
同学们,你知道
有什么简便方法计算吗?
我们今天就一起来研究这一类算式的简便方法。
二、能思维探索(建立知识模型)
展示例题:
例1:
师:
谁来展示一下你的做法?
根据学生的情况,师板书。
(逐一相加)
师:
还有不同的做法吗?
生:
没有了。
师:
我们观察一下题中的数有什么特点?
(提示学生分别观察分子分母)
师引导总结:
分母分别为:
1,3,6,10……,n(n+1)/2,分子分母同时乘2,所以原式可化成
师:
我们能不能把一个分数如
改写成两个分数?
(提示:
把分子1改写成3-2)
生:
。
师:
依次类推,其他分数都能拆成这样的形式吗?
生改写其他项。
师引导回顾:
我们按照刚刚的结论把题目改写后,你能发现什么?
生:
一个分数可以拆成两个分数的差,中间的都可以抵消掉。
生独立完成,指名学生说算理和计算过程,师评价。
师:
很好,这里我们发现,拆项后,前一个分数的第二项和后一个分数的第一项是可以抵消的。
我们什么时候可以用这个方法拆数呢?
(引导学生了解特点)
生:
分子为1,分母是两个连续数相乘。
师:
那我们就来用公式总结一下。
学生尝试小结
小结:
展示例题:
例2:
计算
师:
仔细观察分数的分子与分母有什么特点呢?
生:
所有加数的分子都比分母少1。
师追问:
那你能将分数简化吗?
(提示:
将分子转化成1)
生:
可以。
比如
师:
请大家完成其它项的拆分,并观察这些分母有什么特点?
生:
4=1×4,28=4×7,70=7×10,130=10×13,208=13×16,304=16×18
也就是说分母可以变成相邻两项中前一项较大因数和后一项较小因数的积,也可以用裂项法:
,然后中间抵消掉。
师:
那同学们观察一下,
与
是不是相等的呢?
生:
不相等。
师:
为什么呢?
(再次利用公式,引导孩子们,裂项时需要注意哪些问题)
生:
分子为1,分母中相乘两个因数要是连续数才能成立。
师:
这里我们观察到相乘的两个分母差是3,所以要怎么样?
生:
乘以
。
师:
非常好,大家能自己做出来吗?
指名演板,师评价小结。
小结:
展示例题:
例3:
计算。
师:
这种题目我们该怎么做呢?
它和我们上面的例题一样吗?
生:
(各抒己见)不一样,特点不明显。
师:
我们可以先将算式中的分母能改写成两个数相乘的形式的分数找出来,再用裂项法改写成两个分数。
你能找出哪些可以改写成两个分数相加减的分数呢?
生:
师:
接下来请同学们用简便方法完成计算。
指名演板,师评价小结。
三、思维拓展(知识模型拓展)
展示例题:
例4:
计算。
师:
观察算式,你能发现什么特点?
生:
分子分母有一部分很接近。
师:
哪一部分?
生:
分子里是584×1993,分母是1994×584。
师:
分子分母中有相似的部分,可以将它们变成相同的算式,再约分计算。
我们能不能让这部分更相近呢?
(提醒学生不能改变数值大小)
生1:
可以,把584×1993看做584×(1994-1),即变成1994×584-584。
生2:
也可以把1994×584看做584×(1993+1),即变成1993×584+584。
师:
说得很好!
你们就用这两种方式分别带入题中求出结果。
生自主完成,师评价小结
展示例题:
师:
大家观察这个算式的特点有哪些?
(预设)生:
是一个复杂的分数,分子分母都是几组三个分数乘积组成的......
(最重要让学生发现分子中每道乘法算式中都含有(1×3×5),分母中每道乘法算式中都含有(1×2×3)的特点)
师:
我们先看看分母中相乘的每组三个分数的特点。
生:
2、4、6分别是1、2、3的2倍;3、6、9分别是1、2、3的3倍;
4、8、12分别是1、2、3的4倍;
师:
我们试试将1×2×3作为公因数提出来。
生:
1×2×3+2×4×6+3×6×9+4×8×12
=1×2×3+1×2×2×2×3×2+1×3×2×3×3×3+1×4×2×4×3×4
=1×2×3×(1+23+33+43)。
师:
那我们能不能把分子也写成这种形式呢呢?
生:
能,1×3×5+2×6×10+3×9×15+4×12×20
=1×3×5+1×2×3×2×5×2+1×3×3×3×5×3+1×4×3×4×5×4
=1×3×5×(1+23+33+43)。
师:
下面我们再看看现在这个分数有什么特点呢?
生:
分子分母都含有1+23+33+43这个因数,我们可以约分。
学生尝试独立完成,教师评价小结。
四、融汇贯通(知识模型的运用)
展示例6:
师:
观察题目特点,你有什么发现?
生:
题中有很多相同部分。
师:
对,看起来比较复杂,我们可以把相同部分用同一个字母表示,将算式进行简化,请你试一试。
生尝试完成。
=9
五、创新运用
例7:
师:
观察算式,你有什么发现?
生:
中括号中计算比较复杂,可以先化简后计算。
师:
该如何化简呢?
生:
去掉中括号中的小括号后,则有
师:
接下来怎么计算呢?
生:
再利用乘法分配律及其逆运算进行简算。
师:
同学们自主完成。
(详解见PPT)
例8:
计算
师:
仔细观察,各因数的分子有什么特点?
生:
所有因数的分子都是一个数的平方减1的平方。
师:
对,类似于这样的两个数的平方之差叫做平方差,关于平方差的计算公式是:
a2-b2=(a+b)(a-b),你能根据公式进行化简吗?
(如果学生情况比较好可以利用数形结合方法讲原理,如果情况一般就直接告诉学生)
生:
师:
接下来请同学们自主完成!
(详解见PPT)
六、总结
通过这节课学习,你收获了什么?
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- 65 分数的巧算 分数